математический анализ _часть 1. Учебное пособие для студентов механикоматематического факультета издательство саратовского университета 2005 2

• Название: Учебное пособие для студентов механикоматематического факультета издательство саратовского университета 2005 2
• Анкор: математический анализ _часть 1.pdf
• Дата: 25.04.2017
• Размер: 431.21 Kb.
• Имя файла: математический анализ _часть 1.pdf
• Тип: Учебное пособие; #4903
• страница: 5 из 6

f x
x
x
=
−
= ;
2)
( )
2 0
3 3,
4
f x
x
x
=
−
= ;
3)
( )
2 0
2 5,
2
f x
x
x
= −
−
= ;
4)
( )
2 0
4 7,
1
f x
x
x
= −
−
= ;
5)
( )
2 0
5 9,
3
f x
x
x
= −
−
= ;
6)
( )
2 0
3 8,
5
f x
x
x
= −
+
= ;
7)
( )
2 0
2 6,
7
f x
x
x
=
+
= ;
8)
( )
2 0
4 1,
6
f x
x
x
=
−
= ;
9)
( )
2 0
2 9,
4
f x
x
x
= −
+
= ;
10)
( )
2 0
2 8,
5
f x
x
x
=
+
= . Задание 9. Исследовать функцию
( )
f x
на непрерывность и указать характер точек разрыва.
1) при )
0 при при x
x
x
x
⎧
<
⎪ +
⎪
=
≤ −
⎨
⎪
−
≥
⎪
⎩
2) sin при 2; ],
( )
2 при 2,
1/ при x
x
x
x
∈ −π
π
⎧
⎪
=
π
≤ −π
⎨
⎪
> π
⎩
3)
3 при )
1/16 при при x
x
x
x
⎧
<
⎪ −
⎪
=
≤ −
⎨
⎪ +
≥
⎪
⎩
4)
2 при 0 2,
4
( при при x
x
x
x
x
⎧
< <
⎪ +
⎪⎪
=
−
≤
⎨
⎪
+
≥
⎪
⎪⎩
5)
2 при 0 9,
9
( )
2 / при при x
x
x
x
x
+
⎧
< <
⎪ −
⎪
=
−
≤
⎨
⎪
≥
⎪
⎩
6)
2 при 0 7,
7
( )
2 / при при 7;
x
x
x
f x
x
x
x
x
+
⎧
< <
⎪ −
⎪
= −
−
≤
⎨
⎪
≥
⎪
⎩

41 7) при )
0 при при x
x
x
x
⎧
<
⎪
−
⎪
=
≥
⎨
⎪
−
≤ −
⎪
⎩
8)
2 при )
0 при 1,
3/ при x
x
x
x
⎧
<
⎪ −
⎪
=
≥
⎨
⎪
−
≤ −
⎪
⎩
9)
2 при 2,
4
( при при 2;
x
x
x
f x
x
x
x
x
⎧
<
⎪ −
⎪⎪
= −
≤ −
⎨
⎪
+
≥
⎪
⎪⎩
10) cos при 2; ],
( при 2,
1/ при
x
x
f x
x
x
∈ −π
π
⎧
⎪
=
≤ −π
⎨
⎪
> В заданиях 10 – 13 найти производную указанных функций. Задание 10.
1)
3
)
(
x
x
x
x
f
+
+
=
,
2 2
1 1
)
(
x
x
x
x
x
f
+
−
−
+
=
,
4 2
)
1
(
)
(
+
= x
x
f
;
2)
3 1
1 1
)
(
x
x
x
x
f
+
+
=
,
1 1
)
(
3 2
+
−
+
=
x
x
x
x
f
,
30
)
2 1
(
)
(
x
x
f
+
=
;
3)
3 3
2 1
1
)
(
x
x
x
x
f
−
=
,
2 4
1 2
)
(
x
x
x
f
−
=
,
3 1
3
)
4 5
(
)
(
−
+
=
x
x
x
f
;
4)
x
x
x
x
x
x
x
x
f
−
+
=
3 2
)
(
,
1 2
)
(
2 3
+
+
−
=
x
x
x
x
x
f
,
6 2
6 4
7
)
(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
x
x
x
f
;
5)
)
1
(
)
(
3
+
−
=
x
x
x
x
f
,
5 5
3 2
)
(
2
+
−
+
=
x
x
x
x
f
,
4 3
3 3
1
)
(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
x
x
x
f
;
6)
4 3
3 1
( )
x
f x
x
x
x
=
+
+
,
1 1
)
(
2 3
−
+
+
=
x
x
x
x
f
,
3 3
)
1 3
(
)
(
x
x
x
x
f
+
−
=
;
7)
3 2
1 1
( )
f x
x
x
x
=
+
− ,
2 3
2 1
( )
1
x
x
f x
x
+
−
=
−
,
3 4
2
( )
(4
)
f x
x
x
x
=
+ −
;
8)
3 3
2 1
( )
x
f x
x
x
x
=
+
−
,
2 2
3
( )
1
x
f x
x
x
+
=
− +
,
2 3
2 3
( )
(7
)
f x
x
x
x
=
− +
;
9)
3 4
1 3
( )
2
f x
x
x
x
=
+
+
,
3 2
( )
1
x
x
f x
x
x
−
=
− +
,
2 2
5 4
( )
(5
)
f x
x
x
x
=
−
+
;
10)
3 2
4 3
1
( )
f x
x
x
x
=
+
−
,
3 2
1
( )
2 1
x
f x
x
x
+
=
+
−
,
3 2
4 1
( )
(4 3
)
2
f x
x
x
x
=
+
−

42 Задание 11.
1)
x
x
x
f
cos
1
)
(
−
=
,
x
x
x
f
3
cos
3 1
cos
)
(
−
=
,
( )
sin arctg
f x
x
x
x
=
;
2)
x
x
x
x
x
f
sin sin
)
(
+
=
,
x
x
x
f
3 2
sin sin
3
)
(
−
=
,
2 1
arcsin
)
(
x
x
x
x
f
−
+
=
;
3)
x
x
x
x
f
cos sin
)
(
+
=
,
3 1
( )
tg tg
3
f x
x
x
x
=
−
+ ,
x
x
x
f
arccos
)
(
=
;
4)
x
x
x
f
cos
1
sin
)
(
+
=
,
x
x
f
4
cos
)
(
2
=
,
2
( )
arctg
f x
x
=
;
5)
x
x
x
x
x
f
cos sin cos sin
)
(
−
+
=
, ( )
tg
2
x
f x
=
,
x
x
f
2
arcsin
)
(
=
;
6) cos
( )
sin cos
x
f x
x
x
=
−
,
2 2
( )
3cos 2
sin(
)
f x
x
x
=
−
,
3
( )
arccos (2 )
f x
x
=
;
7) ( )
sin cos
x
f x
x
x
=
−
,
3 2
( )
tg sin(
)
f x
x
x
=
−
,
2
( )
arctg 3
f x
x
=
;
8)
2
sin cos
( )
x
x
f x
x
+
=
,
2
sin
1
( )
cos
x
f x
x
x
=
+
,
2
arcsin
)
(
x
x
f
=
;
9) tg
( )
sin cos
x
f x
x
x
=
+
,
3 2
( )
sin (
)
f x
x
=
,
1
( )
arctg
f x
x
=
;
10) sin
( )
tg
x
x
f x
x
x
=
+
,
2
cos
( )
2
x
f x
x
=
,
2 1
( )
arc cos
f Задание 12.
1)
x
x
x
f
ln
1
ln
1
)
(
+
−
=
,
x
x
f
sin ln
)
(
=
,
x
x
e
x
x
f
2
)
(
3
+
=
;
2)
2 1
ln
)
(
x
x
x
f
+
=
, ( )
ln tg
f x
x
=
,
x
xe
x
f
=
)
(
;
3)
5
ln
)
(
x
x
x
f
=
,
x
x
f
ln
)
(
=
,
x
e
x
x
f
cos
)
(
=
;
4)
x
x
x
f
ln
)
(
2
=
,
)
4
ln(
)
(
4
x
x
x
f
−
=
,
x
e
x
f
x
sin
)
(
=
;
5)
x
x
x
f
2
log
1
)
(
−
=
,
x
x
f
2
arccos ln
)
(
=
,
x
e
x
x
f
+
=
2
)
(
;
6)
1 ln
( )
1 ln
x
f x
x
+
=
−
,
2
( )
ln(tg
)
f x
x
=
, sin
( )
x
x
f x
e
=
;
7)
3 1
( )
ln
x
f x
x
+
=
,
3
( )
ln
f x
x
=
, ( )
cos
x
f x
e
x
=
;

43 8)
3
ln
( )
x
f x
x
=
, ( )
tg(ln )
f x
x
=
,
2
( )
2
x
x
x
e
f x
+
=
;
9)
2
ln
1
( )
x
f x
x
−
=
, ( )
sin(ln )
f x
x
=
,
3 2
( )
x
x
f x
e
x
=
+
;
10)
4
( )
ln
1
x
f x
x
=
+
,
3 2
( )
x
f Задание 13.
1)
2
( )
arctg(
3 2)
f x
x
x
=
−
+ ,
)
sin
(
log
)
(
2 3
x
x
x
f
−
=
,
2 1
1
)
(
x
x
x
x
f
+
−
=
,
x
x
x
f
=
)
(
;
2)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
+
2 1
)
(
2 3
2
x
x
e
x
f
x
,
1
( )
ln arctg
1
f x
x
=
+
,
x
x
f
2
sin
1 1
)
(
+
=
,
x
x
x
f
=
)
(
;
3)
1
( )
arctg
1
x
f x
x
+
=
−
,
x
x
x
f
cos ln sin ln
)
(
=
,
x
x
x
f
+
=
1
)
(
2
,
x
x
x
f
=
)
(
;
4) tg ctg
2 2
( )
x
x
f x
x
+
=
,
2 2
sin sin
)
(
x
x
x
f
⋅
=
,
x
e
x
f
ln
1
)
(
=
,
x
x
x
f
sin
)
(
=
;
5)
3 5
5 8
)
(
−
=
x
x
x
f
,
3 3
( )
arctg
f x
x
x
=
,
x
x
x
f
2
cos cos
2
)
(
=
,
x
x
x
f
sin
)
(cos
)
(
=
;
6)
1
( )
sin
1
x
f x
x
+
=
−
,
1
( )
ln tg
1
f x
x
=
+
,
1
( )
1
f x
x
x
=
+
,
3
( )
x
f x
x
=
;
7)
2 2
( )
(
1)
x
f x
e
x
=
−
,
2 2
( )
log (
)
sin
x
f x
x
=
,
3 1
1
( )
1
f x
x
x
=
⋅
+
,
( )
(cos )
x
e
f x
x
=
;
8) sin
3 1
( )
x
f x
e
x
=
⋅
,
2 2
( )
ln(sin tg
)
f x
x
x
=
+
,
3 3
1
( )
1
f x
x
x
=
+
,
( )
(sin )
x
e
f x
x
=
;
9) tg
2
( )
cos
x
f x
x
x
=
+
,
2 1
( )
1
f x
x
x
=
⋅
+
,
3
( )
log(
)
cos
x
f x
x
=
,
( )
sin
x
f x
x
=
;
10)
1
( )
arctg sin
f x
x
=
,
2 2
( )
cos ln
f x
x
x
=
⋅
,
1
cos
( )
x
f x
e
=
,
x
x
x
f
cos
)
(
=

44 Задание 14.
Заменяя приращение функций дифференциалом, приближенно вычислить следующие значения
1)
3 98
,
0
,
3 9
;
2)
02
,
1
,
4 80
;
3)
4 03
,
1
, 17 ;
4)
3 03
,
1
,
70 ;
5)
99
,
0
,
3 70 ;
6)
4 01
,
1
,
3 7
;
7)
5 98
,
0
,
4 82
;
8)
4 98
,
0
, 15 ;
9)
5 02
,
1
,
3 28 ;
10)
3 01
,
1
,
4 Задание 15.
Написать уравнение касательной и нормали к кривой
1) 3 4
2 2
3
−
−
+
=
x
x
x
y
в точке с абсциссой
2
−
=
x
;
2) 2 3
2 2
3
−
+
−
=
x
x
x
y
в точке с абсциссой
1
=
x
;
3)
5 3
2 3
−
+
+
=
x
x
x
y
в точке с абсциссой
2
=
x
;
4) 3 5
2 2
3
+
−
+
=
x
x
x
y
в точке с абсциссой
1
−
=
x
;
5) 1 3
2 2
3
+
+
−
=
x
x
x
y
в точке с абсциссой
3
=
x
;
6)
1 2
3 2
3
−
+
−
=
x
x
x
y
в точке с абсциссой
1
=
x
;
7) 3 2
2 3
+
−
+
=
x
x
x
y
в точке с абсциссой
1
−
=
x
;
8) 1 3
2 2
3
+
−
+
=
x
x
x
y
в точке с абсциссой
2
−
=
x
;
9)
1 5
3 2
3
+
+
−
=
x
x
x
y
в точке с абсциссой
2
=
x
;
10) 1 5
3 2
2 3
−
−
+
=
x
x
x
y
в точке с абсциссой Задание 16.
Найти пределы
1)
2 0
3
cos cos lim
x
x
x
x
−
→
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
→
1 1
1
lim
0
x
x
e
x
,
2 1
0
arcsin lim
x
x
x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
→
2)
2 0
5
cos cos lim
x
x
x
x
−
→
,
1 1
1
lim ln
1
x
x
x
→
⎛
⎞
−
⎜
⎟
−
⎝
⎠
,
2 1
0
sin lim
x
x
x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
→
3)
2 0
2
cos
3
cos lim
x
x
x
x
−
→
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
→
x
x
ctg
x
1
lim
0
,
2 1
0
tg lim
x
x
x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
→
4)
2 0
3
cos
2
cos lim
x
x
x
x
−
→
,
)
1
ln(
ln lim
0
x
x
x
−
⋅
→
,
2 1
0
arctg lim
x
x
x
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
→
5)
2 0
3
cos
4
cos lim
x
x
x
x
−
→
,
1000 2
0
lim
x
x
e
x
−
→
⋅
,
(
)
x
x
x
sin
0
ctg lim
→
6)
2 0
cos 2
cos5
lim
,
x
x
x
x
→
−
0
lim(1 cos 2 )
,
x
x ctgx
→
−
sin
0
lim
,
x
x
x
→

45 7)
2 0
cos 4
cos lim
,
x
x
x
x
α
→
−
1
lim(1
)
,
2
x
x
x tg
π
→
−
2 1
lim(1
) cos ,
x
x
x
π
→
−
8)
2 0
cos5
cos3
lim
,
x
x
x
x
→
−
0
lim arcsin
,