математический анализ _часть 1. Учебное пособие для студентов механикоматематического факультета издательство саратовского университета 2005 2

• Название: Учебное пособие для студентов механикоматематического факультета издательство саратовского университета 2005 2
• Анкор: математический анализ _часть 1.pdf
• Дата: 25.04.2017
• Размер: 431.21 Kb.
• Имя файла: математический анализ _часть 1.pdf
• Тип: Учебное пособие; #4903
• страница: 3 из 6

2.
Если функция g дифференцируема в точке
0
x , а функция f – в точке
)
(
0 0
x
g
t
=
, то сложная функция
g
f
дифференцируема в точке
0
x
и
)
(
'
)
(
'
)
(
)'
(
0 Пример 28.
Пусть
2
)
(
x
x
f
=
,
R
x
∈ . Тогда
x
x
x
x
x
xx
x
2
)'
(
)'
(
)'
(
)'
(
2
=
+
=
=
. Методом индукции нетрудно доказать формулу
1
)'
(
−
=
n
n
nx
x
,
N
n
∈ . Пример 29.
x
x
x
x
x
x
sin
)
1
(
2
cos
2 2
cos
2
sin
)'
(cos
'
'
−
=
−
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
π
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Пример 30.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2 2
2 2
2
'
cos
1
cos sin cos cos
)'
(cos sin cos
)'
(sin cos sin
)'
tg
(
=
+
=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
3.
Если функция f дифференцируема в точке
0
x
, 0
)
(
'
0
≠
x
f
, существует обратная функция
1
−
f
, которая непрерывна в точке
)
(
0 0
x
f
y
=
, то функция дифференцируема в точке и справедлива формула

27
)
(
'
1
)
(
)'
(
0 0
1
x
f
y
f
=
−
. Пример 31.
Рассмотрим функцию
x
y
sin
=
на интервале Обратной функцией является непрерывная функция
y
x
arcsin
=
,
)
1
,
1
(
−
∈
y
2 2
1 1
sin
1 Если продолжить рассмотрение основных элементарных функций, правил дифференцирования, то получим таблицу производных.
1
)
(
−
α
α
⋅
α
=
′
x
x
2 1
(arcsin )
1
x
x
′ =
−
(sin )
cos
x
x
′ =
(cos )
sin
x
x
′ = −
2 1
(arccos )
1
x
x
′ = −
−
x
x
2
cos
1
)
tg
(
=
′
2 1
1
)
arctg
(
x
x
+
=
′
x
x
2
sin
1
)
ctg
(
−
=
′
2 1
1
)
arcctg
(
x
x
+
−
=
′
x
x
e
e
=
)'
(
x
x
ch
)
sh
(
=
′
1
(ln )
x
x
′ = Пример 32.
Пусть
1 1
arctg
)
(
−
+
=
x
x
x
f
. Тогда
=
−
−
+
−
−
+
⋅
+
+
−
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
=
2 2
2 2
'
2
)
1
(
)'
1
)(
1
(
)
1
(
)'
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1 1
1 1
1 1
)
(
'
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
1 1
)
1
(
2 2
1 2
1 2
)
1
(
)
1
(
2 2
2 Пример 33.
Пусть
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
x
x
x
f
ln
1
sin
)
(
2
. Тогда
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
'
'
ln
1
ln
1
cos ln
1
sin
2
ln
1
sin ln
1
sin
2
)
(
'
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
)
ln
1
(
2
sin
2
ln
)'
)(
ln
1
(
)'
ln
1
(
)
ln
1
(
2
sin
2 2
−
−
=
−
−
−
⋅
−
=

28 Пример Запишем функцию в виде
)
ln(sin
)
(
x
x
e
x
f
=
. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции имеем
(
)
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
+
=
=
)'
(sin sin
1
)
ln(sin
)
(sin
'
)
ln(sin
)
(
'
)
ln(sin
x
x
x
x
x
x
x
e
x
f
x
x
x
)
ctg
)
(ln(sin
)
(sin
x
x
x
x
x
+
=
7. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ Определение Пусть функция f дифференцируема в точке
0
x . Тогда дифференциалом функции в точке называют главную, линейную относительно приращения аргумента
0
x
x
x
−
=
∆
часть приращения функции, те. первое слагаемое из правой части равенства (1):
)
)(
(
'
)
(
)
(
0 0
0 0
x
x
x
f
x
x
A
x
df
−
=
−
⋅
=
. Поскольку функция
x
x
f
=
)
(
дифференцируема в любой точке и
1
)
(
'
≡
x
f
, то
x
x
df
∆
=
)
(
или
x
dx
∆
=
. Поэтому формула для дифференциала принимает вид
dx
x
f
x
df
)
(
'
)
(
=
. Формула (1) является источником приближенного равенства
)
)(
(
'
)
(
)
(
0 0
0
x
x
x
f
x
f
x
f
−
+
≈
(2) Пример 35. Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить
3 02
,
1
. Это означает, что надо воспользоваться равенством. Рассмотрим функцию
3
)
(
x
x
f
=
, 1 Тогда
1
)
1
(
=
f
,
3 2
3 1
)
(
'
x
x
f
=
,
3 1
)
1
(
'
=
f
. Тогда при
02
,
1
=
x
,
02
,
0 0
=
− x
x
и
150 151 150 1
1 02
,
0 3
1 1
02
,
0
)
1
(
'
)
1
(
)
02
,
1
(
02
,
1 Пусть функция f дифференцируема в точке
0
x . Прямая
)
)(
(
'
)
(
0 0
0
x
x
x
f
x
f
y
−
+
=
, проходящая через точку
))
(
,
(
0 0
x
f
x
, называется касательной кг р а - фи ку функции в точке Обратим внимание на то, что
)
(
'
0
x
f
является угловым коэффициентом этой касательной, те.
α
= tg
)
(
'
0
x
f
, где
α – угол между касательной и положительным направлением оси Ох.

29 Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой. Таким образом, уравнение нормали к графику функции f в точке
))
(
,
(
0 0
x
f
x
имеет вид
0
))
(
)(
(
'
0 0
0
=
−
+
−
x
f
y
x
f
x
x
. Пример 36. Написать уравнение касательной и нормали к кривой
3 4
2 в точке Рассмотрим функцию
3 4
2
)
(
2 3
−
−
+
=
x
x
x
x
f
. Тогда
4 4
3
)
(
'
2
−
+
=
x
x
x
f
,
0 4
8 4
3
)
2
(
'
=
−
−
⋅
=
−
f
,
5 3
8 8
8
)
2
(
=
−
+
+
−
=
−
f
. Таким образом, 5
=
y
– уравнение касательной, 2
−
=
x
– уравнение нормали.
8. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ Пусть функции f и g дифференцируемы в некоторой окрестности точки a , за исключением, быть может, самой точки a , причем
)
(
' x
g
не обращается в ноль, функции f и g обе бесконечно малые в точке a те.
0
)
(
lim
)
(
lim
=
=
→
→
x
g
x
f
a
x
a
x
) или обе бесконечно большие те. Если существует конечный или бесконечный предел
)
(
'
)
(
'
lim
x
g
x
f
a
x
→
, то Аналогичное правило справедливо для односторонних пределов. Для раскрытия неопределенностей типа
∞
⋅
0
произведение
)
(
)
(
x
g
x
f
(
0
)
(
lim
=
→
x
f
a
x
,
∞
=
→
)
(
lim
x
g
a
x
) следует привести к виду
)
(
1
)
(
x
g
x
f
(тип
0 0
) или
)
(
1
)
(
x
f
x
g
(тип
∞
∞
). В случае неопределенности
∞
−
∞
разность следует привести к виду
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
)
(
)
(
1
)
(
x
f
x
g
x
f
и раскрыть сначала неопределенность
)
(
)
(
x
f
x
g
;

30 если
1
)
(
)
(
lim
=
→
x
f
x
g
a
x
, то перепишем разность в виде
)
(
1
)
(
)
(
1
x
f
x
f
x
g
−
(тип
0 0
). Неопределенности типов
0 0
,
0
,
1
∞
∞
раскрывают с помощью равенства и нахождения предела произведения
)
(
ln
)
(
x
f
x
g
(что потребует раскрытия неопределенности типа
∞
⋅
0
). Во многих случаях правило Лопиталя полезно комбинировать сна- хождением пределов элементарными средствами. Пример 37.
=
−
−
=
−
−
=
−
−
→
→
→
x
x
x
tg
x
x
x
x
tg
x
x
x
x
x
x
2 0
0 0
cos
1 1
cos
1
lim
)'
(
)'
sin
(
lim sin lim
2 1
)
cos
1
(
lim cos lim cos
1
cos lim
1
cos cos
)
cos
1
(
lim
0 2
0 2
0 2
2 Пример 38.
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
sin sin cos lim
1
sin cos lim
1
ctg lim
0 0
0
=
+
−
=
+
−
−
=
−
=
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
cos sin sin lim cos sin cos sin cos lim
)'
sin
(
)'
sin cos
(
lim
0 0
0
=
−
+
−
=
−
+
+
−
=
+
−
=
→
→
→
→
)
sin cos
2
(
lim
)
cos
(sin lim sin cos cos cos sin lim
)'
cos
(sin
)'
sin
(
lim
0 0
0 0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
0 2
0 Пример 39. Найдем предел
2
cos
1
)
1
(
lim
x
x
x
π
→
−
. Перепишем данную функцию в виде
)
1
ln(
2
cos
2
cos
)
1
(
x
x
x
e
x
−
π
π
=
−
и найдем предел
(
)
=
π
⋅
π
π
−
−
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
π
−
=
π
−
=
−
π
→
→
→
→
2 2
cos
2
sin
1 1
lim
2
cos
1
'
)
1
ln(
lim
2
cos
1
)
1
ln(
lim
)
1
ln(
2
cos lim
1
'
1 1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

31
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
π
−
=
−
π
⋅
π
π
−
=
π
−
π
π
−
→
→
→
→
)'
1
(
2
cos lim
2 1
2
cos lim
2
sin
1
lim
2 2
sin
)
1
(
2
cos lim
2
'
2 1
2 1
1 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
0 2
sin
2
cos lim
2 1
2 1
2
sin
2
cos
2
lim
2 Итак,
1
)
1
(
lim
0
)
1
ln(
2
cos lim
2
cos
1 1
=
=
=
−
−
π
π
→
→
e
e
x
x
x
x
x
x
9. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА Определение 14. Если функция f дифференцируема в некоторой окрестности
ε
<
−
|
|
0
x
x
точки
0
x
, а функция '
f имеет в точке
0
x
производную, то функция f называется дифференцируемой в точке
0
x и называется производной го порядка и обозначается
)
(
''
0
x
f
или Если функция f дифференцируема в некоторой окрестности точки
0
x , тогда
)
(
)'
(
0
)
1
(
x
f
n
−
, если она существует, называется n производной и функция f называется дифференцируемой в точке
0
x . Локальная формула Тейлора.Если функция f n дифференцируема в точке
0
x , то
n
n
k
k
k
x
x
x
x
x
k
x
f
x
f
)
)(
(
)
(
!
)
(
)
(
0 0
0 0
)
(
−
ε
+
−
=
∑
=
,
(3) где Многочлен
∑
=
−
n
k
k
k
x
x
k
x
f
0 0
0
)
(
)
(
!
)
(
называют многочленом Тейлора гоп о рядка, а слагаемое
n
x
x
x
)
)(
(
0
−
ε
, которое иначе записывают как
)
)
((
0
n
x
x
o
−
, остаточным членом формулы Тейлора в форме Пеан о . Приведем пять важных разложений (
0 0
=
x
):
1)
)
(
!
!
2 1
2
n
n
x
x
o
n
x
x
x
e
+
+
+
+
+
=
;
2)
)
(
)!
1 2
(
)
1
(
!
3
sin
2 1
2 1
3
n
n
n
x
o
n
x
x
x
x
+
−
−
+
+
−
=
−
−
;

32 3)
)
(
)!
2
(
)
1
(
!
2 1
cos
1 2
2 2
+
+
−
+
+
−
=
n
n
n
x
o
n
x
x
x
;
4)
)
(
!
)
1
)...(
1
(
!
2
)
1
(
1
)
1
(
2
n
n
m
x
o
x
n
n
m
m
m
x
m
m
mx
x
+
+
−
−
+
+
−
+
+
=
+
;
5)
)
(
)
1
(
2
)
1
ln(
1 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Пусть функция f определена на отрезке
]
,
[ b
a
и имеет на нем непрерывные производные до порядка
1
−
n
включительно, а на интервале
)
,
( имеет производную
)
(n
f
. Тогда для ( , )
x
a b
∈
n
n
n
k
k
k
a
x
n
f
a
x
k
a
f
x
f
)
(
!
)
(
)
(
!
)
(
)
(
)
(
0
)
(
−
ξ
+
−
=
∑
=
,
(4) где
=
ξ
)
(
a
x
a
−
θ
+
и
1 Остаточный член
n
n
a
x
n
f
)
(
!
)
(
)
(
−
ξ
называют остаточным членом в форме Лагранжа. Если функция f непрерывна на отрезке
]
,
[ и дифференцируема на интервале
)
,
( b
a
, то
)
)(
(
'
)
(
)
(
a
b
f
a
f
b
f
−
=
−
ξ
,
(5) где Формула (5) называется формулой конечных приращений Лагранжа. Она является частным случаем формулы Тейлора при Пример 40. Разложить многочлен
4 3
5 2
)
(
2 3
4
+
−
+
−
=
x
x
x
x
x
f
по степеням двучлена
1
−
x
3 10 6
4
)
(
'
2 3
−
+
−
=
x
x
x
x
f
,
10 12 12
)
(
''
2
+
−
=
x
x
x
f
, 12 24
)
(
''
'
−
=
x
x
f
,
24
)
(
)
4
(
=
x
f
,
0
)
(
)
(
=
x
f
n
при Отсюда
5
)
1
(
'
=
f
, 10
)
1
(
'
'
=
f
, 12
)
1
(
'
''
=
f
, Следовательно,
4 3
2 2
3 4
)
1
(
!
4 24
)
1
(
!
3 12
)
1
(
!
2 10
)
1
(
5 5
4 3
5 2
−
+
−
+
−
+
−
+
=
+
−
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
, или
4 3
2 2
3 4
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
5
)
1
(
5 5
4 3
5 Пример 41. Найти многочлен Тейлора го порядка для функции
x
x
f
=
)
(
при
4 Так как
2
/
1 4
4 1
2 4
4 1
2
)
4
(
4
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
−
+
=
−
+
=
x
x
x
x
, тона основании четвертого разложения многочлен Тейлора го порядка
)
(
4
x
T
для функции
x
x
f
=
)
(
имеет вид

33
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
−
⋅
+
=
3 2
4 4
4
!
3 2
2 1
1 2
1 2
1 4
4
!
2 1
2 1
2 1
2 4
2 1
1 2
)
(
x
x
x
x
T
512
)
4
(
64
)
4
(
2 4
2 Пример 42. Найти разложение функции
x
x
f
ln
)
(
=
по степеням Так как
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
−
+
=
2 2
1
ln
2
ln
2 2
1 2
ln
))
2
(
2
ln(
ln
x
x
x
x
, тона основании пятого разложения имеем
)
)
2
((
2 2
1
)
1
(
2 2
2 1
2 2
2
ln ln
1 2
n
n
n
x
o
x
n
x
x
x
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Пример 43. Пользуясь приближенной формулой
4 3
2
)
1
ln(
4 3
2
x
x
x
x
x
−
+
−
≈
+
, найти
5
,
1
ln и оценить погрешность. Правая часть данной формулы является многочленом Тейлора го порядка функции
)
1
ln(
)
(
x
x
f
+
=
,
0 0
=
x
. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа
(
)
5 5
5
)
5
(
5 1
5 1
!
5
)
(
)
(
x
x
x
f
x
R
θ
+
=
ξ
=
, где
x
θ
=
ξ
и
1 0
<
θ
<
, при
5 0
=
x
160 1
2 5
1
|
)
(
|
5 и погрешность 01 0
<
δ
. Тогда
4 2
1 3
2 1
2 2
1 2
1
)
5 1
ln(
4 3
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
≈
, или
40 0
)
5 1
ln(
≈