3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Определение 4.
Число А называется пределом функции в точке, если для любого положительного числа
ε найдется положительное такое, что как только x удовлетворяет неравенству
δ
<
−
<
0 0
x
x
следует, что
ε
<
− Символически это определение записывается так
( )
( )
ε
<
−
⇒
δ
<
−
<
δ
∃
>
ε
∀
⇔
=
→
A
x
f
x
x
A
x
f
x
x
0 Определение 5.
Число А называется пределом функции в точке слева, если для любого положительного числа
ε найдется положительное такое, что как только x удовлетворяет неравенству
δ
<
−
<
x
x
0 0
следует, что
ε
<
− Символически это определение записывается так
( )
( )
ε
<
−
⇒
δ
<
−
<
δ
∃
>
ε
∀
⇔
=
−
→
A
x
f
x
x
A
x
f
x
x
0 Определение 6.
Число А называется пределом функции в точке справа, если для любого положительного числа
ε найдется положительное
δ такое, что как только x удовлетворяет неравенству
δ
<
−
<
0 0
x
x
следует, что
ε
<
− Символически это определение записывается так
( )
( )
ε
<
−
⇒
δ
<
−
<
δ
∃
>
ε
∀
⇔
=
+
→
A
x
f
x
x
A
x
f
x
x
0 ТЕОРЕМА 9 (критерий существования передела. Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела и они равны между собой. ТЕОРЕМЫ об арифметических операциях над пределами функций
Если существуют пределы
A
x
f
x
x
=
→
)
(
lim
0
и
B
x
g
x
x
=
→
)
(
lim
0
, то
1) предел суммы и разности функций равен сумме и разности пределов функций
B
A
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
x
x
+
=
+
=
+
→
→
→
)
(
lim
)
(
lim
))
(
)
(
(
lim
0 0
0
,
B
A
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
x
x
−
=
−
=
−
→
→
→
)
(
lim
)
(
lim
))
(
)
(
(
lim
0 0
0
;
2) предел произведения функций равен произведению пределов функций
B
A
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
x
x
⋅
=
⋅
=
⋅
→
→
→
)
(
lim
)
(
lim
))
(
)
(
(
lim
0 0
0
;
3) предел частного функций равен частному пределов функций
20 ( ) ( ) ( ) ( ) ) 0 ( lim lim lim 0 Пример 15. Пользуясь определением предела функции, доказать, что 5 2 / 1 1 6 lim 2 2 / 1 − = + − + − → xxxx. Для 01 0 = ε вычислить наибольшее δ, для которого выполняется ( ) ε < − ⇒ δ < + < Axfx2 / 1 Решение. Согласно определению предела функции требуется доказать, что δ ∃ > ε ∀ 0 такое, что для всех x , удовлетворяющих неравенству δ < + < 2 / 1 выполняется неравенство ε < + + − + 5 2 / 1 1 6 2 xxx. Решим это неравенство относительно 2 / 1 + x: ε < + + − + 5 2 / 1 ) 3 / 1 )( 2 / 1 ( 6 xxx, ε < + − 5 2 6 x, ε < + 2 / 1 6 x, 6 2 / 1 ε < + x, следовательно, 6 ε ≤ δ . При 01 0 = ε 600 1 6 01 0 = = δ . Пример Вычислить предел функции 3 6 2 1 5 4 lim 2 Решение. Разделим числитель и знаменательна старшую степень переменной Подобно тому, как это делалось при вычислении пределов последовательности, заметим, что 0 , 0 с при ∞ → x для любой константы с. Замечание. Пределы функции в бесконечности вычисляются также, как и пределы последовательности. Пример 17. Вычислить предел функции 4 2 5 3 lim 2 Решение. Воспользуемся теоремой об арифметических свойствах предела функции. 12 17 4 4 2 16 5 4 3 4 lim 2 lim lim 5 lim 3 lim 4 2 5 3 lim 4 4 2 4 4 4 2 4 = + ⋅ − + ⋅ = + − + = + − + → → → → → → xxxxxxxxxxxx
21 Пример 18.
Вычислить предел функции
1 2
2 3
lim
2 Решение. Непосредственное применение теоремы об арифметических свойствах предела функции в данном случае невозможна, так как знаменатель дроби обращается в ноль в предельной точке. Разложим числитель и знаменательна множители и произведём возможные сокращения
(
) (
)
(
)
3
)
2
(
lim
1 2
1
lim
1 2
2 3
lim
1 2
2 1
2 Можно заметить, что если числитель и знаменатель функции – многочлены, то пределы удобно вычислять последующей схеме
1. Если предельная точка – бесконечность, то пределы вычисляются подобно пределам последовательности.
2. Если предельная точка не является нулем знаменателя, то предел вычисляется простой подстановкой предельной точки в функцию.
3. Если предельная точка является нулем знаменателя, то числитель и знаменатель дроби раскладываются на множители, и производится сокращение, если это возможно. Затем предел вычисляется, следуя пункту 2. Если после сокращения знаменатель обращается в ноль, то предел равен бесконечности. Пример 19.
Вычислить предел функции
3 8
2 Решение. Непосредственное применение арифметических свойств предела функции в данном примере невозможно, так как и числитель, и знаменатель в предельной точке обращаются в ноль. Подобно тому, как это делалось для предела последовательности, домножим числитель и знаменательна соответствующее сопряженное выражение
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
+
−
+
−
+
+
−
+
−
−
−
=
+
−
−
−
→
−
→
3 1
2 4
2 2
4 3
1 3
1
lim
2 3
1
lim
3 2
3 3
3 2
3 8
3 8
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 6
12 3
1 2
4
lim
3 1
8 2
4 8
lim
3 2
3 8
3 2
3 Определение 7. Функции и
)
(x
g
называются эквивалентными при
0
x
x
→ и записывают при , если
( )
( ТЕОРЕМА 10 (главное свойство эквивалентных функций. Если функции
1 1
,
,
,
g
g
f
f
определены в некоторой окрестности точки и удовлетворяют условиями при
0
x
x
→ , то из существования предела следует существование предела
( )
( )
x
g
x
f
x
x
0
lim
→
и справедливость равенства
( )
( )
( )
( )
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
1 1
0 0
lim Таким образом, при вычислении пределов множители можно заменять на эквивалентные им функции. Этот прием позволяет значительно упрощать вычисление пределов с помощью приведённых ниже эквива- лентностей. ТЕОРЕМА 11 (основные эквивалентности. При
0
→
x
верны следующие эквивалентности
x
x
sin
(первый замечательный предел,
x
x
tg
,
x
x
arcsin
,
x
x
arctg
,
x
e
x
1
−
,
(
)
x
x
1
ln
+
,
(
)
(
)
x
x
⋅
α
−
+
α
1 Пример 20.
Вычислить предел функции
x
x
x
x
3
sin
5 3
lim
2 Решение. Для вычисления предела воспользуемся теоремой об эквивалентных функциях. Так как при, получаем
(
)
3 5
3 5
3
lim
3 5
3
lim
3
sin
5 3
lim
0 0
2 Пример 21.
Вычислить предел функции Решение. Прежде чем применить теоремы об эквивалентных функциях, разложим числитель и знаменательна множители, а затем заменим множители эквивалентными им функциями
10 1
2 5
2 2
lim
2
sin
5
sin
2
sin
2
lim
3
cos
7
cos
2
cos
1
lim
2 0
2 ТЕОРЕМА 12 (второй замечательный предел.
(
)
e
x
x
x
=
+
→
/
1 Второй замечательный предел используется при вычислении пределов видав случае, если
1
)
(
→
x
f
, при. Для этого в функции
)
(
)
(
x
g
x
f
следует выделить выражение
(
)
α
→
α
+
/
1 0
1
lim
x
, где
0
→
α
при
0
x
x
→ . С этой целью основание
)
(x
f
представляется в виде
α
+
=1
f
, далее в выражении
)
(
)
(
x
g
x
f
искусственно выделяется требуемое выражение
(
)
α
α
+
/
1 1
путем деления и умножения показателя степени на
α :
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
x
g
x
g
x
g
x
g
x
f
⋅
α
α
⋅
α
⋅
α
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
α
+
=
α
+
=
α
+
=
23 Тогда при
0
x
x
→ выражение в квадратных скобках стремится к e , и остается найти предел степени Пример 22.
Вычислить предел функции
(
)
1
/
1 1
3 Решение. При
1
→
x
основание стремится к 1, степень – к бесконечности, поэтому вычисляем данный предел с помощью второго замечательного предела
(
)
3 1
1 1
lim
1 1
1 1
1 1
/
1 1
3 1
3 3
1 1
lim
1 2
lim
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
−
→
−
→
→
4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ Определение 8. Функция
)
(x
f
, определенная в некоторой окрестности точки
0
x , называется непрерывной в точке, если предел значения функции в точке равен значению функции в этой точке, те Аналогично определяются непрерывность функции справа и слева. Определение 9.
Точка
0
x называется точкой разрыва функции, если в ней нарушается условие непрерывности. Выделяют три типа точек разрыва
1) точки разрыва первого рода, в которых существуют конечные односторонние пределы, неравные между собой
2) точки разрыва второго рода, в которых не существует хотя бы один конечный односторонний предел
3) точки устранимого разрыва,в которых предел функции в точке неравен значению функции в этой точке. Исследование функции на непрерывность проводится последующей схеме
1. Выделяются точки, подозрительные на разрыв – точки в которых производится деление на ноль, точки разрыва элементарных функций и т.п.
2. Вычисляются односторонние пределы в этих точках.
3. По результатам вычислений делаются выводы о характере точек разрыва. Определение 10. Функция, не имеющая точек разрыва, называется непрерывной. Пример 23.
Исследовать на непрерывность функцию
24
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
=
≠
−
−
=
1
при
2
/
1
,
1
при
0
,
1
при
1 Решение. Точки, подозрительные на разрыв, и. Вычислим односторонние пределы в этих точках.
−∞
=
+
=
−
−
−
−
→
−
−
→
1 1
lim
1 1
lim
0 1
2 0
1
x
x
x
x
x
,
∞
=
+
=
−
−
+
−
→
+
−
→
1 1
lim
1 1
lim
0 1
2 0
1
x
x
x
x
x
,
2 1
1 1
lim
1 1
lim
0 1
2 0
1
=
+
=
−
−
−
→
−
→
x
x
x
x
x
,
2 1
1 1
lim
1 1
lim
0 1
2 При не существует конечных односторонних пределов, следовательно точка разрыва второго рода. При односторонние пределы равны между собой и равны значению функции в точке
1
=
x
, следовательно, в точке функция непрерывна. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ Определение 11. Производной функции в предельной точке области определения функции называют предел
0 0
)
(
)
(
lim
0
x
x
x
f
x
f
x
x
−
−
→
, если он существует, и обозначают
)
(
'
0
x
f
или Аналогично определяются левая и правая производные
0 0
0 л,
0 0
0 п, Если
0
x – внутренняя точка области определения функции f , то
)
(
'
0
x
f
существует тогда и только тогда, когда пл, причем
)
(
'
0
x
f
равна односторонним производным. Определение Функцию f называют дифференцируемой в точке, если имеет место представление
)
)(
(
)
(
)
(
)
(
0 0
0
x
x
x
x
x
A
x
f
x
f
−
ε
+
−
⋅
=
−
(1) при любом
f
D
x
∈
, где A – некоторое число, а
0
)
(
lim
0
=
ε
→
x
x
x
25 Заметим, что функция f дифференцируема в точке
0
x тогда и только тогда, когда существует производная
)
(
'
0
x
f
, причем число Из равенства (1) для дифференцируемой в точке
0
x функции f вытекает непрерывность функции в точке
0
x . Из непрерывности, однако, дифференцируемость не следует. Пример 24. Рассмотрим функцию
x
x
f
=
)
(
,
R
x
∈ . Пусть
0
x – произвольная точка. Тогда
1
)
(
)
(
0 0
0 и, следовательно, существует
1
)
(
)
(
lim
0 Таким образом, при любом
R
x
∈ Пример 25. Рассмотрим функцию
|
|
)
(
x
x
f
=
,
R
x
∈ , и точку
0 Тогда
⎩
⎨
⎧
<
−
>
=
=
−
−
0
если
,
1
;
0
если
,
1
|
|
)
(
)
(
0 Следовательно, л, пи эта функция недифференцируема в точке
0 0
=
x
. Заметим, однако, что эта функция непрерывна в точке
0 0
=
x
(как и во всякой другой точке. Пример 26. Рассмотрим функцию
x
x
f
sin
)
(
=
,
R
x
∈ , и точку
0 0
=
x
. Тогда
1
sin lim
0 0
sin sin lim
0 0
=
=
−
−
→
→
x
x
x
x
x
x
, те. первый замечательный предел можно истолковать как производную функции
x
x
f
sin
)
(
=
в точке ноль. Тогда при любом
0 0
≠
x
=
−
+
−
=
−
−
→
→
0 0
0 0
0 2
cos
2
sin
2
lim sin sin lim
0 0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
0 0
0 0
cos
2
cos lim
2 2
sin lim
0 Таким образом, при любом
R
x
∈
x
x
cos
)'
(sin
=
. Пример 27. Рассмотрим функцию
x
e
x
f
=
)
(
,
R
x
∈ , и точку
0 0
=
x
. Тогда
1 1
lim
0
lim
0 0
0
=
−
=
−
−
→
→
x
e
x
e
e
x
x
x
x
,
26 те. второй замечательный предел можно истолковать как производную функции xexf= ) ( в точке ноль. Тогда при любом 0 0 ≠ x0 0 0 0 0 0 0 0 ) 1 ( lim Итак, при любом Rx∈ xxee= )' ( . 6. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Если функции f и g дифференцируемы в точке
0
x , то функции
g
f
+ ,
g
f
⋅ и
g
f
при дополнительном условии
0
)
(
≠
x
g
дифференцируемы в точке
0
x и справедливы формулы
)
(
'
)
(
'
)
(
)'
(
0 0
0
x
g
x
f
x
g
f
+
=
+
,
)
(
'
)
(
)
(
)
(
'
)
(
)'
(
0 0
0 0
0
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
f
+
=
⋅
,
)
(
)
(
'
)
(
)
(
)
(
'
)
(
0 2
0 0
0 Частным случаем второго равенства является формула
)
(
'
)
(
)'
(
0 0
x
cf
x
cf
=
, где const
=
c
|
Скачать 431.21 Kb.