математический анализ _часть 1. Учебное пособие для студентов механикоматематического факультета издательство саратовского университета 2005 2
 Скачать 431.21 Kb.
|
|
Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского Л.Л. Громова, А.М. Захаров, МА. Осипцев, Л.В. Сахно П РАК Т И ЧЕСКИ Е ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 1. Введение в анализ. Числовые ряды. Дифференциальное исчисление Учебное пособие для студентов механико-математического факультета ИЗДАТЕЛЬСТВО САРАТОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2005 2 УДК 517(075.8) ББК я Г Громова Л.Л., Захаров А.М., Осипцев МА, Сахно Л.В. Б Практические занятия по математическому анализу В 3 ч. Часть 1. Введение в анализ. Числовые ряды. Дифференциальное исчисление Учеб. пособие для студентов мехмат. фак. – Саратов Изд-во Сарат. унта, 2005. – 48 сил- Пособие является руководством к решению задач по математическому анализу, состоит из трех частей. Впервой части рассмотрены теория пределов последовательностей, числовые ряды, предел и непрерывность функций, дифференциальное исчисление функций одного переменного. Приводятся необходимые теоретические сведения, а также многочисленные примеры, в которых разъясняется решение типовых задач. В пособии даются две контрольные работы по изложенным темам. Для студентов механико-математического факультетов. Рекомендуют к печати Кафедра математического анализа механико-математического факультета Саратовского государственного университета Кандидат физико-математических наук А. Л Лукашов УДК 517(075.8) ББК я Работа издана в авторской редакции ISBN 5-292- © Громова Л.Л., Захаров А.М., Осипцев МА, Сахно Л.В., 2005 3 ПРОГРАММА КУРСА 1. Теория пределов последовательностей. Конечные и бесконечные множества, операции над ними. Понятие счетного множества. Понятие действительного числа как бесконечной десятичной дроби. Верхняя и нижняя грани ограниченного множества, их существование. Понятие последовательности и ее предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Сходимость ограниченной монотонной последовательности. Арифметические действия над сходящимися последовательностями. Число и его роль в математическом анализе. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах и о сходимости последовательности, ограниченной двумя сходящимися последовательностями, имеющими одинаковые пределы. Частичный предел, верхний и нижний пределы, их существование. Теорема Больцано – Вейерштрасса. 2. Числовые ряды. Понятие числового ряда. Сходимость и сумма ряда. Свойства рядов как свойства последовательностей частных сумм. Абсолютная сходимость ряда, ее связь со сходимостью. Признак мажорации. Геометрический ряд. Признаки Коши и Даламбера абсолютной сходимости ряда. Условная сходимость. Признак Лейбница сходимости ряда. 3. Предел и непрерывность функций. Понятие предела и непрерывности функции в точке. Эквивалентность определений Коши и Гейне. Арифметические действия над непрерывными функциями. Непрерывность композиции непрерывных функций. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность функции. Существование одностороннего предела монотонной ограниченной функции. Первый и второй замечательные пределы. Теоремы о существовании и непрерывности обратной функции. Классификация точек разрыва функции. Определение и непрерывность элементарных функций степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических и их обратных. Графики элементарных функций. 4 4. Дифференциальное исчисление функций одного переменного. Понятие дифференцируемой функции в точке, производной и дифференциала. Физический и геометрический смысл понятия дифференци- руемости и производной функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Дифференцируемость и производная сложной и обратной функций. Арифметические действия над дифференцируемыми функциями. Производные элементарных функций. Локальный экстремум функции, теорема Ферма. Теоремы о среднем значении дифференцируемых функций Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя для отыскания предела отношения бесконечно малых или бесконечно больших функций. Производные высших порядков. Многочлен и формула Тейлора. Достаточное условие экстремума функции. Критерий монотонности функции на интервале. Выпуклые функции, критерий выпуклости. Точки перегиба, необходимое условие точки перегиба. Методы приближенного вычисления значений функции и решения уравнений. 5 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Определение 1. Число х называется пределом последовательности, если для любого положительного числа ε найдётся номер 0 n такой, что для всех n , начиная с этого номера, выполняется неравенство Символически это определение записывается так ε < − ≥ ∀ ∃ > ε ∀ ⇔ = ∞ → | | : 0 lim 0 Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся. Если предела не существует, то такая последовательность называется расходящейся. ТЕОРЕМЫ об арифметических операциях над пределами последовательностей Если существуют пределы x x n n = ∞ → lim и y y n n = ∞ → lim , то 1) предел суммы последовательностей равен сумме пределов последовательностей) предел разности последовательностей равен разности пределов последовательностей = − ∞ → ) ( lim n n n y x − ∞ → n n x lim = ∞ → n n y lim y x − ; 3) предел произведения последовательностей равен произведению пределов последовательностей = ∞ → ) ( lim n n n y x n n x ∞ → lim = ∞ → n n y lim xy ; 4) предел частного последовательностей равен частному пределов последовательностей = ∞ → n n n y x lim = ∞ → ∞ → n n n n y x lim lim y x ( 0 lim ≠ ∞ → n n y , 0 ≠ n y ). 6 Пример 1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что 5 1 1 5 lim − = − + ∞ → n n n . Если 01 , 0 = ε , то, начиная с какого номера, выполняется неравенство ε < − Решение. Согласно определению предела последовательности, требуется доказать, что 0 0 : 0 n n n ≥ ∀ ∃ > ε ∀ выполняется неравенство ε < + − + 5 1 1 5 n n . Решим это неравенство относительно n ε < − − + + n n n 1 5 5 1 5 , ε < − n 1 6 , ε < − − n 1 6 , ε < −1 6 n , ) 1 ( 6 − ε < n , 1 6 +Итак, если 1 6 + ε > n , то исходное неравенство действительно справедливо. Номер 0 n , начиная с которого выполняется неравенство ε < + − + 5 1 1 5 n n , можно найти по формуле 1 1 6 0 + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + ε = n . Здесь квадратные скобки означают целую часть числа. При получаем 602 1 1 01 , 0 Пример 2. Вычислить предел 2 2 7 2 1 2 5 Решение. Разделим числитель и знаменатель дробина старшую степень Здесь воспользовались тем, что при n , стремящемся к бесконечности Замечание. Если в числителе и знаменателе записаны многочлены, то предел такой дроби зависит от их степеней. Если степени числителя и знаменателя совпадают, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях. Если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен бесконечности. Если степень знаменателя больше степени числителя, то предел равен нулю. 7 Пример 3. Согласно приведенному правилу ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + ∞ → 5 3 3 2 2 4 1 lim n n n n = 3 2 3 2 0 = + ; 13 2 3 2 72 7 lim 3 5 4 5 − + + + − ∞ → n n n n n n = 3 7 ; 3 2 100 2 7 83 5 lim 3 4 6 4 5 − − + − − ∞ → n n n n n n n = ∞ ; 0 4 12 3 3 lim 6 4 5 Пример 4. Вычислить предел ) 5 6 4 2 ( lim 2 Решение. Пределы такого вида широко распространены и решаются домножением на сопряженное выражение с применением формул сокращенного умножения ) 5 6 4 2 ( lim 2 2 + − − − − ∞ → n n n n n = = = + − + − − + − + − − + − − − − ∞ → 5 6 4 2 ) 5 6 4 2 )( 5 6 4 2 ( lim 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n = = + − + − − − + − − − ∞ → 5 6 4 2 5 6 4 2 lim 2 2 2 2 n n n n n n n n n = + − + − − − ∞ → 5 6 4 2 9 4 lim 2 2 n n n n n n = 2 1 1 4 5 6 1 4 2 1 9 4 lim 2 Определение 2. Последовательность называется бесконечном алой, если ее предел равен нулю. Определение 3. Последовательность } { n x называется ограниченной, если найдется такое число M , что для всех номеров n выполняется неравенство Известно, что произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой последовательностью. Пример 5. Вычислить предел 1 2 3 sin lim 4 Решение. Так как 0 1 2 lim 4 2 = + − ∞ → n n n n , а 1 3 sin < n , то 0 1 2 3 sin lim 4 2 = + − ∞ → n n n n n 8 2. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Для решения задач по теме Ряды надо изучить признаки сходимости положительных и знакопеременных рядов, абсолютную и условную сходимость. Краткий перечень сведений из теории приводится ниже в виде теорем. ТЕОРЕМА Если ряд ∑ ∞ =1 n n a сходится, то Однако для решения задач эта теорема более удобна в следующей равносильной форме. ТЕОРЕМА 1'. Если n n a ∞ → lim неравен или не существует, то ряд ∑ ∞ =1 n n a расходится. ТЕОРЕМА 2 (признак сравнения I). Пусть даны два знакоположи- тельных ряда ∑ ∞ =1 n n a и ∑ ∞ =1 n n b . Если ∞ < < = ∞ → k k b a n n n 0 , lim , то оба ряды ведут себя одинаково (одновременно сходятся или расходятся. ТЕОРЕМА 3 (признак сравнения II). Если члены знакоположитель- ных рядов ∑ ∞ =1 n n a ( A ) и ∑ ∞ =1 n n b ( B ) для всех n , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству n n b a ≤ , то из сходимости ряда ( B ) следует сходимость ряда ( A ), а из расходимости ряда ( A ) следует расходимость ряда. ТЕОРЕМА 4 (признак Даламбера. Если для знакоположительного ряда q a a n n n = + ∞ → 1 lim , то при 1 > q ряд расходится, при 1 < q ряд сходится. При 1 = q ряд может сходиться, а может расходиться. ТЕОРЕМА 5 (признак Коши. Формулировка совпадает с теоремой 4 стой разницей, что n n n a q ∞ → = lim Кроме того полезно помнить поведение некоторых стандартных рядов. ТЕОРЕМА 6. Ряд ∑ ∞ = α 1 1 n n при 1 > α сходится, а при 1 ≤ α расходится. Отметим, что при 1 = α получаем расходящийся ряд ∑ ∞ =1 1 n n , который называется гармоническим. В школе изучается ряд ∑ ∞ = = … + + … + + + 1 2 1 n n n q q q q 9 – геометрическая прогрессия, который сходится при Пусть теперь ряд ∑ ∞ =1 n n a ( A ) имеет члены произвольного знака. Составим ряд ∑ ∞ =1 n n a ( A ). ТЕОРЕМА 7. Если сходится ряд ∑ ∞ =1 n n a ( A ), то сходится (абсолютно) ряд ∑ ∞ =1 n n a ( A ). ТЕОРЕМА 8 (признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Если модули членов знакочередующегося ряда ( ) ∑ ∞ = + − 1 1 1 n n n a монотонно убывают и стремятся к нулю, то этот ряд сходится. Если ряд ( A ) расходится, а ряд ( A ) сходится, то он называется сходящимся условно. При решении примеров полезно знать некоторые пределы. Напомним их. 0 , ln 1 1 lim , 1 1 ) 1 Пример 6. Установить сходимость или расходимость ряда ∑ ∞ = + 1 Решение. Полезно сразу использовать теорему 1'. Здесь ) 1 ( 2 + = n n n a n , и 0 1 ) 1 ( lim 2 ≠ = + ∞ → n n n n , значит, данный ряд расходится. Пример 7. Установить сходимость или расходимость ряда ∑ ∞ = + 1 2 1 Решение. 0 1 4 2 > + = n n n a , поэтому можно применять теоремы 1 – 5. Из них проще всего взять признак Даламбера. Запишем 1 4 ) 1 ( 1 2 1 + + = + + n n n a . Тогда. Ряд сходится. 10 Пример 8. Установить сходимость или расходимость ряда ∑ ∞ = + + 1 2 ) 1 3 1 Решение. 0 ) 1 3 1 2 ( 2 > + + = n n n n a . Применимы теоремы 1 – 5. Здесь удобнее взять признак Коши и легко вычислить 1 3 2 ) 1 3 1 2 ( lim lim 2 < = + + = ∞ → ∞ → n n n n n n n a , следовательно, ряд сходится. Чтобы воспользоваться теоремой 2, надо сначала выбрать для данного ряда ∑ ∞ =1 n n a другой ряд ∑ ∞ =1 n n b так, чтобы 0 lim ≠ ∞ → n n n b a (или ∞) и поведение ряда ∑ ∞ =1 n n b было уже известно. Пример 9. Установить сходимость или расходимость ряда ∑ ∞ = + 1 3 2 Решение. 0 3 2 1 > + = n a n . Так как 0 3 2 1 lim lim = + = ∞ → ∞ → n a n n n , то данный ряд может как сходиться, таки расходиться. Теоремы 4, 5 ответа не дают, 1 = q . Так как знаменатель линейно зависит от n, то берём для сравнения ряд ∑ ∞ = 1 1 n n . Тогда 2 1 3 2 lim lim = + = ∞ → ∞ → n n b a n n n n . Оба ряда ведут себя одинаково. Так как ряд ∑ ∞ = 1 1 n n расходится (гармонический, то данный ряд тоже расходится. Замечание. Если бы 3 2 1 + = k n n a , то k n n b 1 = . В случае дробного показателя решение аналогично. Пример 10. Установить сходимость или расходимость ряда ∑ ∞ = + − 1 3 1 Решение. Находим, что 3 2 2 3 3 1 1 1 1 n n n n n + − = + − , поэтому для сравнения берём ряд с общим членом 2 3 1 n b n = ( 1 2 / 3 > = α , ряд сходится. 11 Так как 1 1 lim lim 3 2 3 = + − = ∞ → ∞ → n n n b a n n n n , то и данный ряд сходится. Разумеется, выбирая признаки сравнения, можно применять теорему 3. Тогда надо устанавливать неравенство между n a и n b . Однако если в примере 9 неравенство при 2 > n очевидно, устанавливается легко и расходимость ряда ∑ ∞ =1 n n b , тов примере 10 решение с помощью теоремы 3 становится неочевидным. Пример 11. Исследуем сходимость ряда ∑ ∞ =1 ) ( ! n n n x n при Решение. Имеем знакоположительный ряд. Наличие n n ⋅ ⋅ ⋅ = 2 подсказывает, что удобнее брать признак Даламбера n n n n n n n n n n n x n x n x x n n x n n x n a a ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ! ) 1 ( )! 1 ( 1 1 1 + = + + = + + = + + + , e x n x n n x a a n n n n n n n = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∞ → ∞ → + ∞ → 1 1 lim 1 1 1 lim При e x < < 0 имеем 1 / < = e x q , ряд сходится, при e x > ряд расходится, так как 1 > q . При e x = имеем 1 = q , признак Даламбера не дает ответа, но так как последовательность n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 стремится к e, монотонно возрастая, то 1 1 > + n n a a , поэтому n n a a > +1 , по теореме 1' ряд расходится. Пусть теперь числовой ряд имеет члены произвольного знака. Построим ряд со знакоположительными членами ∑ ∞ =1 n n a ( A ). К нему применимы теоремы 1 – 6. Если установим, что ряд ( A ) сходится, то решение примера заканчивается. Тогда по теореме 7 заключаем, что ряд (A) сходится абсолютно. Если же ряд ( A ) расходится, то ряд (A) тем не менее может сходиться (условно, то есть решение задачи продолжается. 12 Пример 12. Исследовать сходимость ряда ∑ ∞ = − 1 1 ) 1 ( n n n (A). Решение. Составим ряд ( A ): ∑ ∞ =1 1 n n . Он расходится (гармонический. Таким образом, абсолютной сходимости нет. Ряд (А) знакочередующийся, 0 1 lim ..., 3 / 1 2 / 1 1 = > > > ∞ → n n , значит, по теореме 7 ряд (А) сходится, и мы имеем условную сходимость. Пример 13. Исследовать сходимость ряда ∑ ∞ =1 2 sin n n n (А. Решение. Составим ряд ( A ): ∑ ∞ =1 2 sin n n n . Так как n b n n n = ≤ 2 2 1 sin , то по теореме 3 из сходимости ряда ∑ ∞ =1 n n b ( 1 2 > = α , теорема 6) следует сходимость ряда ( A ) и абсолютная сходимость ряда (А. Пример 14. Исследовать сходимость ряда ∑ ∞ = − − 1 2 1 )! 2 ( ) ! ( 4 ) 1 ( n n n n n (А. Решение. Находим )! 2 2 ( ) )! 1 (( 4 2 1 1 + + = + + n n a a n n n : 1 1 2 2 2 ) 1 )( 1 2 ( 2 ) 1 ( 4 )! 2 ( ) ! ( 4 Это означает, что n n a a > +1 , следовательно, n a не стремится к нулю, но тогда и a n не стремится к нулю. По теореме 1' ряд (А) расходится. Контрольная работа 1 Задание 1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать равенства. При заданном ε установить, начиная с какого номера, выполняется неравенство ε < − a x n : 1) 1 2 1 1 2 lim − = − + ∞ → n n n , 01 , 0 = ε ; 2) 2 1 1 2 3 lim − = + − ∞ → n n n , 03 , 0 = ε ; 3) 2 3 1 2 lim = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ → n n ; 1 , 0 = ε ; 4) 3 1 1 3 lim = − + ∞ → n n n , 01 , 0 = ε ; 5) 3 1 3 lim = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ → n n e , 05 , 0 = ε ; 6) 3 1 1 3 3 lim = + − ∞ → n n n , 7 , 0 = ε ; 13 7) 1 1 2 lim − = + − ∞ → n n n , 3 , 0 = ε ; 8) 3 2 3 2 1 2 lim − = − − ∞ → n n n , 001 , 0 = ε ; 9) 2 1 2 3 lim − = + − ∞ → n n n , 004 , 0 = ε ; 10) 2 2 1 1 4 lim − = − + ∞ → n n n , В заданиях 2 – 10 вычислить предел последовательности. Задание 2. 1) 5 1 lim 2 + + ∞ → n n n ; 2) 7 3 lim 3 2 − + ∞ → n n n ; 3) 4 3 7 2 5 3 lim n n n n + + ∞ → ; 4) 7 12 2 3 lim + − ∞ → n n n ; 5) 7 2 2 7 3 2 3 2 lim n n n n n + − ∞ → ; 6) 2 5 5 5 lim n n n n − ∞ → ; 7) 6 8 2 3 lim + − ∞ → n n n ; 8) n n n 25 2 2 24 lim + − ∞ → ; 9) 3 2 3 3 25 lim n n n n − + ∞ → ; 10) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 Задание 3. 1) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ∞ → 1 3 2 2 1 lim n n n n ; 2) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + ∞ → 2 2 3 1 5 1 2 1 lim n n n n ; 3) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − + ∞ → 2 2 3 1 3 3 5 6 lim n n n n n n ; 4) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + − − ∞ → 1 3 1 2 5 3 2 12 lim 2 n n n n n n ; 5) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + − + ∞ → 3 2 3 4 3 2 8 3 5 1 9 lim n n n n n n n ; 6) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − + ∞ → 6 3 8 2 5 3 17 lim 2 2 n n n n n ; 7) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + + ∞ → 1 3 3 2 3 6 1 lim 2 2 n n n n ; 8) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − − ∞ → n n n n n 3 2 1 3 7 lim 2 2 3 ; 9) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + − ∞ → 2 5 2 7 2 lim n n n n n ; 10) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + − ∞ → 2 6 6 4 50 1 5 Задание 4. 1) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞ → 2 sin 3 1 lim n n n ; 2) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − ∞ → 1 2 1 cos 1 2 2 lim 2 2 n n n n n ; 3) ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + − ∞ → 2 4 cos 5 6 3 4 lim 4 2 n n n n n ; 4) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − ∞ → n n n n n 5 3 sin 1 5 1 lim 2 ; 5) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ∞ → ! 2 cos 2 5 5 2 lim 3 n n n n ; 6) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞ → n n n 3 sin 3 1 lim ; 14 7) ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ → 1 sin 1 lim 4 n n n ; 8) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∞ → 4 3 cos 1 lim n n n ; 9) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ∞ → 11 5 2 cos 3 2 lim n n n n n ; 10) ( Задание 5. 1) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ∞ → 1 6 3 cos 1 lim 3 n n n n n ; 2) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⋅ − − − ∞ → 1 1 2 1 2 5 3 lim 2 2 2 n n n n n n n n ; 3) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − + ⋅ − ∞ → 5 3 5 7 2 3 1 2 1 1 3 1 lim n n n n n n n ; 4) ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − − ∞ → 2 2 2 1 9 4 cos 1 5 lim n n n n n n n ; 5) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⋅ + ∞ → 1 2 1 3 1 2 lim 2 n n n n n n ; 6) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ → 9 9 6 6 cos 1 cos 1 lim n n n n n ; 7) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − ∞ → 3 2 5 8 cos 6 1 lim 4 4 2 n n n n n ; 8) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − ∞ → 3 2 5 16 sin 2 1 lim 3 n n n n n ; 9) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ∞ → 1 3 5 1 cos 1 lim 3 3 2 2 n n n n n n n ; 10) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ → 3 2 3 1 cos 3 Задание 6. 1) n n n n n 3 2 3 2 lim 1 1 + + + + ∞ → ; 2) n n n n n 6 5 6 5 lim 1 1 + + + + ∞ → ; 3) 2 3 3 2 1 2 3 8 27 lim + + + ∞ → + − n n n n n ; 4) n n n n n 5 2 5 2 lim 2 3 + − + + ∞ → ; 5) 1 2 2 2 2 49 5 7 25 lim + + + ∞ → + + n n n n n ; 6) 3 3 3 2 3 1 3 4 2 4 2 lim − − + ∞ → + + n n n n n ; 7) n n n n n 4 3 4 3 lim 2 2 + − + + ∞ → ; 8) n n n n n 8 7 8 7 lim 1 1 + − + + ∞ → ; 9) 1 2 1 2 2 3 4 9 2 lim + + + ∞ → + + n n n n n ; 10) 1 1 7 13 Задание 7. 1) 1 ! sin lim 2 + ∞ → n n n n ; 2) 2 3 ! sin lim 3 2 + ∞ → n n n n ; 3) n n n n n n 5 1 2 3 cos lim 2 2 + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ∞ → ; 4) 7 6 7 ! sin lim n n n n n − ∞ → ; 15 5) ( ) 2 3 ! 5 sin 27 lim 2 + + + ∞ → n n n n n ; 6) 3 ! cos 3 lim 7 6 + ∞ → n n n n ; 7) 5 ! cos lim 2 + ∞ → n n n n ; 8) n n n n n 5 ! 3 sin lim 6 5 + ∞ → ; 9) ( ) 100 ! 2 cos lim 6 5 + + ∞ → n n n n ; 10) 17 ! sin lim 6 Задание 8. 1) 1 2 3 4 lim 2 + − ∞ → n n n ; 2) 2 lim 3 2 + + ∞ → n n n n ; 3) 7 4 3 2 lim 2 + + ∞ → n n n ; 4) 3 5 7 lim 3 3 9 + − ∞ → n n n ; 5) 2 9 3 9 4 lim 2 − − + ∞ → n n n n ; 6) 3 2 lim 3 2 − + ∞ → n n n ; 7) 9 7 3 lim 2 4 − + ∞ → n n n ; 8) 3 9 3 3 8 lim + − ∞ → n n n ; 9) 3 9 3 3 3 3 lim n n n n − + ∞ → ; 10) n n n n 3 12 lim 2 Задание 9. 1) n n n n n n − + + + ∞ → 3 2 1 lim ; 2) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 lim 2 3 2 2 − + − + + + ∞ → n n n n n n ; 3) 3 9 2 3 4 lim 2 2 + − − + ∞ → n n n n n ; 4) n n n n n − + − + + ∞ → 6 2 4 3 5 5 1 1 2 3 lim ; 5) 2 2 5 4 4 2 10 4 3 5 lim 2 4 6 4 2 5 − + − − + + + − ∞ → n n n n n n n n n ; 6) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − + + ⋅ ∞ → 3 5 3 3 2 2 3 5 2 2 3 lim n n n n n n ; 7) 3 3 1 1 lim − + + + ∞ → n n n n n ; 8) ( ) ( ) 4 2 1 4 3 2 3 lim 2 3 2 2 − + − + + + ∞ → n n n n n n ; 9) n n n n + + ∞ → 2 2 lim ; 10) 8 9 10 3 4 Задание 10. 1) ) 8 4 ( lim 2 2 n n n n n − − + − ∞ → ; 2) ) 1 6 3 8 ( lim 2 2 + − − − − ∞ → n n n n n ; 3) ) 5 6 2 4 2 2 ( lim 2 2 + − − + − ∞ → n n n n n ; 4) ) 25 6 42 6 ( lim 2 2 − − − − − ∞ → n n n n n ; 5) ) 5 6 3 2 ( lim 2 2 − + − + + ∞ → n n n n n ; 6) ) 16 4 12 ( lim 2 2 n n n n n − − − − ∞ → ; 16 7) ) 5 4 ( lim + − − ∞ → n n n ; 8) ) 9 4 ( lim 2 2 + − − − + ∞ → n n n n n ; 9) ) 5 22 ( lim 2 2 + − − + ∞ → n n n n n 10) ) 6 5 8 7 ( lim 2 В заданиях 11 – 20 исследовать числовые ряды на сходимость. Задание 11. 1) ∑ ∞ = − 1 2 2 2 n n n ; 2) ( ) ∑ ∞ = + 1 1 3 n n ; 3) ( ) ∑ ∞ = + − 1 3 1 1 n n n ; 4) ∑ ∞ =1 1 2 n n ; 5) ∑ ∞ = − 1 ) 1 ( n n n ; 6) ∑ ∞ = + − 1 3 ) 1 ( n n n n ; 7) ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 4 1 3 1 n n ; 8) ∑ ∞ = + 1 1 n n n ; 9) ∑ ∞ = + 1 1 1000 n n n ; 10) ( ) ∑ ∞ = + 1 Задание 12. 1) ∑ ∞ = + 1 5 )! 1 ( n n n ; 2) ∑ ∞ =1 ! 1000 n n n ; 3) ∑ ∞ =1 2 )! 2 ( ) ! ( n n n ; 4) ∑ ∞ = − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 ) 7 8 ( ) 11 8 ( 9 5 1 ) 4 6 ( ) 7 6 ( 8 5 2 n n n n n ; 5) ∑ ∞ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 ! 2 ) 1 2 ( 5 3 1 n n n n ; 6) ∑ ∞ = − + 1 5 3 )! 1 ( n n n ; 7) ∑ ∞ = − + 1 )! 1 ( ) 2 ( n n n ; 8) ∑ ∞ = + π ⋅ 1 1 2 tg n n n ; 9) 0 , ) ( ) 2 ( ) 1 ( ! 1 > + ⋅ ⋅ + + ∑ ∞ = a n a a a n n ; 10) Задание 13. 1) n n n n ∑ ∞ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + 1 3 2 4 1 ; 2) ∑ ∞ = + 1 ) 2 2 ( ln 1 n n n ; 3) ∑ ∞ = − 1 1 2 n n n n ; 4) ∑ ∞ = − 3 ) 1 ( ln 1 n n n ; 5) ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1 tg 3 n n n ; 6) ∑ ∞ =1 1 arctg n n n ; 7) ∑ ∞ =1 2 2 1 n n ; 8) ∑ ∞ =1 5 n n n ; 9) ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 1 2 3 2 n n n n ; 10) ∑ ∞ =1 2 3 Задание 14. 1) ∑ ∞ = − + 1 2 1 ) 1 ( 1 n n ; 2) ∑ ∞ = + 1 1 1 n n ; 3) ∑ ∞ = − 1 5 0 1 n n ; 4) ∑ ∞ =1 3 4 sin n n ; 17 5) ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 3 1 ln n n ; 6) ∑ ∞ = + − 1 6 3 5 1 n n n n ; 7) ∑ ∞ =1 3 1 arctg n n ; 8) ∑ ∞ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + 1 2 3 2 1 1 n n n ; 9) ∑ ∞ = + + 1 2 1 7 1 n n n ; 10) ∑ ∞ = + 1 Задание 15. 1) ∑ ∞ = + − 1 1 2 ) 1 ( n n n ; 2) ∑ ∞ = − − 1 2 1 1 ) 1 ( n n n ; 3) ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ π + ⋅ − 1 1 1 ) 1 ( n n n n n e ; 4) ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − 1 2 1 3 1 2 ) 1 ( n n n n n ; 5) ∑ ∞ = − − 1 1 1 ) 1 ( n n n n ; 6) ∑ ∞ = − + + − 1 1 ) 3 )( 2 ( 1 ) 1 ( n n n n ; 7) ∑ ∞ =1 3 cos n n n ; 8) ∑ ∞ = − 1 2 1 sin ) 1 ( n n n ; 9) ∑ ∞ = + + 1 2 2 3 1 n n n ; 10) ∑ ∞ = + − 1 2 2 Задание 16. 1) ∑ ∞ = + − 1 3 2 ) 1 ( ) 1 ( n n n n ; 2) ∑ ∞ = − − − 1 1 1 2 1 ) 1 ( n n n ; 3) ∑ ∞ = − + + − 1 1 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( n n n n n ; 4) ∑ ∞ = + − 1 2 3 1 ) 1 ( n n n ; 5) ∑ ∞ = − − − 1 1 2 5 1 ) 1 ( n n n ; 6) ∑ ∞ = − − − 1 1 2 3 1 ) 1 ( n n n ; 7) ∑ ∞ = − + − 1 1 1 1 ) 1 ( n n n ; 8) ∑ ∞ = − 1 2 1 sin ) 1 ( n n n ; 9) ∑ ∞ = + − 1 1 2 1 ) 1 ( n n n ; 10) ∑ ∞ = + + − 1 Задание 17. 1) ∑ ∞ = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 1 n n n n n n n ; 2) ∑ ∞ =1 2 sin n n ; 3) ∑ ∞ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 ) 2 4 ( 10 6 2 ) 1 3 ( 1 7 4 n n n ; 4) ∑ ∞ = − 1 1 ) 1 ( n n n n ; 5) ∑ ∞ =1 3 1 arctg n n ; 6) 0 , ! 1 > ∑ ∞ = x n x n n ; 7) ∑ ∞ = + 1 ) 1 2 ( 2 3 n n n n ; 8) ∑ ∞ = − − 1 2 1 5 ) 1 ( n n n n ; 18 9) ∑ ∞ = + − 1 1 ) 1 ( n n n n ; 10) ∑ ∞ = + + 1 2 2 Задание 18. 1) ∑ ∞ =1 2 2 3 ) ! ( n n n ; 2) ∑ ∞ = + + − + 1 4 2 ) 1 2 1 ( n n n n ; 3) ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 3 n n n n ; 4) ∑ ∞ = π 1 sec ln n n ; 5) ∑ ∞ = − π − 1 1 sin ) 1 ( n n n n ; 6) ∑ ∞ =1 1 sin n n n ; 7) ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π − 1 cos 1 n n ; 8) ∑ ∞ =1 2 3 n n n ; 9) ∑ ∞ = + 1 2 n n n n ; 10) n n n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ∑ ∞ = 1 Задание 19 1) ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 2 1 2 n n n n ; 2) ∑ ∞ = − + − 1 1 4 3 1 ) 1 ( n n n ; 3) ( ) ∑ ∞ = − − 1 2 1 n n n ; 4) ∑ ∞ = − + − 1 2 1 3 2 ) 1 ( n n n ; 5) ( ) 1 1 1 ) 1 ( 1 1 − − + − ∑ ∞ = − n n n n n ; 6) 0 , 1 1 1 1 > ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∑ ∞ = − a a a n n n ; 7) ∑ ∞ = π 1 3 2 sin n n n ; 8) ∑ ∞ =14 5 1 sin n n n ; 9) ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 3 1 7 n n n n ; 10) ∑ ∞ = + − 1 Задание 20 1) ∑ ∞ = α 1 ! cos n n n ; 2) ∑ ∞ = − + − 2 ) 1 ( ) 1 ( n n n n ; 3) ∑ ∞ = + − 1 5 ) 1 ( n n n ; 4) ∑ ∞ = − + + − 1 1 3 2 ) 1 ( n n n n ; 5) ∑ ∞ = − 1 2 ) 1 ( n n ; 6) ∑ ∞ = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − 1 ) 5 2 ( 11 9 7 ) 2 3 ( 7 4 1 ) 1 ( n n n n ; 7) ∑ ∞ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 ) 1 2 ( 5 3 1 4 n n n ; 8) ∑ ∞ = + 1 2 3 n n n ; 9) ∑ ∞ = + − 1 ) 1 ( ln 1 ) 1 ( n n n ; 10) ∑ ∞ = + − 1 3 3 1 ) 1 ( n n n 19 |