математический анализ _часть 1. Учебное пособие для студентов механикоматематического факультета издательство саратовского университета 2005 2

• Название: Учебное пособие для студентов механикоматематического факультета издательство саратовского университета 2005 2
• Анкор: математический анализ _часть 1.pdf
• Дата: 25.04.2017
• Размер: 431.21 Kb.
• Имя файла: математический анализ _часть 1.pdf
• Тип: Учебное пособие; #4903
• страница: 4 из 6

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МЕТОДАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Графики многих функций можно в общих чертах нарисовать, не выходя за пределы самых простых соображений. Если мы желаем уточнить эскиз графика, то можно привлечь аппарат дифференциального исчисления. При исследовании функции с целью построения эскиза ее графика рекомендуется придерживаться следующего плана

34 1) найти область определения функции и выяснить поведение функции на границе области определения
2) отметить характерные точки графика, в частности точки пересечения с осями координат, если таковые имеются и доступны вычислению
3) отметить некоторые особенности функции, если они имеются, как- то четность, нечетность, симметричность
4) найти точки разрыва функции и промежутки непрерывности
5) найти точки локальных экстремумов и промежутки монотонности
6) определить точки перегиба и характер выпуклости
7) найти асимптоты в случае их существования. Монотонность функции
Определение 15. Функция f , определенная на интервале
)
,
( b
a
, называется) неубывающей невозрастающей, если
)
(
)
(
2 1
x
f
x
f
≤
(
)
(
)
(
2 1
x
f
x
f
≥
) при любых
b
x
x
a
<
<
<
2 1
;
2) возрастающей убывающей, если
)
(
)
(
2 1
x
f
x
f
<
(
)
(
)
(
2 1
x
f
x
f
>
) при любых
b
x
x
a
<
<
<
2 Такие функции называют монотонными, а в случае 2) более конкретно строгом оно тонными. Достаточные условиям оно тонн ости Если при любом
)
,
( b
a
x
∈
1) )
0
(
0
)
(
'
≤
≥
x
f
, тоне убывает (не возрастает) на b
a
;
2) )
0
(
0
)
(
'
<
>
x
f
, то f возрастает (убывает) на
)
,
( Локальные экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции Определение 16. Точка
0
x называется точкой внутреннего локального экстремумам а кси м ума или минимума) функции, если в некоторой окрестности
ε
<
−
0
x
x
точки
0
x выполняется соответственно неравенство
)
(
)
(
0
x
f
x
f
≤
или ТЕОРЕМА 13 Ферма (или необходимое условие локального экстремума. Если точка
0
x
– точка внутреннего локального экстремума функции
f и функция дифференцируема в точке
0
x , то Замечание. Условие не является достаточным условием экстремума. Точки, в которых или же производная не существует, называются критическими Достаточные условия экстремума. Если функция f непрерывна в некоторой окрестности точки
0
x
, которая является критической точкой при
0 0
x
x
x
<
<
δ
−
и
0
)
(
'
0
<
x
f
при
δ
+
<
<
0 0
x
x
x
, то
0
x – точка локального максимума функции f , если же
0
)
(
'
0
<
x
f
при
0 и при
δ
+
<
<
0 0
x
x
x
, то
0
x – точка минимума функции f .
II. Если
0
)
(
'
0
=
x
f
и
0
)
(
''
0
<
x
f
, то
0
x – точка максимума функции
f ; если
0
)
(
'
0
=
x
f
и
0
)
(
''
0
>
x
f
, то
0
x – точка минимума, если же
0
)
(
'
0
=
x
f
, 0
)
(
''
0
=
x
f
и
0
)
(
0
)
3
(
≠
x
f
, то точка
0
x не является точкой экстремума функции.
III. Пусть функция f имеет в некоторой окрестности
δ
<
−
|
|
0
x
x
производные до порядка включительно ив точке производную
)
(
0
)
(
x
f
n
, причем
0
)
(
0
)
(
=
x
f
k
(
1
,...
1
−
=
n
k
),
0
)
(
0
)
(
≠
x
f
n
. Тогда
1) если n – четное, тов точке
0
x
функция f имеет максимум при
0
)
(
0
)
(
<
x
f
n
и минимум при
0
)
(
0
)
(
>
x
f
n
;
2) если n – нечетное, тов точке
0
x функция f экстремума не имеет. Наибольшее и наименьшее значения функции Если функция f непрерывна на отрезке
]
,
[ b
a
, то наибольшее и наименьшее значения достигаются функцией или в критических точках или на концах отрезка. Выпуклость функции Говорят, что дифференцируемая функция f на интервале
)
,
( b
a
является выпуклой (вогнутой, если при
)
,
( ее график расположен выше (ниже) касательной, проведенной к нему в любой точке Достаточным условием выпуклости (вогнутости) на интервале
)
,
( дифференцируемой функции является условие 0
)
(
''
>
x
f
(
0
)
(
''
<
x
f
) при
)
,
( Точки, в которых меняется характер выпуклости, называют точками перегиба. Точка
0
x , в которой
0
)
(
''
=
x
f
или вторая производная не существует, является точкой перегиба функции f , если
)
(
'' меняет знак при переходе через точку Асимптоты
1. Вертикальные асимптоты. Если существует точка a такая, что
∞
=
→
)
(
lim
x
f
a
x
, то прямая
a
x
= является вертикальной асимптотой.

36 2. Наклонные асимптоты. Если
k
x
x
f
x
=
∞
+
→
)
(
lim и
b
kx
x
f
x
=
−
∞
+
→
]
)
(
[
lim
, то прямая является правой наклонной асимптотой (если
0
=
k
, то – правой горизонтальной асимптотой. Если вместо предела при
+∞
→
x
, рассмотреть предел при
−∞
→
x
, то такая прямая является левой асимптотой. Пример 44. Построить график функции
3 Область определения функции Функция нечетная, так как
)
(
1 1
)
(
)
(
3 2
3 Следовательно, график симметричен относительно точки
)
0
,
0
(
. Это обстоятельство упрощает построение графика. Рассмотрим функцию на множестве
)
,
1
(
)
1
,
0
[
+∞
∪
. Так как
+∞
=
−
+
→
3 2
0 1
1
lim
x
x
x
, а
−∞
=
−
−
→
3 2
0 1
1
lim
x
x
x
, то прямая
1
=
x
является вертикальной асимптотой графика. На промежутках
)
1
,
0
[
и
)
,
1
(
+∞
функция непрерывна и дифференцируема Найдем критические точки на правой полуоси, решив уравнение
0
)
1
(
3 3
4 2
2
=
−
−
x
x
⇒ На промежутке
)
1
,
0
(
и промежутке
)
3
,
1
(
0
)
(
'
<
x
f
. Следовательно, на них функция убывает. На промежутке
)
,
3
(
+∞
0
)
(
'
>
x
f
и функция возрастает. Таким образом, точка
3
=
x
– точка локального минимума. Вторая производная
3 7
2 2
3 8
2 3
1 2
2 3
4 2
)
1
(
9
)
9
(
2
)
1
(
2
)
1
(
3 4
)
3
(
)
1
(
2 и
0
)
(
''
=
x
f
при
3
=
x

37 На промежутках
)
1
,
0
(
и
)
,
3
(
+∞
0
)
(
''
<
x
f
, и функция является вогнутой на промежутке
)
3
,
1
(
0
)
(
''
>
x
f
и функция выпуклая. Так как
0 1
1
lim
)
(
lim
3 2
=
−
=
∞
+
→
∞
+
→
x
x
x
f
x
x
,
∞
=
−
=
−
=
∞
+
→
∞
+
→
∞
+
→
3 2
3 1
3 2
1 1
lim
1
lim
)
(
lim
x
x
x
x
x
f
x
x
x
, то правой наклонной асимптоты нет. Пользуясь результатами исследования, строим график функции (рисунок. Контрольная работа 2 Задание 1.
Пользуясь определением предела функции, доказать равенства. Для заданного
ε вычислить наибольшее δ, для которого выполняется соотношение
( )
ε
<
−
⇒
δ
<
−
<
A
x
f
x
x
0 0
1)
2
-3 2
5 3
lim
7 3
x
x
x
x
→
+
−
= −
+
,
0.03
ε =
,
( )
ε
<
−
⇒
δ
<
−
<
A
x
f
x
3 0
;
2)
2 1
5 4
1
lim
6 1
x
x
x
x
→
−
−
=
−
,
0.01
ε =
, 0 1
( )
x
f x
A
< − < δ ⇒
−
< ε ;
3)
2
- 2 3
5 2
lim
7 2
x
x
x
x
→
+
−
= −
+
, 0.1
ε =
, 0 2
( )
x
f x
A
< + < δ ⇒
−
< ε ;
4)
2
- 2 3
5 2
lim
7 2
x
x
x
x
→
+
−
= −
+
,
0.1
ε =
,
2
( )
x
f x
A
+ < δ ⇒
−
< ε;

38 5)
2 3
4 14 6
lim
10 3
x
x
x
x
→
−
+
=
−
,
0.004
ε =
, 0 3
( )
x
f x
A
< − < δ ⇒
−
< ε ;
6)
2 1 2 6
1
lim
5 1 2
x
x
x
x
→
− −
=
−
, 0.01
ε =
, 0 1/ 2
( )
x
f x
A
< −
< δ ⇒
−
< ε .
7)
2
-1 3 9
1
lim
6 1 3
x
x
x
→
−
= −
+
,
0.03
ε =
, 0 1/ 3
( )
x
f x
A
< +
< δ ⇒
−
< ε ;
8)
2 3
4 3
lim
2 3
x
x
x
x
→
−
+
=
−
, 0.02
ε =
, 0 3
( )
x
f x
A
< − < δ ⇒
− < ε ;
9)
2 1 2 2
3 2
lim
5 1 2
x
x
x
x
→
+
−
=
−
,
0.02
ε =
, 0 1/ 2
( )
x
f x
A
< −
< δ ⇒
−
< ε ;
10)
2 1 3 6
1
lim
5 1 3
x
x
x
x
→
+ −
=
−
, 0.05
ε =
, 0 1/ 3
( )
x
f x
A
< −
< δ ⇒
−
< ε . В заданиях 2 – 7 вычислить предел функции. Задание 2.
1)
(
)
2 2
3 2
3 2
3
lim
4 3
x
x
x
x
x
x
→ −
+
−
+
+
; 2)
(
)
2 3
4 1
2 1
lim
2 1
x
x
x
x
x
→ −
−
−
+
+
; 3)
(
)
3 5
0 1
(1 3 )
lim
x
x
x
x
x
→
+
− +
+
;
4)
3 2
1 3
2
lim
2
x
x
x
x
x
→ −
−
−
− −
;
5)
3 3
2 1
3 2
lim
1
x
x
x
x
x
x
→
−
+
−
− +
; 6)
3 2
3 1
4 5
2
lim
3 2
x
x
x
x
x
x
→ −
+
+
+
−
−
;
7)
4 4
2 1
1
lim
2 1
x
x
x
x
→
−
−
−
;
8)
3 2
3 2
- 2 5
8 4
lim
3 4
x
x
x
x
x
x
→
+
+
+
+
−
; 9)
3 2
3 2
2 5
8 4
lim
3 4
x
x
x
x
x
x
→
−
+
−
−
+
;
10)
3 2
3 2
2 6
12 8
lim
3 Задание 3.
1)
4 1 2 3
lim
2
x
x
x
→
+
−
−
;
2)
2 3
13 2
1
lim
9
x
x
x
x
→
+
−
+
−
; 3)
4 16 2
lim
4
x
x
x
→
−
−
;
4)
3 3
2 6
2
lim
8
x
x
x
→ −
− +
+
;
5)
3 8
9 2
5
lim
2
x
x
x
→
+
−
−
; 6)
3 1
1
lim
1 2
x
x
x
x
→
−
+ −
;
7)
3 3
0 1
1
lim
1 1
x
x
x
x
x
→
+ −
−
+ −
−
; 8)
3 2
4 2
lim
2 2
x
x
x
x
→
−
+ −
; 9)
2 1
1
lim
1
x
x
x
→
−
−
;
10)
3 3
9 3
lim
3 2
x
x
x
x
→
−
+ −

39 Задание 4.
1)
(
)
0
ln 1 sin lim sin 4
x
x
x
→
+
;
2)
2 0
1 cos10
lim
1
x
x
x
e
→
−
−
; 3)
0 1 cos 2
lim cos 7
cos3
x
x
x
x
→
−
−
;
4)
0 4
lim tg( (2
))
x
x
x
→
π +
;
5)
0 2
lim tg[2 (
1 2)]
x
x
x
→
π +
; 6)
2 0
sin 7
lim
x
x
x
x
→
+ π
;
7)
0 2sin[ (
1)]
lim ln(1 2 )
x
x
x
→
π +
+
; 8)
0 9ln(1 2 )
lim
4arctg3
x
x
x
→
−
; 9)
0
cos 2
cos lim
1 cos
x
x
x
x
→
−
−
;
10)
2 0
cos(
5 2)tg lim arcsin 2
x
x
x
x
→
+ Задание 5.
1)
2 1
1
lim ln
x
x
x
→
−
; 2)
2 1
1 1
lim ln
x
x
x
x
→
− + −
;
3)
2 1 cos3
lim sin 7
x
x
x
→ π
+
;
4)
2 4
1 sin 2
lim
(
4 )
x
x
x
→π
−
π −
; 5)
2
tg3
lim tg
x
x
x
→ π
; 6)
0 2 sin lim
1 cos
x
x
x
x
→
−
;
7)
0 1
cos lim sin
x
x
x
x
→
−
; 8)
0
arcsin 2
lim ln(
) 1
x
x
e
x
→
−
−
; 9)
2 2
lim sin
x
x
x
→ π
− π
;
10)
2 1
3 3 1
lim sin
x
x
x
x
→
−
+ Задание 6.
1)
3 0
1 tg
1 sin lim
x
x
x
x
→
+
−
+
; 2)
2 0
1
sin cos 2
lim sin
x
x
x
x
x
→
+
−
; 3)
2 0
1
sin
1
lim
1
x
x
x
x
e
→
+
−
−
;
4)
2 0
1 cos 2
tg lim sin 3
x
x
x
x
x
→
−
+
; 5)
0
sin 2 2sin lim ln cos5
x
x
x
x
x
→
−
; 6)
sin 2 2
ln cos lim
3 1
x
x
x
→ π
−
;
7)
2
ln cos 2
lim
(1
)
x
x
x
→ π
− π
; 8)
3 2
1 1 ln
1
lim
1 cos
x
x
x
→
+
−
+
π
; 9) sin
3
ln(2 5)
lim
1
x
x
x
e
π
→
−
−
;
10) ln cos 2
lim ln cos 4
x
x
x
→ Задание 7.
1)
(
)
2 1 tg
0
lim 1 ln(1 sin )
x
x
x
→
−
−
; 2)
(
)
2 1 3 2
0
lim 1 tg
x
x
x
→
+
;

40 3)
(
)
(
)
3 1 ln 1 2
0
lim 1
sin
x
x
x
x
+π
→
−
; 4)
(
)
1 ln cos
2 0
lim 1 sin 3
x
x
x
→
+
;
5)
(
)
1 2
0
lim 1 sin
x
x
x
→
−
; 6)
2
ctg
0 5
lim
6
cos
x
x
x
→
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎝
⎠
;
7)
3 1
0 1 tg cos 2
lim
1 tg cos5
x
x
x
x
x
x
→
⎛
⎞
+
⎜
⎟
+
⎝
⎠
; 8)
(
)
2 1 tg
0
lim 1 ln cos
x
x
x
→
−
;
9) ctg
0
lim tg
4
x
x
x
→
⎛
π
⎞
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
; 10)
2
cosec
0 Задание 8. Доказать непрерывность функции
( )
f в точке
0
x
1)
( )
2 0
5 1,
6