Строительная_Информатика (заочники). Учебное пособие. М. Архитектура С
 Скачать 1.78 Mb.
|
|
N 2 x γA A T u u q 2 1 , T N N P 2 1 , 20.01.2013 245 Перемещение в произвольной точке с координатой x аппроксимируем линейной функцией где α 1 , α 2 – постоянные коэффициенты. В матричной записи : или где - матрица базисных функций ; - вектор постоянных. , ) ( 2 1 x x u 2 1 1 x u T 2 1 , , F u x F 1 20.01.2013 246 Получим выражение для вектора . или где - матрица узловых координат. Отсюда Подставим в : u 2 1 2 1 1 0 1 l u u q , C q l С 1 0 1 . 1 1 0 1 1 q l l q C 20.01.2013 247 Обозначим и тогда - функции формы или координатные функции. l x l x l l l x C F Ф 1 1 0 1 1 1 . 1 1 0 1 1 1 q l l x q C F u . q Ф u Ф 20.01.2013 248 Найдем выражение для деформаций : или где . Обозначим и тогда dx d A . q B 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 l l l l x A Ф A B x dx du x , q Ф A x 20.01.2013 249 Найдем выражение для напряжений : Из закона Гука σ x = Eε x имеем где [D] = [E] , E – модуль упругости материала стержня . Из принципа возможных перемещений получим коэффициенты жесткости и уравнения равновесия стержневого КЭ. , D x . q B D 20.01.2013 250 Работа внутренних сил равна работе внешних (нагрузки в узлах + сила тяжести) Подставляя ранее полученные выражения получим . dv u P q dv КЭ КЭ V T T V T , , q B D Ф q u B q T T T T T T dv Ф q P q q dv B D B q КЭ КЭ V T T T V T T . dv Ф P q dv B D B КЭ КЭ V T V T 20.01.2013 251 Это основное матричное уравнение КЭ где - матрица жесткости ; - вектор обобщенных узловых сил (с учетом веса стержня). Получим матрицу жесткости : dv Ф P R КЭ V T dv B D B K КЭ V T , R q K K 20.01.2013 252 Интеграл по объему заменим интегралом по длине где A – площадь поперечного сечения стержня ( A = const ). Тогда ; dx B D B A K l T , dx A dv ; 1 1 1 1 1 0 1 1 0 l l l B ; 1 1 1 l B T . 1 1 1 1 1 1 1 1 2 l AE l AEl K 20.01.2013 253 Вектор узловых сил Окончательное уравнение для КЭ Решив эту систему получим узловые перемещения u 1 и u 2 , а затем перемещения, деформации и напряжения в любой точке стержня. . 2 / 2 / 2 1 Al N Al N R . 2 / 2 / 1 1 1 1 2 1 2 1 Al N Al N u u l AE |