Строительная_Информатика (заочники). Учебное пособие. М. Архитектура С
 Скачать 1.78 Mb.
|
|
x a EI x q x f , x f dx y d i 20.01.2013 104 Методы решения таких задач делят на две группы: Сведение решения краевой задачи к решению серии задач Коши (метод стрельбы). Конечно - разностные методы. 20.01.2013 105 Идея метода заключается в сведении краевой задачи к решению системы алгебраических уравнений путем замены производных в дифференциальном уравнении и граничных условиях конечно - разностными отношениями. Метод конечных разностей 20.01.2013 106 Решение осуществляется в три этапа: 1. Область изменения аргумента заменяется дискретным множеством точек, называемых разностной сеткой. 2. Дифференциальные уравнения и граничные условия заменяются своими разностными аналогами. В результате получается система алгебраических уравнений. 3. Полученная система уравнений решается относительно искомых значений функции известным методом. 20.01.2013 107 Рассмотрим идею метода на примере краевой задачи для линейного дифуравнения второго порядка : при линейных граничных условиях третьего рода где p(x), q(x), f(x) – непрерывные функции на отрезке [a, b] . ] [ ) ( ) ( ) ( b a, x , x f y x q y x p y d, b y d b y d c, a y c a y c ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 20.01.2013 108 Согласно первого этапа метода введем на [ a, b ] сетку из n+1 узловых точек с постоянным шагом h : x i = x 0 + i h, i = 0, 1, …, n, где x 0 = a, x n = b, h = (b - a) / n . Будем считать, что все переменные задачи определены только в узловых точках. Требуется найти значения y i в узловых точках. 20.01.2013 109 Согласно второго этапа метода первую и вторую производные, входящие в дифференциальное уравнение аппроксимируем (приближенно заменим) конечно - разностными отношениями. Для внутренних узлов будем иметь . 1 2 , 1 2 2 2 1 1 1 1 n , , i , h y y y y , h y y y i i i i i i i 20.01.2013 110 Дифференциальное уравнение во внутренних узловых точках можно приближенно заменить линейной системой алгебраических уравнений . 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 n , , , i , f y q h y y p h y y y i i i i i i i i i 20.01.2013 111 Кроме того граничные условия дополнительно дают еще два уравнения Получаем систему из n+1 линейных уравнений с n+1 неизвестными y 0 , y 1 , …, y n . . 1 2 1 0 1 2 0 1 d h y y d y d c, h y y c y c n n n 20.01.2013 112 Приведем систему к виду и введем обозначения . 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 n , , , i , h f h p y h q y h p y i i i i i i i . 1 2 1 ; 2 1 ; 2 ; 2 1 2 2 n , , , i , h f h p h q h p i i i i i i i i 20.01.2013 113 Получим Граничные условия также преобразуем к виду где . 1 2 1 1 1 n , , , i , y y y i i i i i i i , y y , y y n n n n n 1 0 1 0 0 0 . ; ; ; ; ; 2 1 2 0 2 0 2 1 0 dh d h d d ch c c h с n n n 20.01.2013 114 Перепишем систему в виде Согласно третьего этапа необходимо решить данную систему линейных алгебраических уравнений, каждое из которых содержит три соседних неизвестных : y i-1 , y i , y i+1 . . . 1 2 1 1 1 1 0 1 0 0 0 n n n n n i i i i i i i y y n , , , i , y y y , y y 20.01.2013 115 Для решения таких систем разработан специальный метод, получивший название - метод прогонки . Метод прогонки представляет собой модификацию метода исключения Гаусса для системы с трехдиагональной матрицей коэффициентов . Алгоритм метода включает прямой и обратный ход. На прямом ходе (вниз по системе) вычисляются так называемые прогоночные коэффициенты. 20.01.2013 116 Прямой ход начинается с определения начальных прогоночных коэффициентов и затем по рекуррентным соотношениям вычисляются прогоночные коэффициенты v i и u i : 2 1 0 0 0 2 1 2 0 0 0 , c h c ch u c h c c v 1 , , 2 , 1 1 1 1 n i , v u u , v v i i i i i i i i i i i i 20.01.2013 117 На обратном ходе (вверх по системе) через прогоночные коэффициенты вычисляются искомые неизвестные системы. Сначала вычисляется а затем остальные неизвестные по рекуррентной формуле y i = u i + v i ∙y i+1 , i = n-1, n-2, … , 0 . , ) 1 ( 1 2 1 1 2 1 1 n n n n n n n n n n v d h d u d dh v u u y 20.01.2013 118 Устойчивость и корректность метода прогонки обеспечивается условием преобладания диагональных коэффициентов в трехдиагональной системе . 1 0 n , , , i , i i i 20.01.2013 119 Алгоритм метода прогонки 1 i i i i y v u y конец i=n–1, 0,-1 ) 1 ( 1 2 1 1 2 n n n v d h d dh u d y y i i=0, n начало ввод a, b, n ввод c 1 , c 2 , c, d 1 , d 2 , d 2 1 0 c h c ch u 2 1 2 0 c h c c v n a b h 1 i i v v 1 1 i i i v u u i=1, n - 1 h i a x 2 ) ( 1 h x p 2 ) ( 1 h x p 2 ) ( 2 h x q 2 ) ( h x f 20.01.2013 120 Погрешность в методе конечных разностей возникает при замене производных задачи на их конечно - разностные аналоги. Эта погрешность тем меньше, чем меньше назначен шаг h сетки узловых точек или, по - другому, чем больше их число n . 20.01.2013 121 Методы решения задачи Коши 20.01.2013 122 Задача Коши распространена во многих областях науки и техники, поэтому существует большое число приближенных методов ее решения. Методы делят на две группы: Одношаговые методы (методы Эйлера и Рунге – Кутта). Многошаговые методы (методы прогноза и коррекции). РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ 20.01.2013 123 Пошаговые методы предусматривают получение последовательности приближенных значений y i для заданных дискретных значений аргумента x i из области решения. Значения x i задают, начиная с начального x 0 , с постоянным шагом h x i = x 0 + i∙h (i = 0,1, …). В одношаговых методах значение y i+1 в последующей точке вычисляют |