Строительная_Информатика (заочники). Учебное пособие. М. Архитектура С
 Скачать 1.78 Mb.
|
|
через приближенное значение y i в одной предыдущей точке. 20.01.2013 124 В многошаговых методах для отыскания решения y i+1 в последующей точке используется информация о решении в нескольких предыдущих точках. 20.01.2013 125 Рассмотрим решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка (x 0 , y 0 ) - начальная точка решения. Метод Эйлера . ) ( ), , ( 0 0 y x y y x f dx dy 20.01.2013 126 Геометрически решение происходит следующим образом. От точки x 0 делаем шаг h и переходим к точке x 1 = x 0 + h . Положение новой точки y 1 определяем по наклону кривой решения y (x) в точке x 0 (через уравнение касательной). 20.01.2013 127 у' (x 0 ) - тангенс угла наклона касательной в точке x 0 вычисляем из дифференциального уравнения 20.01.2013 128 у' (x 0 ) = f (x 0 , y 0 ). Тогда у 1 = у 0 + h∙f (x 0 , y 0 ). Строим аналогично касательную в точке (x 1 , y 1 ) и для точки x 2 получим у 2 = у 1 + h∙f (x 1 , y 1 ). Таким образом, истинная кривая решения y = y(x) приближенно представляется ломаной, составленной из отрезков касательных. Для произвольной (i+1) - ой точки получим у i+1 = у i + h∙f (x i , y i ), i = 0, 1, ... . 20.01.2013 129 Такую же формулу получим, используя разложение в ряд решения y (x) в окрестности точки x i по формуле Тейлора (при условии, что шаг h мал) Пренебрегая в разложении членами второго порядка и выше, получим у i+1 = у i + h∙y' i = у i + h∙f (x i , y i ), i = 0, 1, ... Это основная расчетная формула метода Эйлера. . ) ( ! 2 1 ) ( ) ( ) ( 2 i i i i x y h x y h x y h x y 20.01.2013 130 Так как в расчетной формуле отбрасывают члены, содержащие h во второй степени и более, то погрешность на каждом шаге метода пропорциональна h 2 . Метод Эйлера называют методом первого порядка точности на интервале решения. 20.01.2013 131 Пример. Методом Эйлера найти решение задачи Коши в трех последовательных точках: x 1 = 0,2 ; x 2 = 0,4 ; x 3 = 0,6 . Найти точное решение задачи и найти величину абсолютной погрешности. Из условия задачи шаг h = 0,2 . Используя расчетную формулу Эйлера найдем приближенное решение задачи Коши: 5 , 1 ) 0 ( y x y y . 464 , 2 ) 4 , 0 12 , 2 ( 2 , 0 12 , 2 ) ( 2 , 0 ; 12 , 2 ) 2 , 0 8 , 1 ( 2 , 0 8 , 1 ) ( 2 , 0 ; 8 , 1 5 , 1 2 , 0 5 , 1 ) ( 2 , 0 2 2 2 3 1 1 1 2 0 0 0 1 x y y y x y y y x y y y 20.01.2013 132 Получили численное решение задачи Коши : Точное решение этой задачи : Вычислим значения точного решения в указанных точках. Абсолютную погрешность вычислим как максимальную разницу приближенных и точных значений - R ≈ 0,05. x i 0 0.2 0.4 0.6 y i 1.5 1.8 2.12 2.464 . 1 5 , 0 ) ( x e x y x x i 0 0.2 0.4 0.6 y i 1.5 1.811 2.146 2.511 20.01.2013 133 Если при разложении функции y(x) в ряд Тейлора сохранить член с h 2 , то очевидно, что погрешность вычисления уменьшится и будет пропорциональна h 3 . Тогда, отбрасывая члены выше второго порядка, получим : Модифицированный метод Эйлера ). ( ! 2 1 ) ( ) ( ) ( 2 i i i i x y h x y h x y h x y 20.01.2013 134 Для расчета нужно знать вторую производную. Ее можно приближенно заменить разностным отношением Тогда или . ) ( ) ( ) ( h x y h x y x y x y i i i ) ( ) ( 2 ) ( ) ( i i i i x y h x y h x y h x y . ) ( ) ( 2 1 1 1 i i i i i i y , x f y , x f h y y 20.01.2013 135 Геометрически это означает, что вместо наклона касательной к истинной кривой в точке (х i , y i ) , который используется в формуле Эйлера, здесь применяется среднее значение наклонов касательных в точке (х i , y i ) и последующей точке (х i+1 , y i+1 ) . Поскольку y i+1 неизвестно, то предварительно его можно получить по формуле Эйлера. 20.01.2013 136 Расчетные формулы модифицированного метода Эйлера : i = 0, 1, … , ) ( * 1 i i i i y , x f h y y , ) ( ) ( 2 * 1 1 1 i i i i i i y , x f y , x f h y y 20.01.2013 137 Модифицированный метод Эйлера - метод второго порядка точности на интервале решения. 20.01.2013 138 Метод Рунге - Кутта по сути объединяет методы решения задачи Коши различного порядка точности. В формуле Эйлера первого порядка точности для вычисления y i+1 используется только одно значение наклона касательной f (х i , y i ) , в модифицированных формулах второго порядка точности - два значения наклона f (х i , y i ) и f (х i+1 , y i+1 ) . Метод Рунге - Кутта 20.01.2013 139 Следовательно, для дальнейшего повышения точности необходимо в формулах учитывать большее число наклонов на интервале шага. На практике наиболее часто используют метод Рунге - Кутта четвертого порядка точности, для которого погрешность на шаге пропорциональна h 5 . Его формулы используют четыре наклона : в начале, в конце и два в середине шага. 20.01.2013 140 Высокая точность этого метода позволяет увеличить шаг h при выполнении практических расчетов. . ) ( ) 2 2 ( ) 2 2 ( ) ( 2 2 6 3 4 2 3 1 2 1 4 3 2 1 1 hK y h, x f K , K h y , h x f K , K h y , h x f K , y , x f K , K K K K h y y i i i i i i i i i i 20.01.2013 141 Формулы Рунге - Кутта любого порядка точности можно использовать для решения систем дифференциальных уравнений и, следовательно, для решения дифференциальных уравнений более высоких порядков, так как любое дифуравнение п - го порядка можно свести к п дифуравнениям первого порядка. 20.01.2013 142 В качестве примера рассмотрим задачу Коши для системы, состоящей из двух дифференциальных уравнений первого порядка с двумя начальными условиями : , z y x g dx dz , z y x f dx dy ) , , ( ) , , ( . ) ( ) ( 0 0 0 0 z x z , y x y |