Строительная_Информатика (заочники). Учебное пособие. М. Архитектура С
 Скачать 1.78 Mb.
|
|
разностной схемы - набор (конфигурацию) узлов, с помощью которых производится замена производных конечными разностями. Шаблон, содержащий р узлов, называется р - точечным. 20.01.2013 166 Например, для аппроксимации производных второго порядка, входящих в оператор Лапласа, применяют пятиточечный шаблон u(x, y) u(x + h, y) u(x - h, y) h y h x u(x, y + h) i, j + 1 u(x, y - h) i, j - 1 i, j i - 1, j i + 1, j 20.01.2013 167 В соответствии с выбранным шаблоном получают выражения для аппроксимации частных производных: ). ( ) , ( ) , ( 2 ) , ( ), ( ) , ( ) , ( 2 ) , ( 2 2 2 2 2 2 2 2 h O h h y x u y x u h y x u y u h O h y h x u y x u y h x u x u 20.01.2013 168 Разностные аппроксимации производных подставляют в уравнения задачи и получают систему алгебраических сеточных уравнений , связывающих значения искомой функции в соседних узлах. 20.01.2013 169 3 этап . Решение полученной системы алгебраических уравнений подходящим методом с целью получения приближенного решения в узлах сетки. Число уравнений системы равно числу узлов сетки и может быть велико. Матрица системы является сильно разреженной (много нулевых элементов). 20.01.2013 170 Прямые методы решения таких систем (если сеточные уравнения – линейные) неэффективны, поэтому их решают с помощью итерационных методов: простой итерации, Зейделя, релаксационных. 20.01.2013 171 Практическое использование метода сеток представляет достаточно сложную задачу в виду широкого разнообразия типов и размеров сеток, видов уравнений в частных производных, возможных конечно - разностных аппроксимаций этих уравнений и методов решения получаемых систем алгебраических уравнений. 20.01.2013 172 В строительной механике, теории упругости часто приходится решать задачи определения деформаций, возникающих в сечении стержня при кручении. Математическая постановка таких задач сводится к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа или Пуассона. Решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения 20.01.2013 173 Требуется найти распределение значений функции u(x, y) (деформации материала) внутри замкнутой области G (по сечению стержня), то есть удовлетворяющей уравнению Лапласа если ее значения на границе Г области известны (заданы) : , 0 2 2 2 2 G x,y , y u x u , , ) , ( y x y x u Г 20.01.2013 174 Для упрощения примем, что область решения G имеет прямоугольную форму Тогда граничные условия можно представить в следующем виде: где - заданные функции. Функция u(x, y) непрерывна на границе : }. 0 , 0 { b y a x G ], , 0 [ ), ( ) , ( ), ( ) 0 , ( ]; , 0 [ ), ( ) , ( ), ( ) , 0 ( 4 3 2 1 a x x f b x u x f x u b y y f y a u y f y u ) ( ), ( ), ( ), ( 4 3 2 1 x f x f y f y f ). ( ) ( ), ( ) 0 ( ), 0 ( ) ( ), 0 ( ) 0 ( 4 2 3 2 4 1 3 1 a f b f a f f f b f f f 20.01.2013 175 Для решения используем метод сеток . На первом этапе метода в области решения G строим равномерную сетку из узловых точек. Для упрощения примем, что шаги сетки по x и y одинаковы, т.е. h x = h y = h . Координаты узловых точек : Искомую функцию в узловых точках обозначим u i, j = u(x i , y j ) . . , , 1 , 0 , ; , , 1 , 0 , m j h j y n i h i x j i 20.01.2013 176 Область решения задачи Дирихле x 0 y 0 y y m =b y j+1 y j-1 y j x x n x i+1 x i-1 x i u i,j a 0 G h x h y 20.01.2013 177 На втором этапе в каждом внутреннем узле сетки аппроксимируем частные производные, входящие в уравнение Лапласа, конечно - разностными отношениями : , 2 2 , 1 , , 1 2 2 h u u u x u j i j i j i . 2 2 1 , , 1 , 2 2 h u u u y u j i j i j i 20.01.2013 178 Получим систему сеточных уравнений вида После несложных преобразований перейдем к виду . 1 , , 2 , 1 , 1 , , 2 , 1 , 0 2 2 2 1 , , 1 , 2 , 1 , , 1 m j n i h u u u h u u u j i j i j i j i j i j i . 4 1 , 1 , , 1 , 1 , j i j i j i j i j i u u u u u 20.01.2013 179 На третьем этапе нужно решить данную систему уравнений с целью получения значений u i,j во всех внутренних узлах сетки. Линейная система с сильно разряженной матрицей коэффициентов наиболее эффективно решается итерационными методами. 20.01.2013 180 Воспользуемся методом Зейделя, который состоит в построении последовательности итераций вида Здесь верхний индекс означает номер итерации. Значения u i-1,j и u i,j-1 берутся из (k+1) - й итерации, поэтому обход внутренних узлов в расчете должен проходить слева направо и снизу вверх. . 4 1 ) 1 ( 1 , ) ( 1 , ) 1 ( , 1 ) ( , 1 ) 1 ( , k j i k j i k j i k j i k j i u u u u u 20.01.2013 181 В граничных узловых точках значения функции u i,0 , u i,m , u 0,j , u n,j известны точно и не изменяются в ходе расчета. Для старта итераций необходимо знать начальное приближение, т.е. значения функции на нулевой итерации. На практике в качестве хорошего начального приближения можно принять значение функции, полученное интерполяцией на область G значений функции в граничных узлах. 20.01.2013 182 Итерации заканчиваются при выполнении условия где ε - заданная погрешность решения системы сеточных уравнений. , max ) ( , ) 1 ( , , k j i k j i j i u u 20.01.2013 183 Общая погрешность численного решения уравнения Лапласа складывается из двух погрешностей: − погрешности конечно - разностной аппроксимации производных в дифференциальном уравнении, зависящей от выбранного шага сетки; − погрешности приближенного решения системы сеточных уравнений. 20.01.2013 184 начало ввод a,b,h, j=0,m i=1, n-1 ) ( ) ( 2 1 0 y f u y f u j n j j=1, m-1 n=a/h m=b/h y=jh i=0,n ) ( ) ( 4 3 0 x f u x f u m i i x=ih 1 j i u нет да конец r>p u[n,m] p=r p=0 i=1, n-1 j=1, m-1 j i u s r s u j i p 4 / ) ( 1 , 1 , , 1 , 1 j i j i j i j i u u u u s да нет 20.01.2013 185 Для сокращения числа итераций применяют релаксационные методы решения системы сеточных уравнений, в которых итерационный процесс строится по формуле где ω - параметр релаксации. При ω > 1 метод верхней релаксации, при ω = 1 метод полной релаксации и при ω < 1 методом нижней релаксации. , 4 1 ) 1 ( 1 , ) ( 1 , ) 1 ( , 1 ) ( , 1 ) ( , ) 1 ( , k j i k j i k j i k j i k j |