Строительная_Информатика (заочники). Учебное пособие. М. Архитектура С
 Скачать 1.78 Mb.
|
|
собственного значения. Исследуем трехосное напряженное состояние элемента тела. Матрица напряжений для него имеет следующий вид 20.01.2013 214 20.01.2013 215 Если исходить из того, что разрушение тела произойдет при максимальном напряжении, то необходимо знать величину наибольшего главного напряжения, которое соответствует наибольшему собственному значению матрицы напряжений. 20.01.2013 216 Решение ищется из матричного уравнения AX = λX Процедура начинается с пробного нормированного вектора X (0) . Этот вектор умножается слева на матрицу A и результат приравнивается произведению постоянной (собственное значение) и нормированного вектора X (1) . 20.01.2013 217 Если вектор X (1) совпадает с вектором X (0) в пределах заданной погрешности ε , то счет прекращается. В противном случае новый нормированный вектор используется в качестве исходного и вся процедура повторяется. Если процесс сходится, то постоянный множитель соответствует истинному наибольшему собственному значению, а нормированный вектор - соответствующему собственному вектору. 20.01.2013 218 Достаточно ли мала разность │X (k+1) - X (k) │ Выбор нормированного собственного вектора X (0) , k = 0 Вычисление АX (k) и определение X (k+1) Нормирование X (k+1) и вычисление k = k + 1 Нет Да Начало Конец 20.01.2013 219 Данный метод можно использовать также для вычисления наименьшего собственного значения. Если умножить исходную систему AХ = λХ на матрицу А -1 , обратную A , получим А -1 АX=λА -1 X или 1/λХ = A -1 X . Обозначим 1/λ = s , тогда получим A -1 X = sХ . 20.01.2013 220 Для данной матрицы A -1 находим наибольшее собственное значение s методом итераций. Тогда наименьшее собственное значение исходной матрицы А будет λ = 1/s . 20.01.2013 221 Метод конечных элементов 20.01.2013 222 Метод конечных элементов (МКЭ) для описания сплошных сред впервые был применен в середине 50 - х годов XX столетия и с тех пор завоевал известность исключительно полезного инженерного метода. Он широко применяется в различных областях техники. МКЭ – основной численный метод для решения на компьютере прикладных задач механики сложных конструкций. 20.01.2013 223 В строительной механике МКЭ используется для исследования напряженного состояния конструкций сложной геометрической формы. В основе МКЭ лежит универсальный подход, заключающийся в представлении геометрии любого деформируемого тела в виде совокупности элементов простейшей формы: линейной, треугольной, четырехугольной и др. 20.01.2013 224 Примеры конечных элементов : Одномерные Плоские Пространствен - ные 20.01.2013 225 Разбиение на конечные элементы 20.01.2013 226 20.01.2013 227 Основные этапы МКЭ 1. Разделение конструкции на малые элементы простой формы. 2. Выбор схемы интерполяции перемещений внутри элементов. 3. Определение соотношений между силами и перемещениями в узлах. 4. Вывод уравнений для системы в целом. 5. Решение системы линейных уравнений. 6. Вычисление значений других величин 20.01.2013 228 Разделение на конечные элементы (КЭ) можно выполнить множеством разных способов, так как выбор размеров, формы и ориентации КЭ определяется тем, как проще решить данную задачу. КЭ плоского тела имеют обычно треугольную или четырехугольную форму, а КЭ трехмерных тел – форму тетраэдров или гексаэдров. Принимают, что КЭ взаимодействуют между собой только в заданных узловых точках. Узлы и сами КЭ нумеруют. 20.01.2013 229 Конечно - элементная модель равномерно нагруженной пластины с центральным отверстием Основными неизвестными являются узловые перемещения 20.01.2013 230 На следующем этапе применения МКЭ выбирается какая - либо простая схема интерполяции, позволяющая выразить перемещение в любой точке внутри КЭ через его значения в узлах. Обычно перемещение задается простым полиномом с коэффициентами, определяемыми в процессе решения. 20.01.2013 231 Третий этап. Для каждого КЭ определяются зависимости между узловыми силами и перемещениями. Рассмотрим, как пример, плоский КЭ. y x j i O k R xi R yi i u i v i i 20.01.2013 232 Узлам придаются дополнительные связи. Например, для плоской задачи достаточно двух связей, исключающих линейные перемещения. Узловые реакции и узловые перемещения определяются своими компонентами в принятой системе координат. Для упругой деформации между реакциями и перемещениями существует линейная зависимость , 16 15 14 13 12 11 k k j j i i ix v k u k v k u k v k u k R 20.01.2013 233 где k ij – коэффициенты жесткости. Такие зависимости можно записать для всех шести компонентов узловых сил . 66 65 64 63 62 61 56 55 54 53 52 51 46 45 44 43 42 41 36 35 34 33 32 31 26 25 24 23 22 21 16 15 14 13 12 11 k k j j i i ky kx jy jx iy ix v u v u v u k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k R R R R R R 20.01.2013 234 Или в матричной форме где {R} – вектор узловых реакций ; [K] – матрица жесткости КЭ ; {q} – вектор узловых перемещений. Данная система линейных уравнений отражает условия равновесия КЭ. Матрица жесткости КЭ симметричная и может быть сформирована на основе принципа возможных перемещений. , q K R 20.01.2013 235 Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа) формулируется так. Если тело находится в равновесии и каждой его точке сообщить малое смещение , допускаемое наложенными связями (возможные перемещения), то работа всех сил на возможных перемещениях равна нулю или, по - другому, приращение работы внутренних сил равно работе внешних сил на возможных перемещениях, т.е. . U u W W U 20.01.2013 236 При этом полная потенциальная энергия системы минимальна, т.к. Работа внутренних сил (потенциальная энергия деформации) в области тела где σ и ε – функции напряжений и деформаций в области Ω . W U П (1) . 0 ) ( ; 0 П W U W U , 2 1 d U 20.01.2013 237 Работа внешних сил где p и u – функции нагрузки и перемещений по области Ω . Вариационный принцип Лагранжа позволяет получить систему уравнений равновесия исходя из условия минимума функционала полной потенциальной энергии системы. , d pu W 20.01.2013 238 Если считать, что перемещения всех точек тела u есть известные функции узловых перемещений q i , то из (1) или ) , , 2 , 1 ( 0 n i q W q U q П i i i . ) ( ) ( ) ( ) ( (2) ; ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 1 1 1 1 2 1 1 n n n n n n n q q W q q U q q U q q U q q W q q U q q U q q U 20.01.2013 239 Сравнивая с системой равновесия КЭ можно представить где R i - узловые нагрузки. ), , , 2 , 1 ( ) ( ; ) ( n i R q q W q k q q U i i i j ij i j R q K 20.01.2013 240 Коэффициент жесткости k ij – это усилие, возникающее по направлению i - той связи от j - го единичного перемещения при условии, что все остальные перемещения равны нулю. Из равенства работ внутренних и внешних сил получим . d k i j ij 20.01.2013 241 На четвертом этапе МКЭ уравнения равновесия отдельных КЭ объединяют в одну систему. При этом матрицы жесткости КЭ суммируют и получают глобальную матрицу жесткости . Необходимо также выполнить условия равновесия сил, учесть граничные условия (статические и кинематические). Получим систему линейных уравнений для всего тела (конструкции) . 20.01.2013 242 где – векторы узловых сил и перемещений всего тела ; – глобальная матрица жесткости Матрица имеет размерность , где n – число КЭ, а m – число узлов. Она имеет много нулевых элементов. На следующем этапе полученную систему линейных уравнений решают относительно узловых перемещений прямыми или итерационными методами. , P q K q P , K nm nm K 20.01.2013 243 На последнем этапе из полученного распределения перемещений по расчетной области, можно с помощью обычных уравнений теории упругости найти распределение напряжений и деформаций. 20.01.2013 244 В качестве примера применения МКЭ рассмотрим стержневой КЭ с двумя узлами, нагруженный силами N 1 и N 2 , работающий на растяжение - сжатие. - объемный вес стержня. - площадь сечения. В каждом узле одна степень свободы. Вектор узловых перемещений КЭ: Вектор узловых сил : . 1 2 l x=0 x=l N 1 u 1 u 2 |