Главная страница

Строительная_Информатика (заочники). Учебное пособие. М. Архитектура С


Скачать 1.78 Mb.
НазваниеУчебное пособие. М. Архитектура С
АнкорСтроительная_Информатика (заочники).pdf
Дата03.11.2017
Размер1.78 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаСтроительная_Информатика (заочники).pdf
ТипУчебное пособие
#10082
страница6 из 10
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
,
L
h
z
,
K
h
y
,
h
x
g
L
,
L
h
z
,
K
h
y
,
h
x
f
K
,
L
h
z
,
K
h
y
,
h
x
g
L
,
L
h
z
,
K
h
y
,
h
x
f
K
,
z
,
y
,
x
g
L
,
z
,
y
,
x
f
K
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i



























20.01.2013 144
Характеристики одношаговых методов
:
1.
Чтобы вычислить решение в новой
точке, надо иметь данные лишь в
одной предыдущей точке
(
“самостартование”
метода).
2.
В основе всех одношаговых методов
лежит разложение функции в ряд
Тейлора, в котором сохраняются
члены, содержащие
h
в степени до
p
включительно. Тогда число
p
называют порядком метода.
3.
Имеют низкую вычислительную
эффективность.

20.01.2013 145
Точность метода можно повысить,
если использовать информацию о
поведении решения
y(x)
в нескольких
предыдущих точках
:
х
i
,
х
i-1
, …
.
Такие методы получили название
многошаговых.
Многошаговые методы

20.01.2013 146
Метод Адамса
четвертого порядка
точности использует четыре точки
:
При “старте” метода необходимо
знать решение в четырех начальных
точках
х
0
,
х
1
, х
2
, х
3
. Недостающие
значения
y(x)
вычисляются в точках
х
1
, х
2
, х
3
, как правило, по методу
Рунге
-
Кутта соответствующего
порядка.
)
9
37
59
55
(
24
3
2
1
1













i
i
i
i
i
i
y
y
y
y
h
y
y

20.01.2013 147
Локальную погрешность (на
i
-
ом шаге)
оценивают по формуле
:
Можно использовать схему расчета
типа
“прогноз
-
корректор”
:
Значение используют для
вычисления через дифуравнение.
,
720
251
)
5
(
5
y
h
i


),
9
37
59
55
(
24
3
2
1
)
0
(
1













i
i
i
i
i
i
y
y
y
y
h
y
y

,
,
k
,
y
y
y
y
h
y
y
i
i
i
k
i
i
k
i
1
0
)
5
19
9
(
24
2
1
)
(
1
)
1
(
1















)
0
(
1

i
y
)
0
(
1


i
y
где
y
(5)

5-
я производная.

20.01.2013 148
По сравнению с формулой прогноза
формула коррекции имеет в 13 раз
меньшую локальную погрешность
:
Часто в расчетах используют другой
многошаговый метод четвертого
порядка точности
-
метод Милна
. Он
предлагает более простые расчетные
формулы с меньшей локальной
погрешностью, но имеет
и
недостаток
-
расчет не всегда устойчив.
.
720
19
)
5
(
5
y
h
i



20.01.2013 149
Формула Милна для прогноза
:
формула Симпсона для коррекции
:
Локальная погрешность на шаге
:
.
90
1
)
5
(
5
y
h
i


),
2
2
(
3
4
2
1
3
)
0
(
1











i
i
i
i
i
y
y
y
h
y
y

2
1
0
)
4
(
3
1
)
(
1
1
)
1
(
1
,
,
k
,
y
y
y
h
y
y
i
i
k
i
i
k
i














20.01.2013 150
Особенности многошаговых методов
:
1.
Не обладают свойством
"
самостартования". Для получения
исходных значений используют
какой
-
либо одношаговый метод.
2.
Позволяют легко оценить
погрешность на шаге, что позволяет
увеличить допустимый шаг и
повысить эффективность метода.
3.
Требуют почти вдвое меньше
машинного времени, чем
одношаговые методы сравнимой
точности.

20.01.2013 151
Метод сеток для решения
дифференциальных
уравнений в частных
производных

20.01.2013 152
Многие инженерные задачи в таких
областях, как механика сплошных сред,
теория упругости, термодинамика и в
других, математически описываются
дифференциальными уравнениями, в
которых искомая величина зависит от
нескольких других величин. Такие
уравнения называют уравнениями в
частных производных. Другое название
-
уравнения
математической физики
.
Основные понятия и
классификация уравнений

20.01.2013 153
Общий вид дифференциального
уравнения в частных производных
Здесь
Если
f(x
1
, ..., x
k
) = 0
, то уравнение
называется
однородным
.
Решением уравнения является такая
функция
u(x
1
, x
2
, …, x
k
)
, которая обращает
его в тождество.


.
1
2
1
1
1
2
1
k
p
k
p
p
n
k
k
,x
,
x
f
x
x
x
u
,
,
x
u
x
u
,u,
x
x
F
k




















.
2
1
n
p
p
p
k






20.01.2013 154
В классических уравнениях
математической физики в качестве
независимых переменных
присутствуют время и
пространственные координаты.
Задача называется
стационарной
, если
решение не зависит от времени, иначе
-
нестационарной
или
эволюционной
.
Задачи с одной пространственной
переменной называются одномерными,
с двумя
-
двумерными и т.д.

20.01.2013 155
Такие уравнения классифицируют либо
в зависимости от их математической
природы, либо в зависимости от
физического смысла решаемых с их
помощью задач.
Запишем уравнение второго порядка в
канонической форме
где
А, В, С

коэффициенты
-
функции.
 
 
 
,
y
u
,
x
u
x,y,u,
F
y
u
x,y
C
y
x
u
x,y
B
x
u
x,y
A
0
2
2
2
2
2






















20.01.2013 156
Дополнительными условиями могут
служить граничные условия (краевая
задача) или начальные условия (задача
Коши), а также комбинация тех и других
(смешанная краевая задача).
Математическая классификация
зависит от характера функций
А, В
и
С
.
Обозначим
D = В
2
– АС
. При
D = 0
уравнение называется
параболическим
,
при
D > 0

гиперболическим
,
а при
D < 0

эллиптическим
.

20.01.2013 157
Эллиптические уравнения описывают
установившиеся (стационарные)
процессы, т. е. задача ставится в
замкнутой области и в каждой точке
границы этой области задаются
граничные условия. Примером такого
типа уравнения является уравнение
Лапласа
.
0
2
2
2
2








y
u
x
u
u

20.01.2013 158
Параболическими и гиперболическими
уравнениями описываются
эволюционные процессы (процессы
"распространения"). В таких задачах на
одной части границы ставятся
граничные условия, на другой
-
начальные. Примером уравнения
параболического типа является
уравнение теплопроводности, а
гиперболического типа
-
волновое
уравнение.

20.01.2013 159
Классическими примерами уравнений
эллиптического типа являются
уравнение Лапласа
и
уравнение Пуассона
Постановка стационарной задачи
G
x,y
,
y
u
x
u







0
2
2
2
2
,
)
,
(
2
2
2
2
G
x,y
,
y
x
f
y
u
x
u









20.01.2013 160
где
G
-
замкнутая область.
C
тавится
краевая задача нахождения
распределения внутри области
G
искомой функции
u(x,
y)
,
удовлетворяющей
этим уравнениям,
при условии, что на границах
Г
этой
области значения функции
u(x, y)
известны (заданы) в виде граничных
условий
).
,
(
y
x
u
n
u
Г
Г








20.01.2013 161
Здесь производная функции
u(x,
y)
берется в направлении внешней
нормали
n
по отношению к границе
Г
области
G
. При
имеем
первую краевую задачу для уравнения
Лапласа (
задача Дирихле
), при
вторую краевую задачу (
задача
Неймана
), а при
третью краевую
задачу (
смешанная задача
).
1
0




,
0



,
0
1




,

20.01.2013 162
Для решения задач с уравнениями в
частных производных наибольшее
распространение нашел метод
конечных разностей. В данном
применении он называется
метод
сеток
и сводит решение уравнений в
частных производных к решению
систем алгебраических уравнений с
разреженными матрицами
коэффициентов.
Основные понятия метода сеток

20.01.2013 163
Этапы метода сеток
:
1 этап
.
Построение в области
решения сетки из узловых точек.
Конфигурация сетки должна
соответствовать характеру задачи и
граничным условиям, т.е. вид сетки
определяется формой области
решения.

20.01.2013 164
Виды сеток
а)
б)
в)
г)
а) – прямоугольная, б) – полярная, в) – треугольная, г) – скошенная

20.01.2013 165
2 этап
. Конечно
-
разностная
аппроксимация производных
искомой функции, входящих в
уравнения задачи. С этой целью
выбирают вычислительный шаблон
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10


написать администратору сайта