Строительная_Информатика (заочники). Учебное пособие. М. Архитектура С
 Скачать 1.78 Mb.
|
|
i k j i u u u u u u 20.01.2013 186 При решении задач для уравнений параболического и гиперболического типов используются различные разностные схемы, среди которых важное место занимают так называемые явные и неявные разностные схемы. Решение задачи теплопроводности 20.01.2013 187 Рассмотрим эти схемы на примере классического уравнения параболического типа - уравнения теплопроводности . Задача состоит в отыскании функции u(x, t) , удовлетворяющей в области . уравнению } 0 , 0 { t l x G , a const a , x u a t u 0 , 2 2 20.01.2013 188 начальному условию ( t = 0 ) и граничным условиям Так ставится задача о распростране - нии тепла в однородном стержне длины l , на концах которого поддерживается заданный темпера - турный режим. В этой задаче a – коэффициент теплопроводности материала стержня. ) ( ) 0 , ( x f x u ). ( ) , ( ), ( ) , 0 ( 2 1 t t l u t t u 20.01.2013 189 Замена приводит уравнение к виду поэтому примем a = 1 . В эволюционной задаче область решения является полубесконечной ( t > 0 ). Для проведения численных расчетов ограничим область по оси времени ( 0 < t < T ). , x u t u 2 2 at t 20.01.2013 190 Решение будем искать методом сеток. В области решения строим равномерную сетку с шагом h по x и τ в направлении t . Координаты узлов обозначим: где h = l / n и τ = T / m . Искомую сеточную функцию u(x,t) в узлах обозначим , , , 1 , 0 , ; , , 1 , 0 , m j j t n i h i x j i ). , ( , j i j i t x u u 20.01.2013 191 Область решения задачи теплопроводности x 0 t 0 t t m =T t j+1 t j x x n x i+1 x i-1 x i u i,j l 0 G h τ j-й слой 0-й слой 20.01.2013 192 Узлы, имеющие одинаковую временную координату , называют слоями по времени. Решение ищется последовательно по временным слоям начиная от слоя j=1 и далее до слоя j=m включительно. Для разностной аппроксимации уравнения теплопроводности можно использовать четырехточечные шаблоны двух типов : ) ( const j 20.01.2013 193 явная схема неявная схема В явной схеме производная аппроксимируется с использованием известных значений сеточной функции на j - м временном слое, а в неявной схеме - с использованием неизвестных значений функции на ( j + 1 )- м слое. u i,j u i-1,j u i,j+1 (i, j + 1) (i, j) (i - 1, j) (i + 1, j) u i+1,j u i,j+1 u i-1,j+1 u i,j (i, j ) (i, j+1) (i - 1, j+1) (i + 1, j+1) u i+1,j+1 2 2 / x u 20.01.2013 194 Явная разностная схема запишется Из этого соотношения следует, что искомое значение u i,j+1 определяется явным образом через известные значения на j - м слое по соотношению где параметр ). , ( 2 2 2 , 1 , , 1 , 1 , h O h u u u u u j i j i j i j i j i ), ( ) 2 1 ( , 1 , 1 , 1 , j i j i j i j i u u u u . 2 h (1) 20.01.2013 195 Из шаблона неявной разностной схемы имеем или Здесь значения u i,j для j - го слоя являются известными. ) , ( 2 2 2 1 , 1 1 , 1 , 1 , 1 , h O h u u u u u j i j i j i j i j i . ) 2 1 ( , 1 , 1 1 , 1 , 1 j i j i j i j i u u u u (2) 20.01.2013 196 Соотношение (2), записанное для всех внутренних узлов ( j + 1 )- го слоя, порождает систему линейных алгебраических уравнений, с помощью которых определяются неизвестные значения функции в узлах. Каждое уравнение этой системы содержит только три неизвестных, т.е. система обладает трехдиагональной матрицей коэффициентов и ее рационально решить либо методом прогонки, либо итерационными методами. 20.01.2013 197 Алгоритм численного решения задачи теплопроводности следующий : На нулевом временном слое j=0 решение известно из начального условия Также известны значения функции в левых и правых граничных узлах . ,..., 1 , 0 ), ( 0 , n i x f u i i ); ( 1 , 0 j j t u ); ( 2 , j j n t u 20.01.2013 198 На каждом следующем слое искомая функция определяется: − в явной схеме непосредственно по формуле (1); − в неявной схеме путем решения системы из n-1 уравнения вида (2). 20.01.2013 199 Для выполнения расчетов по разностным схемам важно такое их свойство, как устойчивость . Разностная задача будет корректной и устойчивой, если ее решение незначительно изменяться при малом изменении в начальных и граничных условиях, и в правых частях уравнений, связанных со случайными ошибками (ошибки округления). В противном случае разностная задача является неустойчивой. 20.01.2013 200 Неявная схема устойчива при любых значениях параметра λ . Явная схема оказывается устойчива только при или . Это значит, что вычисления в явной схеме придется вести с очень малым шагом по времени. 2 1 2 2 h 20.01.2013 201 Очевидно, что число операций, необходимых для отыскания решения на одном временном слое, в явных схемах значительно меньше, чем в неявных. Однако, в конечном счете качество разностной схемы должно оцениваться количеством операций на всем временном интервале, поэтому в ряде случаев неявные разностные схемы могут быть предпочтительнее явных. 20.01.2013 202 начало ввод l,n,T i=0, n ) ( x f u i n l h 3 2 h h, τ, λ, m 2 h T m x=ih конец i=1, n-1 u i j=0, m-1 t=(j+1)τ ) ( ) ( 2 * 1 * 0 t u t u n ) ( ) 2 1 ( 1 1 * i i i i u u u u * i i u u i=0, n t 20.01.2013 203 Численное решение задачи теплопроводности содержит погрешность, связанную с разностной аппроксимацией производных в методе сеток. Эта погрешность уменьшается с уменьшением шагов сетки по координате и времени, но, соответственно, увеличивается время расчета. 20.01.2013 204 Проблема собственных значений в строительных расчетах 20.01.2013 205 Ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем линейных уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый параметр называется характеристическим, или собственным, значением системы. 20.01.2013 206 В теории напряженного состояния тела, для тензоров напряжений собственные значения определяют главные нормальные напряжения, а собственными векторами задаются направления, связанные с этими значениями. 20.01.2013 207 При динамическом анализе механических систем собственные значения соответствуют собственным частотам колебаний, а собственные векторы характеризуют модули этих колебаний. При расчете конструкций на прочность собственные значения позволяют определить критические нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости. 20.01.2013 208 Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений или собственных векторов для данной инженерной задачи зависит от типа уравнений и числа искомых собственных значений. 20.01.2013 209 Алгоритмы решения таких задач делятся на две группы : Итерационные методы – удобны и хорошо приспособлены для определения наименьшего и наибольшего собственных значений. Методы преобразования подобия – они сложнее, но позволяют определить все собственные значения и векторы. 20.01.2013 210 В общем виде задача на собственные значения формулируется следующим образом AX = λX, где A - матрица размерности . Требуется найти n скалярных значений λ и собственные векторы X , соответствующие каждому из собственных значений. n n 20.01.2013 211 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 1. Все n собственных значений симметричной матрицы , состоящей из действительных чисел, действительные. 2. Если собственные значения матрицы различны, то ее собственные векторы ортогональны. n n 20.01.2013 212 3. Если две матрицы подобны, то их собственные значения совпадают. 4. Умножив собственный вектор матрицы на скаляр, получим собственный вектор той же матрицы. Обычно собственные векторы нормируют, разделив каждый элемент собственного вектора на его наибольший элемент. |