Главная страница
Навигация по странице:

  • 36.4. Экспонента и логарифм

  • Учебное пособие Москва Издательство мцнмо 2007 удк 512. 1517. 1511. 1 Ббк 22. 14122. 161 П70 Прасолов В. В


    Скачать 3.28 Mb.
    НазваниеУчебное пособие Москва Издательство мцнмо 2007 удк 512. 1517. 1511. 1 Ббк 22. 14122. 161 П70 Прасолов В. В
    Дата16.10.2022
    Размер3.28 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаalgebra.pdf
    ТипУчебное пособие
    #736986
    страница62 из 71
    1   ...   58   59   60   61   62   63   64   65   ...   71
    И ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ. Формальные ряды
    Формальным рядом называют выражение вида a
    0
    + a
    1
    x
    + a
    2
    x
    2
    +
    + a
    3
    x
    3
    + . . . При этом ряд может расходиться при всех x 6= 0; нас интересуют только коэффициенты a
    0
    , a
    1
    , . . . Тем не менее, мы будем использовать обозначение f(x) = a
    0
    + a
    1
    x
    + a
    2
    x
    2
    + a
    3
    x
    3
    + . . при этом функция f может быть не определена для всех x 6= Для формальных рядов f(x) = a
    0
    + a
    1
    x
    + a
    2
    x
    2
    + . . . и g(x) =
    = b
    0
    + b
    1
    x
    + b
    2
    x
    2
    + . . . можно определить их сумму и произведение
    как формальные ряды+ g(x) = (a
    0
    + b
    0
    )
    + (a
    1
    + b
    1
    )x
    + (a
    2
    + b
    2
    )x
    2
    + . . . ,
    f(x)g(x)
    = a
    0
    b
    0
    + (a
    1
    b
    0
    + a
    0
    b
    1
    )x
    + (a
    2
    b
    0
    + a
    1
    b
    1
    + a
    0
    b
    2
    )x
    2
    + . . Формальный ряд, для которого a
    0
    = 1 и a
    k
    = 0 примы будем обозначать Будем считать, что f(
    l
    x)
    = g(x), если f(x) = a
    0
    + a
    1
    x
    + a
    2
    x
    2
    + . . и g(x) = b
    0
    + b
    1
    x
    + b
    2
    x
    2
    + . . . , где b
    k
    =
    l
    k
    a
    k
    36.1. Пусть f(x) = 1 + x + x
    2
    + x
    3
    + . . . и g(x) = 1 − x + x
    2

    x
    3
    + . . . Вычислите произведения а) f(x)f(x); б) f(x)g(x).
    36.2. Пусть f(x) = 1 + x + x
    2
    + x
    3
    + . . . Вычислите формальный ряд g(x), для которого f(x)g(x) = 1.
    36.3. Пусть f(x) = a
    0
    + a
    1
    x
    + a
    2
    x
    2
    + . . . — формальный ряд,
    причём a
    0 6= 0. Докажите, что существует единственный формальный ряд g(x) = b
    0
    + b
    1
    x
    + b
    2
    x
    2
    + . . . , для которого 1.

    494 Глава 36. Формальные ряды и производящие функции. Формальная производная

    Формальной производной формального ряда f(x) называют формальный ряд D(f(x)) =

    P
    k
    =1
    ka
    k
    x
    k
    −1
    36.4. Докажите, что формальная производная обладает следующими свойствами обычной производной:
    а) D(f(x) + g(x)) = D(f(x)) + б) D(f(x)g(x)) = f(x)D(g(x)) + в) D(f(x)
    n
    )
    = nf(x)
    n
    −1
    D(f(x)) для любого натурального г) если существует формальный ряд f(x)
    −1
    , то D(f(x)
    −1
    )
    =
    =−f(x)
    −2
    D(f(x)) и D(f(x)
    n
    )
    =−nf(x)
    n
    −1
    D(f(x)) для любого натурального д) D(f
    r
    )
    = rf
    r
    −1
    D(f) для любого рационального числа и любого формального ряда f = 1 + a
    1
    x
    + a
    2
    x
    2
    + . . .
    36.5. Для формального ряда f = a
    0
    + a
    1
    x
    + a
    2
    x
    2
    + . . . положим. Докажите, что f =

    P
    n=0
    S(D
    n
    (f))
    x
    n
    n!
    36.3. Корень из формального ряда. Докажите, что для любого натурального n и любого формального ряда f(x) = 1 + a
    1
    x
    + a
    2
    x
    2
    + . . . существует единственный формальный ряд g(x)=1+b
    1
    x
    + b
    2
    x
    2
    + . . . , для которого g(x)
    n
    = Ряд g(x) мы будем обозначать) или (f(x))
    1/n
    36.7. Докажите, что для любого рационального числа r
    (1
    +x)
    r
    =1+rx+
    r(r
    −1)
    2!
    x
    2
    +. . .+
    r(r
    −1)(r−2) . . . (rn+1)
    n!
    x
    n
    +. . .
    36.4. Экспонента и логарифм
    Назовём
    формальной экспонентой формальный ряд) = 1 + x +
    x
    2 2!
    +
    x
    3 3!
    + . . . +
    x
    n
    n!
    + . . .
    Условия задач. Докажите, что а) Exp((a + b)x) = Exp(ax) · б) Exp(kx) = для любого натурального числа k.
    36.9. Докажите, что
    n
    X
    k=1
    (
    −1)
    n
    k
    k
    m
    C
    k
    n
    =
    (
    0
    при 0 < m < при m = Пусть f = 1 + a
    1
    x
    + a
    2
    x
    2
    + . . . — формальный ряд. Формальным
    логарифмом f называют формальный ряд) = g
    1 2
    g
    2
    +
    1 3
    g
    3
    . . . где g = f − 1= a
    1
    x
    + a
    2
    x
    2
    + . . . Отметим, что формальный ряд корректно определён, поскольку коэффициент при полностью определяется конечной суммой g
    1 2
    g
    2
    +
    1 3
    g
    3
    . . . + (−1)
    n
    +1 1
    n
    g
    n
    36.10. Докажите, что D(Ln(f)) = f
    −1
    D(f).
    36.11. Докажите, что если f = 1 + a
    1
    x
    + a
    2
    x
    2
    + . . . и h = 1 +
    + b
    1
    x
    + b
    2
    x
    2
    + . . . , то Ln(fh) = Ln(f) + Ln(h).
    36.12. Докажите, что Ln(f
    r
    )
    = r Ln(f) для любого рационального числа r.
    36.13. Докажите, что если Ln(f) = Ln(h), то f = h.
    36.14. Докажите, что если g = a
    1
    x
    + a
    2
    x
    2
    + . . . и r — любое рациональное число, то. . .+
    r(r
    −1)(r−2) . . . (rn+1)
    n!
    g
    n
    +. . .
    36.15. Бесконечные последовательности a
    0
    , a
    1
    , . . . и b
    0
    ,
    b
    1
    , . . . таковы, что для всех n > 0. Докажите, что тогда для всех n > 0.
    36.5. Тождества для формальных рядов. Докажите, что произведению+ x
    m
    ) соответствует корректно определённый формальный ряд

    496 Глава 36. Формальные ряды и производящие функции. Докажите следующие тождества:
    а)

    Y
    m=1
    (1
    x
    2m−1
    )
    2
    =

    Y
    m=1
    (1
    − б x
    m
    )
    =

    Y
    m=1
    (1
    + Гаусс. Пусть s(n) — сумма тех делителей d числа n, для которых n/d нечётно (s(n) = 0 при n 6 а) Пусть f =

    Q
    n=1 1 − x
    n
    1 + и g =

    P
    n=1
    s(n)x
    n
    −1
    . Докажите, чтоб) Докажите, что s(n) −2s(n−1)+2s(n−2 2
    )
    −2s(n −3 2
    )
    +
    + . . . = (−1)
    n+1
    n, если n — полный квадрат в противном случае эта альтернированная сумма равна нулю. а) Используя результат задачи 36.18 б, докажите,
    что любое простое число p вида 4k + 1 можно представить в виде суммы двух квадратов.
    б) Докажите, что любое простое число p вида 8k + 3 можно представить в виде суммы трёх квадратов. Производящие функции

    Производящей функцией последовательности a
    0
    , a
    1
    , a
    2
    , . . . называют формальный ряд f(x) = a
    0
    + a
    1
    x
    + a
    2
    x
    2
    + . . . Наибольший интерес производящие функции представляют в том случае, когда им соответствуют ряды, сходящиеся хотя бы на каком-то интервале. Докажите, что производящая функция последовательности, равна (1 + x)
    n
    36.21. Пусть f(x)=

    P
    k=1
    c
    k
    x
    k
    — производящая функция для последовательности чисел Каталана, те и c
    k
    = c
    1
    c
    k
    −1
    + c
    2
    c
    k
    −2
    + . . . + при k > а) Докажите, чтоб) Докажите, что c
    n
    =
    (2n
    − 2)!
    n! (n
    − 1)!
    Условия задач. Числа и многочлены Бернулли
    Согласно задаче 36.3 формальный ряд)
    − 1
    x

    −1
    определён однозначно. Запишем этот формальный ряд в виде

    P
    n
    =0
    B
    n
    n!
    x
    n
    Числа B
    n
    называют
    числами Бернулли. Непосредственно из определения видно, что B
    0
    = Многочлены Бернулли определяются равенством B
    n
    (z)
    =
    =
    n
    P
    k
    =0
    C
    k
    n
    B
    n
    k
    z
    k
    . Это равенство можно формально записать в виде (B + z)
    n
    , где подразумевается, что вместо мы пишем. Докажите, что при k > 1 для чисел Бернулли выполняется равенство B
    k
    , те Равенство из задачи 36.22 формально можно записать в виде (B + 1)
    k
    = B
    k
    , где подразумевается, что вместо мы пишем B
    p
    36.23. Докажите, что B
    n
    (0)
    = B
    n
    (1)
    = B
    n
    36.24. С помощью тождества из задачи 36.22 вычислите, B
    2
    , B
    3
    , и B
    5
    36.25. Докажите, что B
    2k+1
    = 0 для всех натуральных k.
    36.26. а) Докажите, что при б) Докажите, что при n > 1 1
    n
    + 2
    n
    + 3
    n
    + . . . + k
    n
    =
    1
    n
    + 1
    (B
    n+1
    (k
    + 1) B
    n+1
    (0)).
    36.27. Докажите, что B

    n
    (z)
    = nB
    n
    −1
    (z).
    36.8. Число разбиений
    Пусть p(n) — количество способов, которыми можно представить число n в виде суммы натуральных слагаемых (слагаемые могут быть одинаковыми два представления, которые отличаются лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми).
    Число p(n) называют числом разбиений.
    Например, p(1) = 1, p(2) = 2 (1 + 1; 2), p(3) = 3 (1 + 1 + 1;
    1 + 2; 3), p(4) = 5 (1 + 1 + 1 + 1; 1 + 1 + 2; 1 + 3; 2 + 2; 4) и т. д

    498 Глава 36. Формальные ряды и производящие функции. Докажите, что +

    X
    n=1
    p(n)x
    n
    =
    

    Y
    n=1
    (1
    x
    n
    )
    
    −1
    36.29. Докажите, что x
    n
    )
    = 1 +

    X
    n=1
    (
    −1)
    n
    x
    3n2−n
    2
    + тождество Эйлера. Докажите, что k
    2
    
    + p
    
    n

    3k
    2
    + предполагается, что p(0) = 1 и p(m) = 0 при m < 0).
    36.31. Пусть d(n) — количество разбиений числа n на различные слагаемые, l(n) — количество разбиений числа на нечётные слагаемые. Докажите, что d(n) = l(n) Эйлер. Формулы Варинга
    Пусть s
    1
    , . . . ,
    s
    n
    — элементарные симметрические многочлены от x
    1
    , . . . , x
    n
    , те. Пусть, далее, s
    k
    = x
    k
    1
    + . . . + x
    k
    n
    36.32. Докажите, что+ l
    2
    + . . . + l
    n
    − 1)!
    l
    1
    ! . . . l
    n
    !
    s
    l
    1 1
    . . где суммирование ведётся по всем наборам целых неотрицательных чисел l
    1
    , . . ., l
    n
    , для которых l
    1
    + 2l
    2
    + . . . + nl
    n
    = первая формула Варинга
    ).
    36.33. Докажите, что
    2
    l
    2
    · . . . · n
    l
    n
    · l
    1
    ! . . . l
    n
    !
    s
    l
    1 1
    . . . где суммирование ведётся по всем наборам целых неотрицательных чисел l
    1
    , . . ., l
    n
    , для которых l
    1
    + 2l
    2
    + . . . + nl
    n
    = вторая формула Варинга
    ).
    Решения задач
    499
    Решения
    36.1. Ответа б) 1 + x
    2
    + x
    4
    + x
    6
    + . . .
    36.2. Ответ. Должны выполняться равенства a
    0
    b
    0
    = 1, a
    1
    b
    0
    + a
    0
    b
    1
    = 0,
    a
    2
    b
    0
    + a
    1
    b
    1
    + a
    0
    b
    2
    = 0, . . . Из этих равенств следует, что b
    0
    =
    1
    a
    0
    ,
    b
    1
    = −
    a
    1
    b
    0
    a
    0
    , b
    2
    = и т. д. б) Пусть f(x) и g(x) =

    P
    k
    =0
    b
    k
    x
    k
    . Коэффициент при
    x
    k
    −1
    у формального ряда D(f(x)g(x)) равен
    P
    i
    +j=k
    a
    i
    b
    j
    , ау формального ряда f(x)D(g(x)) + g(x)D(f(x)) коэффициент при равен k в) Применим индукцию по n, воспользовавшись задачей б D(f(x) · f(x)
    n
    )
    = f(x)D(f(x)
    n
    )
    + f(x)
    n
    D(f(x))
    =
    = nf(x)f(x)
    n
    −1
    D(f(x))
    + f(x)
    n
    D(f(x))
    = (n + г) Применим результат задачи б) к произведению f(x)·(f(x))
    −1
    =
    = 1. В результате получим fD(f
    −1
    )
    + f
    −1
    D(f)
    = 0, те. Затем воспользуемся результатом задачи в D(f
    n
    )
    =
    = D((f
    −1
    )
    n
    )
    = n(f
    −1
    )
    n
    −1
    D(f
    −1
    )
    = д) Задача 36.6 показывает, что ряд однозначно определён.
    Пусть r = m/n, где m и n — целые числа. Тогда согласно задаче в n(f
    r
    )
    n
    −1
    D(f
    r
    ) и D((f
    r
    )
    n
    )
    = D(f
    m
    )
    = mf
    m
    −1
    D(f). Поэтому r
    f
    m
    −1
    f
    m
    r
    D(f)
    = rf
    r
    −1
    D(f).
    36.5. Согласно определению D
    n
    (f)
    =

    P
    j
    =n
    j(j
    −1) . . . (Поэтому S(D
    n
    (f))
    = n! a
    n
    36.6. Индукцией по n легко доказать, что (1 + b
    1
    x
    + b
    2
    x
    2
    + . . .)
    n
    =
    = 1 + c
    1
    x
    + c
    2
    x
    2
    + . . . , где c
    1
    = nb
    1
    , c
    2
    = nb
    2
    + p
    n,2
    (b
    1
    ), c
    3
    = nb
    3
    +
    + p
    n,3
    (b
    1
    , b
    2
    ), . . . , c
    k
    = nb
    k
    + p
    n,k
    (b
    1
    , . . . , b
    k
    −1
    ), . . . здесь p
    n,m
    — многочлены с целыми коэффициентами. Из равенств a
    1
    = nb
    1
    , a
    2
    = nb
    2
    +
    + p
    n,2
    (b
    1
    ), a
    3
    = nb
    3
    + p
    n,3
    (b
    1
    , b
    2
    ), . . . , последовательно получаем, b
    2
    =
    a
    2
    p
    n,2
    (b
    1
    )
    n
    , b
    3
    =
    a
    3
    p
    n,3
    (b
    1
    , и т. д. Согласно задаче 36.4 д) D((1 + x)
    r
    )
    = r(1 + x)
    r
    −1
    D(1
    + x) =
    = r(1 + x)
    r
    −1
    . Поэтому индукцией по n получаем D
    n
    ((1
    + x)
    r
    )
    =
    = r(r − 1)(r − 2) . . . (r n + 1)(1 + x)
    r
    n
    . Воспользуемся теперь фор-

    500 Глава 36. Формальные ряды и производящие функции мулой из задачи 36.5. Если f=(1+x)
    r
    , то S(D
    n
    (f))
    =r(r−1)(r−2) . . .
    . . . (r
    n + 1). Поэтому 1)(r − 2) . . . (r n + 1)
    n!
    x
    n
    36.8. а) Требуется доказать, что
    + b)
    m
    m!
    =
    m
    P
    k
    =0
    a
    k
    k!
    b
    m
    k
    (m
    k)!
    , те. Но (m
    k)!
    = б) Следует из а) индукцией по k.
    1   ...   58   59   60   61   62   63   64   65   ...   71


    написать администратору сайта