Учебное пособие Москва Издательство мцнмо 2007 удк 512. 1517. 1511. 1 Ббк 22. 14122. 161 П70 Прасолов В. В
 Скачать 3.28 Mb.
|
|
И ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ. Формальные ряды Формальным рядом называют выражение вида a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a 3 x 3 + . . . При этом ряд может расходиться при всех x 6= 0; нас интересуют только коэффициенты a 0 , a 1 , . . . Тем не менее, мы будем использовать обозначение f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + . . при этом функция f может быть не определена для всех x 6= Для формальных рядов f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . и g(x) = = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + . . . можно определить их сумму и произведение как формальные ряды+ g(x) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x + (a 2 + b 2 )x 2 + . . . , f(x)g(x) = a 0 b 0 + (a 1 b 0 + a 0 b 1 )x + (a 2 b 0 + a 1 b 1 + a 0 b 2 )x 2 + . . Формальный ряд, для которого a 0 = 1 и a k = 0 примы будем обозначать Будем считать, что f( l x) = g(x), если f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . и g(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + . . . , где b k = l k a k 36.1. Пусть f(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + . . . и g(x) = 1 − x + x 2 − − x 3 + . . . Вычислите произведения а) f(x)f(x); б) f(x)g(x). 36.2. Пусть f(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + . . . Вычислите формальный ряд g(x), для которого f(x)g(x) = 1. 36.3. Пусть f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . — формальный ряд, причём a 0 6= 0. Докажите, что существует единственный формальный ряд g(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + . . . , для которого 1. 494 Глава 36. Формальные ряды и производящие функции. Формальная производная Формальной производной формального ряда f(x) называют формальный ряд D(f(x)) = ∞ P k =1 ka k x k −1 36.4. Докажите, что формальная производная обладает следующими свойствами обычной производной: а) D(f(x) + g(x)) = D(f(x)) + б) D(f(x)g(x)) = f(x)D(g(x)) + в) D(f(x) n ) = nf(x) n −1 D(f(x)) для любого натурального г) если существует формальный ряд f(x) −1 , то D(f(x) −1 ) = =−f(x) −2 D(f(x)) и D(f(x) −n ) =−nf(x) n −1 D(f(x)) для любого натурального д) D(f r ) = rf r −1 D(f) для любого рационального числа и любого формального ряда f = 1 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . 36.5. Для формального ряда f = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . положим. Докажите, что f = ∞ P n=0 S(D n (f)) x n n! 36.3. Корень из формального ряда. Докажите, что для любого натурального n и любого формального ряда f(x) = 1 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . существует единственный формальный ряд g(x)=1+b 1 x + b 2 x 2 + . . . , для которого g(x) n = Ряд g(x) мы будем обозначать) или (f(x)) 1/n 36.7. Докажите, что для любого рационального числа r (1 +x) r =1+rx+ r(r −1) 2! x 2 +. . .+ r(r −1)(r−2) . . . (r−n+1) n! x n +. . . 36.4. Экспонента и логарифм Назовём формальной экспонентой формальный ряд) = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + . . . + x n n! + . . . Условия задач. Докажите, что а) Exp((a + b)x) = Exp(ax) · б) Exp(kx) = для любого натурального числа k. 36.9. Докажите, что n X k=1 ( −1) n −k k m C k n = ( 0 при 0 < m < при m = Пусть f = 1 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . — формальный ряд. Формальным логарифмом f называют формальный ряд) = g − 1 2 g 2 + 1 3 g 3 − . . . где g = f − 1= a 1 x + a 2 x 2 + . . . Отметим, что формальный ряд корректно определён, поскольку коэффициент при полностью определяется конечной суммой g − 1 2 g 2 + 1 3 g 3 − . . . + (−1) n +1 1 n g n 36.10. Докажите, что D(Ln(f)) = f −1 D(f). 36.11. Докажите, что если f = 1 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . и h = 1 + + b 1 x + b 2 x 2 + . . . , то Ln(fh) = Ln(f) + Ln(h). 36.12. Докажите, что Ln(f r ) = r Ln(f) для любого рационального числа r. 36.13. Докажите, что если Ln(f) = Ln(h), то f = h. 36.14. Докажите, что если g = a 1 x + a 2 x 2 + . . . и r — любое рациональное число, то. . .+ r(r −1)(r−2) . . . (r−n+1) n! g n +. . . 36.15. Бесконечные последовательности a 0 , a 1 , . . . и b 0 , b 1 , . . . таковы, что для всех n > 0. Докажите, что тогда для всех n > 0. 36.5. Тождества для формальных рядов. Докажите, что произведению+ x m ) соответствует корректно определённый формальный ряд 496 Глава 36. Формальные ряды и производящие функции. Докажите следующие тождества: а) ∞ Y m=1 (1 − x 2m−1 ) 2 = ∞ Y m=1 (1 − б x m ) = ∞ Y m=1 (1 + Гаусс. Пусть s(n) — сумма тех делителей d числа n, для которых n/d нечётно (s(n) = 0 при n 6 а) Пусть f = ∞ Q n=1 1 − x n 1 + и g = ∞ P n=1 s(n)x n −1 . Докажите, чтоб) Докажите, что s(n) −2s(n−1)+2s(n−2 2 ) −2s(n −3 2 ) + + . . . = (−1) n+1 n, если n — полный квадрат в противном случае эта альтернированная сумма равна нулю. а) Используя результат задачи 36.18 б, докажите, что любое простое число p вида 4k + 1 можно представить в виде суммы двух квадратов. б) Докажите, что любое простое число p вида 8k + 3 можно представить в виде суммы трёх квадратов. Производящие функции Производящей функцией последовательности a 0 , a 1 , a 2 , . . . называют формальный ряд f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . Наибольший интерес производящие функции представляют в том случае, когда им соответствуют ряды, сходящиеся хотя бы на каком-то интервале. Докажите, что производящая функция последовательности, равна (1 + x) n 36.21. Пусть f(x)= ∞ P k=1 c k x k — производящая функция для последовательности чисел Каталана, те и c k = c 1 c k −1 + c 2 c k −2 + . . . + при k > а) Докажите, чтоб) Докажите, что c n = (2n − 2)! n! (n − 1)! Условия задач. Числа и многочлены Бернулли Согласно задаче 36.3 формальный ряд) − 1 x ” −1 определён однозначно. Запишем этот формальный ряд в виде ∞ P n =0 B n n! x n Числа B n называют числами Бернулли. Непосредственно из определения видно, что B 0 = Многочлены Бернулли определяются равенством B n (z) = = n P k =0 C k n B n −k z k . Это равенство можно формально записать в виде (B + z) n , где подразумевается, что вместо мы пишем. Докажите, что при k > 1 для чисел Бернулли выполняется равенство B k , те Равенство из задачи 36.22 формально можно записать в виде (B + 1) k = B k , где подразумевается, что вместо мы пишем B p 36.23. Докажите, что B n (0) = B n (1) = B n 36.24. С помощью тождества из задачи 36.22 вычислите, B 2 , B 3 , и B 5 36.25. Докажите, что B 2k+1 = 0 для всех натуральных k. 36.26. а) Докажите, что при б) Докажите, что при n > 1 1 n + 2 n + 3 n + . . . + k n = 1 n + 1 (B n+1 (k + 1) − B n+1 (0)). 36.27. Докажите, что B ′ n (z) = nB n −1 (z). 36.8. Число разбиений Пусть p(n) — количество способов, которыми можно представить число n в виде суммы натуральных слагаемых (слагаемые могут быть одинаковыми два представления, которые отличаются лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми). Число p(n) называют числом разбиений. Например, p(1) = 1, p(2) = 2 (1 + 1; 2), p(3) = 3 (1 + 1 + 1; 1 + 2; 3), p(4) = 5 (1 + 1 + 1 + 1; 1 + 1 + 2; 1 + 3; 2 + 2; 4) и т. д 498 Глава 36. Формальные ряды и производящие функции. Докажите, что + ∞ X n=1 p(n)x n = ∞ Y n=1 (1 − x n ) −1 36.29. Докажите, что x n ) = 1 + ∞ X n=1 ( −1) n x 3n2−n 2 + тождество Эйлера. Докажите, что k 2 + p n − 3k 2 + предполагается, что p(0) = 1 и p(m) = 0 при m < 0). 36.31. Пусть d(n) — количество разбиений числа n на различные слагаемые, l(n) — количество разбиений числа на нечётные слагаемые. Докажите, что d(n) = l(n) Эйлер. Формулы Варинга Пусть s 1 , . . . , s n — элементарные симметрические многочлены от x 1 , . . . , x n , те. Пусть, далее, s k = x k 1 + . . . + x k n 36.32. Докажите, что+ l 2 + . . . + l n − 1)! l 1 ! . . . l n ! s l 1 1 . . где суммирование ведётся по всем наборам целых неотрицательных чисел l 1 , . . ., l n , для которых l 1 + 2l 2 + . . . + nl n = первая формула Варинга). 36.33. Докажите, что 2 l 2 · . . . · n l n · l 1 ! . . . l n ! s l 1 1 . . . где суммирование ведётся по всем наборам целых неотрицательных чисел l 1 , . . ., l n , для которых l 1 + 2l 2 + . . . + nl n = вторая формула Варинга). Решения задач 499 Решения 36.1. Ответа б) 1 + x 2 + x 4 + x 6 + . . . 36.2. Ответ. Должны выполняться равенства a 0 b 0 = 1, a 1 b 0 + a 0 b 1 = 0, a 2 b 0 + a 1 b 1 + a 0 b 2 = 0, . . . Из этих равенств следует, что b 0 = 1 a 0 , b 1 = − a 1 b 0 a 0 , b 2 = и т. д. б) Пусть f(x) и g(x) = ∞ P k =0 b k x k . Коэффициент при x k −1 у формального ряда D(f(x)g(x)) равен k· P i +j=k a i b j , ау формального ряда f(x)D(g(x)) + g(x)D(f(x)) коэффициент при равен k в) Применим индукцию по n, воспользовавшись задачей б D(f(x) · f(x) n ) = f(x)D(f(x) n ) + f(x) n D(f(x)) = = nf(x)f(x) n −1 D(f(x)) + f(x) n D(f(x)) = (n + г) Применим результат задачи б) к произведению f(x)·(f(x)) −1 = = 1. В результате получим fD(f −1 ) + f −1 D(f) = 0, те. Затем воспользуемся результатом задачи в D(f −n ) = = D((f −1 ) n ) = n(f −1 ) n −1 D(f −1 ) = д) Задача 36.6 показывает, что ряд однозначно определён. Пусть r = m/n, где m и n — целые числа. Тогда согласно задаче в n(f r ) n −1 D(f r ) и D((f r ) n ) = D(f m ) = mf m −1 D(f). Поэтому r f m −1 f m −r D(f) = rf r −1 D(f). 36.5. Согласно определению D n (f) = ∞ P j =n j(j −1) . . . (Поэтому S(D n (f)) = n! a n 36.6. Индукцией по n легко доказать, что (1 + b 1 x + b 2 x 2 + . . .) n = = 1 + c 1 x + c 2 x 2 + . . . , где c 1 = nb 1 , c 2 = nb 2 + p n,2 (b 1 ), c 3 = nb 3 + + p n,3 (b 1 , b 2 ), . . . , c k = nb k + p n,k (b 1 , . . . , b k −1 ), . . . здесь p n,m — многочлены с целыми коэффициентами. Из равенств a 1 = nb 1 , a 2 = nb 2 + + p n,2 (b 1 ), a 3 = nb 3 + p n,3 (b 1 , b 2 ), . . . , последовательно получаем, b 2 = a 2 − p n,2 (b 1 ) n , b 3 = a 3 − p n,3 (b 1 , и т. д. Согласно задаче 36.4 д) D((1 + x) r ) = r(1 + x) r −1 D(1 + x) = = r(1 + x) r −1 . Поэтому индукцией по n получаем D n ((1 + x) r ) = = r(r − 1)(r − 2) . . . (r − n + 1)(1 + x) r −n . Воспользуемся теперь фор- 500 Глава 36. Формальные ряды и производящие функции мулой из задачи 36.5. Если f=(1+x) r , то S(D n (f)) =r(r−1)(r−2) . . . . . . (r − n + 1). Поэтому 1)(r − 2) . . . (r − n + 1) n! x n 36.8. а) Требуется доказать, что + b) m m! = m P k =0 a k k! b m −k (m − k)! , те. Но (m − k)! = б) Следует из а) индукцией по k. |