Учебное пособие Москва Издательство мцнмо 2007 удк 512. 1517. 1511. 1 Ббк 22. 14122. 161 П70 Прасолов В. В
 Скачать 3.28 Mb.
|
|
38.3. Найдите уравнение лемнискаты а) в прямоугольных координатах б) в полярных координатах. Огибающая семейства кривых Мы говорим, что две кривые на плоскости касаются в некоторой точке, если их касательные в этой точке совпадают. Пусть на плоскости с координатами x, y задано семейство кривых C a , зависящих от параметра Огибающей семейства кривых C a называют кривую C, которая в каждой своей точке касается одной из кривых C a , причём она касается каждой из кривых C a . Огибающая семейства кривых может состоять из нескольких связных компонент. Например, огибающая семейства окружностей фиксированного радиуса r с центрами на данной прямой l состоит из двух прямых, параллельных прямой и удалённых от неё на расстояние Мы будем предполагать, что кривые C a заданы уравнениями вида f(x, y, a ) = 0, где f — дифференцируемая функция. Найдём уравнение огибающей C, предполагая, что она зада тся параметрически x = f ( a ), y = y ( a ), причём кривая касается кривой C a в точке Пусть x 0 = f ( a 0 ) и y 0 = y ( a 0 ). Касательные к кривыми в точке (x 0 , y 0 ) задаются уравнениями x 0 d f d a + 1 y − y 0 d y d a = 0 и (x − x 0 ) дf дx + (y − y 0 ) дf дy = Эти прямые совпадают, значит, дf дx · d f d a + дf дy · d y d a = 0. (38.2) Условия задач 517 Точка ( f ( a ), y ( a )) лежит на кривой C a , поэтому для всех a . Дифференцируя это равенство, получаем дf дx · d f d a + дf дy · d y d a + дf д a = Теперь, учитывая (38.2), получаем дf д a =0. Таким образом, огибающая (если она существует и задаётся параметрически указанным способом) находится исключением параметра из системы уравнений, y, a ) = 0, дf д a (x, y, a ) = Чтобы уравнения (38.1) действительно задавали касательные, нужно, чтобы в точке (x 0 , y 0 , a 0 ) производные дf дx и дf дy не обращались в нуль одновременно. Если это условие выполнено, то рассуждения можно обратить в таком случае кривая, найденная как решение системы (38.4), действительно будет огибающей. Довольно часто огибающую можно найти при помощи следующих геометрических соображений. Предположим, что каждая пара кривых и C a 2 ( a 1 6= a 2 ) пересекается водной точке, причём эти точки пересечения стремятся к некоторой точке, y( a )) при a 1 → a и. Тогда эта точка (x( a ), лежит на огибающей. Действительно, если f(x, y, a 1 ) = и f(x, y, a 2 ) = 0, то = f(x, y, a 1 ) − f(x, y, a 2 ) a 1 − a 2 = дf д a (x, где a * — некоторая точка между и a 2 . Поэтому для точки, y( a )) имеют место равенства, y( a ), a ) = 0 и дf д a (x( a ), y( a ), a ) = а значит, эта точка лежит на огибающей. Найдите огибающую семейства прямых, отсекающих отданного прямого угла треугольник площади a 2 /2. 38.5. На сторонах угла с вершиной O фиксированы точки и B. На отрезках OA и OB выбираются точки и B 1 Глава 38. Кривые на плоскости так, что OB 1 : B 1 B = AA 1 : A 1 O. Докажите, что огибающая семейства прямых A 1 B 1 — дуга параболы. Найдите в фиксированной вертикальной плоскости огибающую траекторий материальной точки, выбрасываемой изначала координат со скоростью Кривую из задачи 38.6 называют параболой безопасности. Докажите, что огибающая семейства прямых, высекающих на координатных осях отрезок постоянной дли- Рис. 38.1 ны l рис. 38.1), задаётся уравнением Кривую из задачи 38.7 называют астроидой. 38.8. Докажите, что астроида является траекторией отмеченной точки окружности радиуса которая катится по неподвижной окружности радиуса 1, причём меньшая окружность расположена внутри большей. Траекторию отмеченной точки окружности радиуса r, которая катится по неподвижной окружности радиуса R, причём окружность радиуса r расположена внутри окружности радиуса R, называют гипоциклоидой. Траекторию отмеченной точки окружности радиуса r, которая катится по неподвижной окружности радиуса R, причём окружность радиуса r расположена вне окружности радиуса R, называют эпициклоидой. Если число r/R рационально, то соответствующие гипо- и эпициклоиды являются замкнутыми кривыми с конечным числом особых точек (точек возврата. Некоторые из них имеют специальные названия. Например, эпициклоиду с одной точкой возврата называют кардиоидой по форме она напоминает сердце, а эпициклоиду с двумя точками возврата называют нефрои- дой по форме она напоминает почку. Гипоциклоида с четырьмя точками возврата — это астроида Условия задача) Фиксируем число k 6= 0, ±1 и рассмотрим семейство прямых, каждая из которых соединяет точки e i f и Докажите, что огибающая этого семейства прямых — гипо- или эпициклоида. б) Для каждого целого числа k 6= 0, ±1 найдите число точек возврата. Докажите, что огибающая семейства прямых, являющихся отражениями от кругового зеркала пучка параллельных лучей, — нефроида (точнее говоря, половина нефроиды, см. рис. Рис. Рис. 38.3 38.11. Рассмотрим окружность S и выберем на ней точку. Из точки A выпускаются лучи света и отражаются от окружности. Докажите, что огибающая отражённых лучей кардиоида (рис. 38.3). 38.3. Кривизна Пусть g (t) = (x(t), y(t)) — параметризованная кривая. Мы будем предполагать, что v(t) = d g dt (t) 6= 0 при всех Параметр t удобно заменить на так называемый натуральный параметр s = s(t) = t ] 0 |v( t ) | d t . Для натурального параметра |v(t)|, поэтому, те Глава 38. Кривые на плоскости Конец вектора движется по единичной окружности, поэтому v. Пусть n — единичный вектор на плоскости, ортогональный вектору v. Тогда k(s)n. Число |k(s)| называют кривизной кривой в данной точке. Докажите, что кривизна окружности радиуса равна 1/R. 38.13. Докажите, что для кривой g (t) = (x(t), y(t)) с произвольной параметризацией t кривизна вычисляется по формуле y ′′ x ′ ) 2 (x ′2 + y ′2 ) 3 38.14. Вычислите кривизну эллипса 1 в каждой точке. Соприкасающаяся окружность Рассмотрим на плоскости две кривые, заданные уравнениями f(x) и y = g(x). Эти кривые пересекаются, если f(x 0 ) = В точке пересечения кривые касаются (имеют соприкосновение порядка 1), если f ′ (x 0 ) = g ′ (x 0 ). Касающиеся кривые имеют соприкосновение порядка n, если f(x 0 ) = g(x 0 ), f ′ (x 0 ) = g ′ (x 0 ), . . . . . . , f (n) (x 0 ) = g (n) (x 0 ). Кривые, имеющие соприкосновение порядка, называют соприкасающимися. Если кривизна кривой в некоторой точке отлична от нуля, то однозначно определена окружность, соприкасающаяся с кривой в этой точке (соприкасающаяся окружность. Уравнение соприкасающейся окружности в случае, когда кривая задана уравнением y = f(x), находится следующим образом. Пусть g(x) — функция, локально задающая окружность радиуса с центром (a, b), те удовлетворяет соотношению a) 2 + (g(x) − b) 2 = Дифференцируя это соотношение, последовательно получаем − a) + 2g ′ (x)(g(x) − b) = 0, 2 + 2g ′′ (x)(g(x) − b) + 2(g ′ (x)) 2 = 0. Условия задач 521 Если кривая y = f(x) соприкасается с указанной окружностью в точке (x 0 , y 0 ), то a) 2 + (y 0 − b) 2 = R 2 , (x 0 − a) + y ′ 0 (y 0 − b) = 0, 1 + y ′′ 0 (y 0 − b) + (y ′ 0 ) 2 = где y ′ 0 = f ′ (x 0 ) и y ′′ 0 = f ′′ (x 0 ). Более того, если эта система уравнений для a, b, R имеет решение, то верно и обратное кривая соприкасается с окружностью. Легко видеть, что если y ′′ 0 6= 0, то эта система уравнений имеет единственное решение. Например, если y ′ 0 = 0 (а этого всегда можно добиться подходящим выбором системы координат, то a = x 0 , b = y 0 + 1 y ′′ 0 , Центр соприкасающейся окружности называют центром кривизны кривой. Согласно задаче 38.13 в рассматриваемой ситуации. Таким образом, центр кривизны лежит на нормали к кривой в данной точке и удалён от этой точки на расстояние ±1/k. 38.15. Докажите, что центр кривизны является предельным положением точки пересечения близких нормалей. Фокальные точки. Эволюта Пусть g (s) = (x(s), y(s)) — кривая с натуральной параметризацией. Фиксируем на плоскости точку q = (x 0 , y 0 ) и рассмотрим функцию F(s) = | g (s) − q| 2 . Точку s 0 называют критической точкой функции F, если F ′ (s 0 ) = 0. Критическую точку называют вырожденной, если F ′′ (s 0 ) = 0. Ясно, что 2 “ g (s) − q, d g ds ” , F ′′ (s) = 2 ˛ ˛ ˛ d g ds ˛ ˛ ˛ 2 + 2 “ g (s) − q, d 2 g ds 2 ” = 2(1 + ( g (s) − q, число k и вектор n определяются нас) Поэтому точка является критической точкой функции F тогда и только тогда, когда вектор # – g (s 0 )q ортогонален кривой в точке g (s 0 ), а критическая точка является вырожденной тогда и только тогда, когда k(s 0 ) 6= 0 и – g (s 0 )q = 1 k(s 0 ) n. Точку q называют фокальной точкой кривой g , если для этой точки функция | g (s) − q| 2 Глава 38. Кривые на плоскости имеет вырожденную критическую точку. В таком случае, если вырожденная критическая точка, то точка q однозначно определяется равенством # – g (s 0 )q = 1 k(s 0 ) n. С геометрической точки зрения это означает, что точка q является центром окружности, соприкасающейся с кривой в точке g (s 0 ). Таким образом — предельное положение точки пересечения нормалей к кривой в точках g (s 1 ) и g (s 2 ), когда s 1 → и s 2 → s 0 . Отметим, в частности, что фокальная точка не зависит от выбора парамет- ризации. Эволютой кривой называют множество всех её фокальных точек. Учитывая, что фокальные точки являются предельными положениями точек пересечения близких нормалей к кривой, приходим к другому определению эволюта — огибающая семейства всех нормалей к кривой. Для эллипса 1 найдите фокальную точку, соответствующую точке (a cos t 0 , b sin t 0 ); найдите радиус кривизны эллипса в этой точке. Найдите уравнение эволюты эллипса. Циклоидой называют кривую, которую описывает фиксированная точка окружности, катящейся по фиксированной прямой. Докажите, что эволютой циклоиды является такая же циклоида (полученная из исходной кривой параллельным переносом). Решения 38.1. Искомая касательная задаётся уравнением y − y(t 0 ) = = k(x − x(t 0 )), где lim t →t 0 y − y(t 0 ) x − x(t 0 ) = lim t →t 0 “ y − y(t 0 ) t − t 0 · t − t 0 x − x(t 0 ) ” = y ′ (t 0 ) x ′ (t 0 ) 38.2. Мы будем предполагать, что в достаточно малой окрестности точки (x 0 , y 0 ) рассматриваемая кривая является графиком функции y= f (x), хотя в действительности при сделанных предположениях о том, что частные производные не обращаются в нуль, это можно было бы доказать Решения задач 523 По теореме оконечных приращениях, y 0 ) − f(x 0 , y 0 ) = дf дx ( x , y 0 )(x 1 − x 0 ), f(x 1 , y 1 ) − f(x 1 , y 0 ) = дf дy (x 0 , h )(y 1 − где число заключено между и x 1 , а число заключено между y 0 и y 1 . Поэтому если точка (x 1 , y 1 ) тоже лежит на рассматриваемой кривой, то дf дx ( x , y 0 )(x 1 − x 0 ) + дf дy (x 0 , h )(y 1 − y 0 ) = Искомая касательная задаётся уравнением y−y 0 = k(x−x 0 ), где lim x 1 →x 0 y 1 − y 0 x 1 − x 0 = − lim x 1 →x 0 дf дx ( x , y 0 ) дf дy (x 0 , h ) = − дf дx (x 0 , y 0 ) дf дy (x 0 , y 0 ) 38.3. а) Ответ. Непосредственно из определения видно, что лемниската задаётся уравнением a) 2 + y 2 )((x + a) 2 + y 2 ) = те. После несложных преобразований получаем уравнение, указанное в ответе. б) Ответ. Выразив прямоугольные координаты через полярные, получим для лемнискаты уравнение 2a 2 r 2 (cos 2 f − sin 2 f ). Остаётся заметить, что cos 2 f − sin 2 f = cos 2 f 38.4. Введём систему координат, направив оси по сторонам данного прямого угла. Интересующие нас прямые пересекают оси координат в точках ( a a, 0) и (0, a/ a ), где a > 0. Прямая, соответствующая параметру a , задаётся уравнением x Две прямые, соответствующие параметрами, пересекаются в точке с координатами. Если a 1 → a и a 2 → a , то мы получаем точку. Такие точки лежат на гиперболе a 2 /4. 38.5. Можно считать, что O — начало координат, A = (1, и B = (−1, 1). Тогда A 1 = (1 − a , 1 − a ) и B 1 = (− a , a ) для некоторого. Прямая, проходящая через точки и B 1 , задаётся уравнением (2 a − 1)x + y = 2 a (1 − a ). Легко проверить, что если Глава 38. Кривые на плоскости, y 0 ) — точка пересечения прямых, соответствующих параметрами, то x 0 = 1 − a 1 − a 2 . Если a 1 → a и, то Поэтому огибающая задаётся уравнением −x 2 + y = 1 2 (1 − те. Направим ось Oy вертикально вверх, а ось Ox направим по горизонтальной составляющей скорости v 0 . Тогда в момент времени материальная точка имеет координаты x(t) = v 0 cos a · t, y(t) = v 0 sin a · t − gt 2 2 , где a — угол, под которым она была выброшена. Например, если точка выбрасывается вертикально вверх, то y(t) = v 0 t − gt 2 2 , поэтому y(t) максимально при t и при этом y(t) = v 2 0 2g . Если предположить, что огибающая является параболой, то она должна задаваться уравнением y = v 2 0 2g − Чтобы найти k, вычислим наибольшую возможную координату пересечения траектории с осью Ox наибольшую дальность выстрела. Если y(t 0 ) = 0 и t 0 6= 0, то t 0 = 2v 0 sin a g . При этом 0 sin a cos a g = v 2 0 sin 2 a g . Поэтому наибольшая дальность выстрела равна 0 g . Соответственно, для k получаем уравнение 0 2g − k “ v 2 0 g ” 2 = 0, откуда находим k = g 2v 2 Докажем теперь, что парабола y = v 2 0 2g − g 2v 2 действительно является огибающей рассматриваемого семейства траекторий. Для этого достаточно доказать, что любая траектория лежит ниже этой параболы и имеет с ней одну общую точку, те. для всех t имеет место неравенство 0 2g − g cos 2 a 2 t 2 > v 0 sin a · t − gt 2 2 , причём для некоторого t оно обращается в равенство. Заменив cos 2 a на 1 − sin 2 a , переходим к неравенству 0 2g − v 0 sin a · t + g те. Оно обращается в равенство при t= v 0 g sin a Решения задач. Пусть отрезок с концами (a 1 , 0) и (0, b 1 ) имеет длину и отрезок с концами (a 2 , 0) и (0, b 2 ) тоже имеет длину l. Если и b = b 1 + b 2 2 , то a 1 = a + a , b 1 = b − b , a 2 = a − a , b 2 = b + b для некоторых и b . Из соотношения (a+ a ) 2 + (b− b ) 2 = (a − a ) 2 + + (b получаем a a = b b Найдём координаты точки пересечения рассматриваемых отрезков (предполагается, что и одного знака и и тоже одного знака. Прямые, на которых лежат эти отрезки, задаются уравнениями + a + y b − b = 1, x a − a + y b + b = Рассматривая сумму и разность этих уравнений, получаем Если учесть соотношение a a = b b , то последнее равенство можно переписать в виде. Подставляя это выражение в первое равенство, находим x = a(a 2 − a 2 ) a 2 + b 2 , y = b(b 2 − b 2 ) a 2 + b 2 Нас интересует предел при a → 0, b → 0. Ясно, что предельные выражения такие x = и y = b 3 /l 2 . Тогда+ y 2/3 = (a 2 + b 2 )/l 4/3 = l 2 /l 4/3 = l 2/3 |