Учебное пособие Москва Издательство мцнмо 2007 удк 512. 1517. 1511. 1 Ббк 22. 14122. 161 П70 Прасолов В. В
 Скачать 3.28 Mb.
|
|
36.30. Согласно задаче 36.28 “ 1 + ∞ P n =1 p(n)x n ”“ ∞ Q k =1 (1 − x k ) ” = Далее, согласно задаче 36.29 ∞ Y n =1 (1 − x n ) = 1 + ∞ X k =1 ( −1) k ` x 3k2−k 2 + Запишем тождество + ∞ X n =1 p(n)x n «„ 1 + ∞ X k =1 ( −1) k ` x 3k2−k 2 + x 3k2+k 2 ´ « = и раскроем скобки. Приравнивая в левой части коэффициент при x n , n > 1, нулю, получаем требуемое. Для d(n) производящая функция равна+ x)(1 + x 2 )(1 + x 3 )(1 + x 4 ) . . . а для l(n) производящая функция равна 1 − x · 1 1 − x 3 · 1 1 − x 5 · 1 1 − x 7 · . . Ясно, что+ x)(1 + x 2 )(1 + x 3 ) . . . = 1 − x 2 1 − x · 1 − x 4 1 − x 2 · 1 − x 6 1 − x 3 · . . В правой части все числители сокращаются со всеми знаменателями вида 1 − x 2k , поэтому остаются только знаменатели вида − x 2k+1 Решения задач. Рассмотрим формальные ряды + x i x ” = − ∞ X k =1 ( −1) k k x k i x k , i = 1, . . . , Их можно рассматривать как формальные ряды от переменных) Складывая эти формальные ряды, получаем + x 1 x ” . . . “ 1 + x n x ” = С другой стороны + x 1 x ” . . . “ 1 + x n x ” = Ln “ 1 + s 1 x + s 2 x 2 + . . . + s n x n ” = = − ∞ X k =1 ( −1) k k “ 1 + s 1 x + s 2 x 2 + . . . + s n x n ” k = = − ∞ X k =1 X k =l 1 +...+l n ( −1) k k · k! l 1 ! . . . l n ! s l 1 1 . . . s l n n x −(l 1 +2l 2 +...+nl n ) = = − X ( −1) l 1 +...+l n (l 1 + . . . + l n − 1)! l 1 ! . . . l n ! s l 1 1 . . Сравнивая коэффициенты при, получаем требуемое. Рассмотрим формальный ряд − x 1 x ” . . . “ 1 − x n x ” = − s 1 x − s 2 2x 2 − s 3 3x 3 − . . Взяв формальную экспоненту, получим − x 1 x ” . . . “ 1 − x n x ” = Exp “ − s 1 x ” Exp “ − s 2 2x 2 ” Exp “ − s 3 3x 3 ” . . . = = ∞ X l 1 =0 ( −1) l 1 s l 1 1 l 1 ! x l 1 ∞ X l 2 =0 ( −1) l 2 s l 2 2 l 2 ! (2x) l 2 ∞ X l 3 =0 ( −1) l 3 s l 3 3 l 3 ! (3x) l 3 . . . = = X ( −1) l 1 +l 2 +l 3 +... s l 1 1 s l 2 2 s l 3 3 . . . 1 l 1 · 2 l 2 · 3 l 3 · . . . · С другой стороны − x 1 x ” . . . “ 1 − x n x ” = 1 − s 1 x + s 2 x 2 − . . . + Сравнив коэффициенты при, получаем требуемое ГЛАВА ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ. Свойства конечных разностей Пусть x 0 , x 1 , x 2 , . . . — последовательность чисел. Ей можно сопоставить последовательность первых разностей ∆x 0 , ∆x 1 , ∆x 2 , . . . , где ∆x k = x k +1 − x k . Повторив эту операцию, получим последовательность вторых разностей ∆ 2 x k = и т. д. Докажите, что ∆ n x k = n P l=0 ( −1) n −l C l n x k+l 37.2. Докажите, что x n = n P l=0 C l n ∆ l x 0 , где ∆ 0 x k = Последовательности разностей обычно рассматривают для f(x + hk), где f — некоторая функция, h — постоянное число, которое мы будем обозначать ∆x. Число будем при этом обозначать ∆ k f(x). 37.3. Докажите, что если f(x) — многочлен степени n, то его е разности постоянны, а именно, они равны n! где a n — старший коэффициент многочлена. Докажите, что n X l=0 ( −1) n −l C l n l m = ( 0 при n > при n = m. 37.5. Докажите, что ∆ n a px+q = a px+q (a p∆x − 1) n 37.6. Докажите, что + b) = 2 sin a ∆x 2 n cos ax + b + n a ∆x 2 , ∆ n cos(ax + b) = 2 sin a ∆x 2 n sin ax + b + n a ∆x 2 Условия задач. Докажите, что ∆ 1 x = − ∆x x(x + ∆x) 37.8. Докажите, что ∆ arctg x = arctg ∆x 1 + x(x + ∆x) 37.9. Пусть функция f (x) такова, что) = f (x) для некоторой функции f(x). Докажите, что f (x) + f (x + h) + . . . + f (x + (n − 1)h) = f(x + nh) − f(x). 37.10. Докажите, что а б 1 + k(k + 1) = arctg n. 37.2. Обобщённая степень Легко видеть, что (x + h) k − x k = kx k −1 h + k(k − 1) 2 h k −2 + . . . + Это выражение, вообще говоря, неравно. В исчислении конечных разностей роль x k играет обобщённая степень x x (k) h = x(x − h) . . . (x − (k − 1)h). 37.11. Докажите, что ∆x (k) h = Примы обозначаем обобщённую степень x (k) . Формула является аналогом формулы дифференцирования. Докажите, что+ 1 37.3. Формула суммирования Эйлера. Пусть функция f(x) непрерывно дифференцируема на отрезке [1, n]. Докажите, что) dx − 1 2 (f(n) − f(1)) + n ] 1 B 1 ({x})f ′ (x) где B 1 (z) = z − 1/2 — многочлен Бернулли Глава 37. Исчисление конечных разностей. Пусть функция f(x) непрерывно дифференцируема раз на отрезке [1, n]. Докажите, что) dx − 1 2 (f(n) − f(1)) + B 2 2! (f ′ (n) − f ′ (1)) + . . . . . . + ( −1) m B m m! (f (m −1) (n) − f (m −1) (1)) + где R mn = ( −1) m +1 m! n ] 1 B m ({x})f (m) (x) Решения. Применим индукцию по n. При n = 1 утверждение верно. Предположим, что оно верно для некоторого n. Тогда ∆ n x k +1 − ∆ n x k = n X l =0 ( −1) n −l C l n (x k +l+1 − x k +l ) = = n +1 X l =1 ( −1) n −l+1 C l −1 n x k +l + n X l =0 ( −1) n −l+1 C l n x k +l Остаётся заметить, что C l −1 n + C l n = C l n +1 37.2. Применим индукцию по n. При n = 1 получаем x 1 = = (x 1 − x 0 ) + x 0 = ∆ 1 x 0 + ∆ 0 x 0 . Предположим, что требуемое равенство верно для некоторого n. Тогда+ ∆ 0 x 0 ) = = n X l =1 C l −1 n ∆ l x 0 + n X l =0 C l n ∆ l x 0 Остаётся заметить, что C l −1 n + C l n = C l n +1 37.3. Равенство. . показывает, что первые разности для последовательных значений являются последовательными значениями некоторого многочлена степени m − 1 со старшим коэффициентом C 1 m h = Поэтому первые разности для последовательности x k = f(x + kh) Решения задач 513 имеют вид f 1 (x + kh), где f 1 — многочлен степени n − 1 со старшим коэффициентом nha n . Значит, вторые разности имеют вид+ kh), где f 2 — многочлен степени n − 2 со старшим коэффициентом. Продолжая аналогично, получаем, что е разности — это константа n(n − 1) · . . . · 2 · 1 · h n a n 37.4. Пусть x k = k m . Согласно задаче 37.3 ∆ m x k = m! и ∆ n x k = при n > m. С другой стороны, согласно задаче 37.1 ∆ n x k = n X l =0 ( −1) n −l C l n x k +l = n X l =0 ( −1) n −l C l n (k + При k = 0 получаем требуемое. З а меча ни е. По поводу других доказательств см. задачи и 36.9. 37.5. Требуемое равенство достаточно доказать при n = 1. Ясно, что ∆a px +q = a p(x +∆x)+q − a px +q = a px +q (a p ∆x − 1). 37.6. Требуемые равенства достаточно доказать при n = 1. Для синуса получаем sin(ax + b) = sin(ax + b + a∆x) − sin(ax + b) = = 2 sin a∆x 2 cos “ ax + b + Для косинуса вычисления аналогичны. Ясно, что + ∆x − 1 x = − ∆ x x(x + ∆x) 37.8. Если y = arctg(x + ∆x) − arctg x, то по формуле для тангенса разности двух углов tg y = (x + ∆x) − x 1 + x(x + ∆x) = ∆ x 1 + x(x + ∆x) 37.9. По условию f (x) = f(x + h) − f(x), f (x + h) = f(x + 2h) − −f(x+h), . . ., f (x + (n −1)h)=f(x+nh)−f(x+(n−1)h). Складывая эти равенства, получаем требуемое. Применим формулу из задачи 37.9 к тождествам из задачи. В случае арктангенса мы полагаем ∆x = 1. 37.11. Ясно, что (x + h)x · . . . · (x − (k − 2)h) − x(x − h) . . . (x − (k − 1)h) = = x(x − h) . . . (x − (k − 2)h)((x + h) − (x − (k − 1)h)) = khx (k −1) h Глава 37. Исчисление конечных разностей. Пусть f(x) = x (k) k + и f (x) = x (k) . Тогда ∆f(x) = f (x) при 1. Применяя формулу из задачи 37.9, получаем требуемое. Интегрируя по частям, получаем 2 ” f ′ (x) dx = “ x − k − 1 2 ” f(x) ˛ ˛ ˛ k +1 k − k +1 ] k f(x) dx = = 1 2 (f(k + 1) + f(k)) − k +1 ] k f(x) Запишем такие равенства для k = 1, 2, . . . , n − 1 и сложим их. В результате получим требуемое. Напомним, что B ′ m (x) = mB m −1 (x) задача 36.27). Поэтому при m > 1 интегрирование по частям дат) dx = 1 (m + 1)! (B m +1 (1)f (m) (n) − B m +1 (0)f (m) (1)) − − 1 (m + 1)! n ] 1 B m +1 ({x})f (m +1) (x) Напомним также, что B m +1 (1) = B m +1 (0) = согласно задаче. Запишем тождество из задачи 37.13 и будем последовательно применять только что доказанное тождество. В результате получим требуемое ГЛАВА КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ Представление кривой в виде графика функции не всегда бывает удобно. Такое представление возможно лишь в достаточно специальных случаях. Например, так нельзя представить даже обычную окружность. Более широкий класс кривых можно получить с помощью параметризации кривой или задания кривой уравнением. Под параметризацией подразумевается представление кривой в виде (x(t), y(t)), где x(t) и y(t) — некоторые функции от t. Например, окружность можно представить в виде t, sin t). 38.1. Предположим, что x ′ (t) 6= 0 и y ′ (t) 6= 0. Докажите, что касательная к кривой (x(t), y(t)) в точке (x(t 0 ), y(t 0 )) задаётся уравнением x(t 0 ) x ′ (t 0 ) = y − Чтобы записать уравнение касательной к кривой, заданной уравнением f(x, y) = 0, нужно понятие частной производной: дf дx (x 0 , y 0 ) = lim x →x 0 f(x, y 0 ) − f(x 0 , y 0 ) x − x 0 , дf дy (x 0 , y 0 ) = lim y →y 0 f(x 0 , y) − f(x 0 , y 0 ) y − Другими словами, частная производная по x — это обычная производная функции f(x, y 0 ), где фиксировано, а частная производная по y — это обычная производная функции f(x 0 , где фиксировано. Предположим, что дf дx (x 0 , y 0 ) 6= 0 и дf дy (x 0 , y 0 ) 6= Докажите, что касательная в точке (x 0 , y 0 ) к кривой, за Глава 38. Кривые на плоскости данной уравнением f(x, y) = 0, задаётся уравнением x 0 ) дf дx (x 0 , y 0 ) + (y − y 0 ) дf дy (x 0 , y 0 ) = 0. 38.1. Полярные координаты Положение точки X в полярных координатах задаётся расстоянием до начала координат O и углом между лучом и осью Ox. Полярные координаты (r, f ) связаны с прямоугольными координатами (x, y) следующим образом r cos f , y = r sin f ; r 2 = x 2 + y 2 , tg f = Лемниската — это множество всех точек, для которых произведение расстояний от точек (a, 0) и (−a, 0) равно a 2 |