Учебное пособие Москва Издательство мцнмо 2007 удк 512. 1517. 1511. 1 Ббк 22. 14122. 161 П70 Прасолов В. В
 Скачать 3.28 Mb.
|
|
38.8. Первое решение. Выведем параметрическое представление траектории отмеченной точки в общем случае, когда окружность радиуса r катится внутри окружности радиуса R. Это движение отмеченной точки можно представить как вращение центра меньшей окружности по окружности радиуса r 1 = R − с угловой скоростью и вращение меньшей окружности радиуса r с угловой скоростью w 2 . При этом и имеют разные знаки и связаны соотношением (r 1 + r 2 ) w 1 = r 2 ( − w 2 + w 1 ), которое выражает равенство дуг неподвижной окружности радиуса r 1 + и подвижной окружности радиуса r = качение без скольжения. После сокращения это соотношение записывается в виде r 1 w 1 = Траектория отмеченной точки параметрически задаётся так r 1 cos w 1 t + r 2 cos w 2 t, y = r 1 sin w 1 t + r 2 sin w 2 t. Глава 38. Кривые на плоскости В случае, когда R = 4r, получаем r 1 = 3r, r 2 = r и w 2 = −3 w 1 . Положив, получим 3r cos t + r cos 3t = 4r cos 3 t, y = 3r sin t − r sin 3t = 4r а значит, x 2/3 + y 2/3 = (4r) 2/3 = Замечание. Точно такое же параметрическое представление траектории получается ив случае, когда окружность радиуса катится по внешней части круга радиуса R. Тогда движение отмеченной точки можно представить как вращение центра окружности радиуса r 2 = r по окружности радиуса r 1 = R + r с угловой скоростью и вращение окружности радиуса r 2 = r с угловой скоростью w 2 . При этом и имеют одинаковые знаки и связаны соотношением (r 1 − r 2 ) w 1 = r 2 ( w 2 − w 1 ). После сокращения это соотношение записывается в виде r 1 w 1 = Второе решение. Рассмотрим окружность радиуса l = с центром вначале координат O. Пусть окружность радиуса катится внутри е, причём в начальный момент отмеченная точка совпадает сточкой. Пусть через некоторое время отмеченная точка переместилась в точку X, а окружности теперь касаются в точке A. Тогда дуги AP и AX равны, поэтому центральный угол, опирающийся на дугу AX, равен 4∠AOP, а вписанный угол равен 2∠AOP. Пусть B — середина отрезка OA, аи точки пересечения прямой BX с координатными осями. Треугольники и OBN равнобедренные, поскольку в них внешний угол при вершине B вдвое больше внутреннего угла при вершине O. Поэтому Прямая MN касается траектории отмеченной точки в точке Действительно, прямая MN перпендикулярна прямой AX, а вектор скорости движения точки X перпендикулярен AX, поскольку точка A является мгновенным центром вращения точки X. Таким образом, траектория точки X является огибающей семейства прямых, высекающих на координатных осях отрезок постоянной длины l. 38.9. а) Пусть A = e i f , B = e ik f , A ′ = e i( f + a ) , B ′ = Пусть, далее, C — предельное положение точки пересечения прямых и при a →0. Ясно, что если k >0, то точка C лежит на отрезке AB, а если k < 0, то точка C лежит вне этого отрезка. Покажем, что AC : CB = 1 : |k|. Действительно, AC : CB ′ = sin B ′ : sin A = = ± sin a : sin k a → 1 : ±k, а CB ′ : CB = sin B : sin B ′ → 1. В результате получаем, что точка C, лежащая на огибающей, имеет коор- Решения задач 527 динаты e ik f + ke i f 1 + k = 1 1 + k (cos k f + k cos f , sin k f + k sin Как видно из первого решения задачи 38.8, точки с такими координатами образуют гипо- или эпициклоиду. б) Ответ. Точки возврата соответствуют положениям, когда точки e i f и e ik f диаметрально противоположны, т. е. e i f + e ik f = 0. После сокращения на e i f получаем уравнение −1. Оно имеет |k − 1| решений. Будем считать, что лучи параллельны оси Ox и отражаются от единичной окружности. Пусть луч попадает в точку e i y . После отражения этот луч попадает в точку A 1 , которая получается следующим образом. Пусть A ′ — исходная точка луча света, те. точка, симметричная точке A относительно оси Тогда точка симметрична точке относительно диаметра Несложные вычисления углов показывают, что A 1 = e i(3 y + p ) . Положим. Тогда 3 y + p = 3 f + 3 a + p = 3 f + a для a = В результате мы оказываемся в ситуации задачи 38.9 для k = что соответствует эпициклоиде с двумя точками возврата. Будем считать, что окружность единичная, а A=(−1, Тогда луч, попадающий в точку e i y , после отражения попадает в точку e i(2 y + p ) . Положим y = f + a . Тогда 2 y + p = 2 f + 2 a + p = = 2 f + a для a = − p . В результате мы оказываемся в ситуации задачи 38.9 для k = 2, что соответствует эпициклоиде с одной точкой возврата. Окружность радиуса R параметрически можно задать формулами x(t) = R cos w t, y(t) = R sin w t. При этом (− w R sin w t, w R cos Пусть w = 1/R. Тогда |v(t)| = 1, те натуральный параметр. При этом −R −1 (cos w t, sin w t) и k = ˛ ˛ ˛ dv dt ˛ ˛ ˛ = 1/R. 38.13. Если s — натуральный параметр, то d g dt = d g ds · ds dt и ˛ ˛ ˛ d g ds ˛ ˛ ˛ = = 1. Поэтому. Следовательно, d g ds = d g dt · ˛ ˛ ˛ d g dt ˛ ˛ ˛ −1/2 Дифференцируя это равенство по t, получаем g ′2 − ( g ′ , g ′′ ) g ′ ` p g ′2 ´ 3 = g ′′ g ′2 − ( g ′ , g ′′ ) g ′ ` p g ′2 ´ 3 Глава 38. Кривые на плоскости Возведём это равенство в квадрат. Учитывая, что и, получаем ( g ′ , g ′′ ) 2 ( g ′2 ) 3 = (x ′′2 + y ′′2 )(x ′2 + y ′2 ) − Последнее выражение легко преобразуется к требуемому виду. Рассмотрим следующую параметризацию эллипса x(t)= = a cos t, y(t) = b sin t. Тогда y ′′ x ′ = −ab(cos 2 t + sin 2 t) = −ab, x ′2 + y ′2 = a 2 sin 2 t + Поэтому согласно задаче 38.13 k 2 = a 2 b 2 (a 2 sin 2 t + Замечание. Другим способом кривизна эллипса вычисляется в задаче 38.16. 38.15. Можно считать, что кривая задаётся уравнением y=f(x), причём f ′ (0) = 0. При этом нас интересует центр кривизны для точки (0, f(0)). Нормаль к кривой в точке ( e , f( e )) зада- ётся уравнением (x − e ) + f ′ ( e )(y − f( e )) = 0; нормаль в точке это координатная ось Ox. Пересечение этих нормалей точка, f( e ) + e f ′ ( e ) ” . При e → 0 получаем точку, f(0) + 1 f ′′ (0) ” . Это как рази есть центр кривизны. Для фиксированной точки (x 0 , y 0 ) рассмотрим на эллипсе функцию F(t) = (x 0 − a cos t) 2 + (y 0 − b sin t) 2 . Нас интересует точка (x 0 , y 0 ), для которой F ′ (t 0 ) = 0 и F ′′ (t 0 ) = 0, те Решая эту систему уравнений, находим b 2 a cos 3 t 0 , y 0 = − a 2 − Теперь радиус кривизны R вычисляется по формуле (x 0 − a cos t 0 ) 2 + (y 0 − b sin t 0 ) 2 = (a 2 sin 2 t 0 + b 2 cos 2 t 0 ) 3 a 2 b 2 Решения задач. Выражения для фокальных точек, полученные в решении задачи 38.16, показывают, что они лежат на кривой+ (by) 2/3 = (a 2 − b 2 ) 2/3 38.18. Пусть фиксированная прямая — это ось Ox, а в начальный момент фиксированная точка совпадает с началом координат. Будем также предполагать, что окружность имеет радиус и катится она в верхней полуплоскости. Пусть через некоторое время фиксированная точка сместилась в точку X; при этом катящаяся окружность касается оси Ox в точке P рис. Рис. Тогда длина отрезка OP равна длине дуги PX. Пусть PQ — диаметр окружности и O 1 — точка ( p , 0), те. середина отрезка с концами в первом и втором положении фиксированной точки на оси Ox. Тогда длина отрезка O 1 P равна длине дуги QX. Поэтому если мы рассмотрим окружность S ′ 1 , симметричную относительно точки P, и рассмотрим на ней точки и Q ′ , симметричные и Q, то длина дуги равна длине отрезка Q 1 P. Рассмотрим прямую l, которая проходит через точку параллельно исходной фиксированной прямой. Пусть O ′ — проекция точки на эту прямую. Тогда длина отрезка O 1 P равна длине отрезка Поэтому длина дуги Q ′ X равна длине отрезка Q ′ O, те. точка X ′ Глава 38. Кривые на плоскости расположена на циклоиде, которая получается, когда окружность радиуса 1 катится по прямой l навстречу исходной окружности, причём в начальный момент фиксированная точка расположена в точке Покажем, что прямая одновременно является нормалью к первой циклоиде и касательной ко второй циклоиде. Точка является мгновенным центром вращения точки X, поэтому прямая является нормалью к первой циклоиде. Точка является мгновенным центром вращения точки X ′ , поэтому прямая является нормалью ко второй циклоиде, а прямая является касательной ГЛАВА ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ. Конечные множества. Дано непустое конечное множество. Докажите, что количество его подмножеств, содержащих чётное число элементов, равно количеству подмножеств, содержащих нечёт- ное число элементов. Операции надмножествами В теории множеств приняты следующие обозначения X: x — элемент множества X (x принадлежит множеству не принадлежит X; A ⊂ X: A — подмножество X, те. каждый элемент множества принадлежит X; A ∪ B — объединение множеств A и B; оно состоит из тех элементов, которые являются элементами множества A или множества пересечение множеств A и B; оно состоит их тех элементов, которые одновременно являются элементами множества и элементами множества В том случае, когда фиксировано некоторое множество U, используют обозначение A — дополнение множества A; оно состоит из тех элементов множества U, которые не являются элементами множества A. 39.2. а) Докажите, чтоб) Докажите, что A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). 39.3. Докажите, что A ∪ B = A ∩ B и A ∩ B = A ∪ B (законы де Моргана Глава 39. Теория множеств Тождества, подобные тем, которые доказываются в задачах и 39.3, удобно доказывать с помощью так называемых диаграмм Венна, на которых рассматриваемые множества изображаются в виде пересекающихся кругов. В случае n множеств берутся выпуклых фигур (кругами не всегда можно обойтись, границы которых разбивают плоскость на частей. Если все рассматриваемые множества лежат в фиксированном множестве U, то это множество U можно изобразить в виде круга, содержащего все остальные фигуры. Решите задачи 39.2 и 39.3, нарисовав соответствующие диаграммы Венна. 39.3. Равномощные множества Два множества X и Y называют равномощными, если существует отображение f : X → Y, которое является взаимно однозначным, те. для любого элемента y ∈ Y существует ровно один элемент x ∈ X, для которого f(x) = y. Другими словами, между элементами множеств X и Y установлено соответствие, при котором каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества. Мы будем использовать следующие обозначения и термино- логию: • отрезок [a, b] состоит из точек x, удовлетворяющих неравенствам интервал (a, b) состоит из точек x, удовлетворяющих неравенствам a < x < полуинтервал [a, b) состоит из точек x, удовлетворяющих неравенствам a 6 x < b; полуинтервал (a, b] состоит из точек, удовлетворяющих неравенствам a < x 6 b. 39.5. Докажите, что отрезки [0, 1] и [0, a] равномощны для любого положительного числа a. 39.6. Докажите, что интервал (0, 1) и луч (1, +∞) рав- номощны. 39.7. Докажите, что интервал (−1, 1) равномощен множеству всех действительных чисел. Докажите, что множество всех бесконечных последовательностей, где a i = 0 или 1 для всех i, равно- мощно множеству всех подмножеств натуральных чисел Условия задач. Докажите, что отрезок [0, 1] равномощен полуинтервалу. Счётные множества Множество называют счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел. Докажите, что множество целых чисел счётно. 39.11. Докажите, что множество рациональных чисел счётно. 39.12. Докажите, что любое подмножество счётного множества либо конечно, либо счётно. 39.13. Докажите, что объединение счётного множества счётных множеств счётно. 39.14. Докажите, что для каждого натурального n множество всех последовательностей из n натуральных чисел счётно. 39.15. Докажите, что множество всех конечных последовательностей натуральных чисел счётно. 39.16. Докажите, что множество всех алгебраических чисел счётно. 39.17. Докажите, что множество попарно не пересекающихся отрезков на прямой конечно или счётно. 39.18. Докажите, что множество попарно не пересекающихся кругов на плоскости конечно или счётно. 39.19. Докажите, что если множество X бесконечно, а множество Y конечно или счётно, то множество X ∪ Y равномощно X. 39.5. Мощность континуума Говорят, что множество имеет мощность континуума, если оно равномощно множеству действительных чисел. а) Докажите, что множество точек интервала (0, имеет мощность континуума. б) Докажите, что множество точек отрезка [0, 1] имеет мощность континуума Глава 39. Теория множества) Докажите, что множество всех бесконечных последовательностей, где a i = 0 или 1, имеет мощность континуума. б) Докажите, что множество всех подмножеств множества натуральных чисел имеет мощность континуума. Докажите, что множество всех точек квадрата имеет мощность континуума. Свойства мощности. Докажите, что никакое множество X неравно- мощно множеству P(X) всех своих подмножеств (Кантор. Докажите, что если множество имеет мощность континуума, то оно не счётно. 39.7. Парадоксы теории множеств С самого начала развития теории множеств выяснилось, что рассмотрение множеств, элементами которых служат другие множества, может привести к противоречию два взаимно исключающих утверждения будут убедительно доказаны. П ара док с Рас села. Каждое множество X либо не является элементом самого себя, либо является. Пусть — множество, элементами которого являются все темно- жества X, которые не являются элементами самого себя. Попробуем выяснить, что верно Y ∈Y или Y6∈Y? Если то по определению множество Y не является элементом а если Y 6∈ Y, то по определению множество Y является элементом Парадокс Кантора. Пусть M — множество всех множеств, P(M) — множество всех его подмножеств. Из определения M видно, что P(M) содержится в M. С другой стороны, по теореме Кантора (задача 39.23) множество Именно такими являются множества, с которыми обычно имеют дело в математике множество натуральных чисел, множество действительных чисел и т. п Решения задач) имеет строго большую мощность, чем M, поэтому оно не может содержаться в Чтобы избежать парадоксов такого рода, в аксиоматической теории множеств вводится так называемая аксиома фундирова- ния: не существует бесконечной последовательности множеств X 2 , X 2 ∈ X 3 , X 3 ∈ X 4 , . . . В частности, никакое множество не может быть элементом самого себя. Тогда парадокс Рассела разрешается так, что описанный указанным образом объект не существует (не является множеством). |