1_Вычисления в Excel. Учебное пособие Набережные Челны 2003 г

• Название: Учебное пособие Набережные Челны 2003 г
• Анкор: 1_Вычисления в Excel.doc
• Дата: 23.09.2017
• Размер: 7.26 Mb.
• Имя файла: 1_Вычисления в Excel.doc
• Тип: Учебное пособие; #8938
• страница: 10 из 16

6.1. Векторы

Векторы — это наборы чисел, расположенные горизонтально (вектор-строка) или вертикально (вектор-столбец).

• 
  сложение - два вектора а и b с одинаковым числом компо­нент образуют новый вектор с: с_i = a_i + b_i ;
  
• 
  умножение на число - каждая компонента вектора умножает­ся на число, т.е. b = λа означает b_i = λа_i
  

здесь i — номер компоненты вектора.

Упражнение 6.1.1. Сложить два вектора:

1. 
   Ввести в первую строку вектор Х - (А1:Е1)
   
2. 
   Ввести во вторую строку вектор Y - (А2:Е2)
   
3. 
   Найти сумму векторов –
   

• 
  выделить блок ячеек для результата в третьей строке (А3:Е3);
  
• 
  ввести в строке формул =А1:Е1+А2:Е2
  
• 
  нажать Ctrl+Shift+Enter.
  

Иллюстрация к примеру - рис. 14.

А В С D E

1

2

3

Рис. 14. Иллюстрация к упражнению 6.1.1.

Задача 6.1.1. Умножить вектор на число.

Упражнение 6.1.2.

Умножение вектор-столбца на вектор-строку.

В блоке (вектор-столбце) А2:А5 записаны числа: 1,2,3,4. Требуется получить в блоке B2:D5 три вектор-столбца, каждый из которых представляет собой результат умножения исходного вектор-столбца на вектор-строку: 2, -3, 4 (B1:D1). Рис.15. К упр. 6.1.2.

Решение.

1-й способ: за­писать в ячейку В2 формулу =$А2*В$1 и скопировать ее в ос­тальные ячейки диапазона B2:D5.

2 -й способ (более экономный): выделить блок B2:D5. За­пишем в него формулу массива {=А2:А5*B1:D1}.

Анализ решения. Табличный массив {2;-3;4} - вектор-строка, а блок А2:А5 - вектор-столбец. Значит, матрица B2:D5 размерностью 4Х3 является результатом умножения вектор-столбца А2:А5 (4Х1) на вектор-строку B1:D1 (1Х3).



Примечание. Если ввести формулу {=B1:D1* А2:А5}, то получится тот же результат, хотя с позиций матричной алгебры вектор-строку (1х3) нельзя умножать на вектор-столбец (4х1) из-за несогласованности размеров (число столбцов в первом сомно­жителе должно равняться числу строк во втором сомножителе).

У
пражнение 6.1.3. Вычислить скалярное произведение двух векторов.

1. 
   Установить курсор в ячейку, где нужен результат.
   
2. 
   Щёлкнуть кнопку автосуммы - .
   
3. 
   Выделить массив Х (А5:А12).
   
4. 
   Нажать знак умножить -*.
   
5. 
   Выделить массив Y (B5:B12).
   
6. 
   Нажать Ctrl + Shift + Enter.
   

Примечание. Тот же результат можно получить с помощью обычной функции: =СУММПРОИЗВ (А5:А12, В5:В12).

6.2. Матричные операции

Простейшие операции, которые можно проделывать с мат­рицами: сложение (вычитание), умножение на число, перемно­жение, транспонирование, вычисление обратной матрицы.

Упражнение 6.2.1. Сложение матриц.

Задание. Сло­жить матрицы М и N, где


Решение.
M= и N=

1-й способ:

• 
  Ввести матрицу М в блок А1:С2, а матрицу N в блок Е1:G2.
  
• 
  В блок А4:С5 ввести табличную формулу {= А1:С2 + E1:G2}.
  

Примечание. Выделен блок, имеющий те же размеры, что и исходные матрицы.

2-й способ:

Использование имен делает процедуру ввода табличной формулы намного проще:

• 
  Задать диапазонам А1:С2 и E1:G2 имена М и N.
  
• 
  В блок E4:G5 ввести табличную формулу { = М + N }.
  

Результат, естественно, тот же: M+N =

Упражнение 6.2.2. Вычислить линейную комбинацию матриц 2*М - N (матрицы М.и N из упражнения 6.2.1.).

Решение. В блок А7:С8 ввести табличную формулу {= 2*М - N }.

Результат: 2*M - N =

Задача 6.2.1. Осмысленные результаты (не имеющие ничего общего с матричной алгеброй) получаются при сложе­нии матриц разных размеров. Придумать примеры и попытаться выявить правила, по которым Excel выполняет такое сло­жение.

Для матричных операций в Excel предусмотрены функции, входящие в категорию "Математические":

МОПРЕД — вычисление определителя матрицы;

МОБР — вычисление обратной матрицы;

МУМНОЖ — перемножение матриц;

ТРАНСП — транспонирование.

Примечание. Первая из этих функций возвращает число, поэтому вводит­ся как обычная формула. Остальные функции возвращают блок ячеек, поэтому они должны вводиться как табличные формулы.

Упражнение 6.2.3. Вычислить определитель и обратную матрицу для матрицы:

А =

Решение. Разместить исходную матрицу в блоке А1 :СЗ.

1. 
   В ячейке Е2 поместить формулу для вычисления определи­теля = МОПРЕД (А1:СЗ).
   
2. 
   В блок А5:С7 ввести формулу для вычисления обратной матрицы:
   

• 
  выделить блок А5:С7 (он имеет три строки и три столбца, как и исходная матрица).
  
• 
  Ввести формулу {=МОБР (А1:СЗ)}.
  

Примечания:

1. 
   При использовании Мастера функций нужно завершать ввод нажатием комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter (вместо щелчка по кнопке "ОК").
   
2. 
   Для удобства работы рекомендуется задавать имена исходной матрице и обратной матрице.
   

3. 
   Проверить правильность вычисления обратной матрицы ум­ножением ее на исходную:
   

• 
  задать имена исходной матрице - А и обратной матрице - АО;
  
• 
  в блок D5:F7 ввести формулу {=МУМНОЖ (А,АО)}.
  
• 
  как и следовало ожидать, получилась матрица, близкая к единичной.
  

Рис. 16. Иллюстрация к упражнению 6.2.3.

У
Решение:
пражнение 6.2.4. Вычислить абсолютные отклонения величин в матрицах.

В блок А9:С11 ввести табличную формулу {= abs (A-AО)}.


Пример вычисления определителя матрицы

А, введен­ной в формулу как массив констант: =МОПРЕД({-73; 78; 24:

92; 66; 25: -80; 37; 10}).

Задача 6.2.2. При каком значении элемента а₃₃ определитель матрицы А обратится в нуль.

Задача 6.2.3. Дана матрица S = . Вычислить матрицу 2SS^Т - Е, где Т — операция транспо­нирования,

Е — единичная матрица.

Задача 6.2.4. Вычислить обратную матрицу для

и применить форматирование, чтобы элементы матрицы пред­ставляли собой правильные дроби. Выбрать формат на основе величины определителя матрицы.




 Набор матричных операций в Excel беден.

Если нужно серьезно работать с матрицами, лучше прибегнуть к помощи таких математических пакетов, как MatLAB (Matrix LABoratory), Mathematica, Derive.