пиза. PISA_Математика_RU. Уроках математики Назарбаев Интеллектуальные школы
 Скачать 3.05 Mb.
|
|
Глава Повышение уровня функциональной грамотности казахстанских учащихся может быть обеспечено посредством успешной реализации обновленного содержания образования, теза счет достижения планируемых предметных, межпредметных и личностных результатов, посредством реализации в учебном процессе комплексного системно-деятельностного подхода. Каждый учитель должен проанализировать систему заданий, которую он планирует использовать в учебном процессе. Он должен помнить, что результат его работы во многом зависит от качества материалов, которые используются на уроке, и с которыми дети работают дома при подготовке к уроку. Функциональная грамотность предполагает способность применять знания в реальной ситуации, а не в привычной учебной. Поэтому наличие контекста в задании является важным условием при подборе заданий на развитие и оценку функциональной грамотности. В свою очередь, информация в контексте может быть представлена в форме рисунков, цифр, математических символов, формул, диаграмм, карт, таблиц. Типичные задания на развитие функциональной грамотности требуют от учащихся интерпретации набора связанных графиков, интерпретации текста, связывание текста с информацией на графике или в таблице и извлечение необходимой информации, а также и выполнения некоторых подсчетов. Пример 1. В таблице показано соответствие средних мощностей ламп накаливания, галогенных, энергосберегающих и светодиодных ламп. Лампа накаливания Вт Вт Вт Вт Вт Лампа галогенная Вт Вт Вт Вт Вт Лампа энергосберегающая Вт Вт Вт Вт Вт Лампа светодиодная Вт Вт Вт Вт Вт Световой поток, Лм 220 400 650 900 Лена планирует заменить лампу накаливания мощностью 60 ватт на энергосберегающую стем же световым потоком. Насколько ватт меньше мощность энергосберегающей лампы, чему аналогичной лампы накаливания Ответ 60 – 12=48 Вт Пример 2. На диаграмме показано содержание питательных веществ в молочном шоколаде. Определите по диаграмме, сколько примерно жиров содержится в 100 г молочного шоколада. [7] Ответ приблизительно 20-25 г. Пример 3. Арман кушает изюм из пакета. График показывает изменение массы изюма в пакете стечением времени. а) Что делает Арман в моменты времени, когда на графике изображены вертикальные отрезки? белки жиры углеводы прочее Молочный шоколад Масса в граммах Время в минутах 16 Математика б) Почему вертикальные отрезки разные? в) Съел ли Арман весь изюм, который был в пакете г) Обоснуй свой ответ. Ответы: а) Берет изюм из пакета. б) Арман берет из пакета разное количество изюма в) Нет. Пример 4. На рисунке в форме X изображены две фигуры, состоящие соответственно из 5 и 9 точек. а) Нарисуйте две следующие фигуры. б) Заполните таблицу фигуры 2 3 4 5 Количество точек в) Найдите количество точек в фигуре номер г) Для ой фигуры выразите количество точек через Ответы б фигуры 2 3 4 5 Количество точек 9 13 17 21 в) г) x n n 4 Пример 5. Исследуйте данные треугольники, сформированные из спичек. а) Нарисуйте две следующие фигуры. б) Заполните таблицу фигуры 2 3 4 5 Количество спичек 3 в) Найдите количество спичек в фигуре номер 20. 17 Математика г) Для ой фигуры выразите количество спичек через n [5, с. Ответы фигуры 2 3 4 5 Количество спичек 5 7 9 11 б) в) x n n 2 Развитию функциональной грамотности способствует применение приемов технологии критического мышления. Технология развития критического мышления предполагает построение урока по схеме вызов – осмысление – рефлексия и предлагает набор приемов и стратегий. Выделим значимые для уроков математики приемы: «Кластер» — суть метода заключается в том, что информация, касающаяся какого-либо понятия, явления, события, описанного в тексте, систематизируется в виде кластеров. В центре находится ключевое понятие. Данный прием можно использовать при рассмотрении таких тем, как Многочлены, Последовательности, «Многоугольники». «Верные и неверные утверждения — учащиеся, выбирая "верные утверждения" из предложенных учителем, описывают заданную тему. Затем учащиеся обосновывают свой ответ. После знакомства с основной информацией (текст параграфа, раздаточный материал) учащиеся возвращаются к данным утверждениями оценивают их достоверность, используя полученную на уроке информацию. Прием может быть использован при изучении тем Неравенства, Исследование четырехугольников и др. «Всегда – иногда – никогда — учащиеся на основе анализа утверждений распределяют их либо в поле всегда, либо в поле иногда, либо в поле никогда. Прием может быть использован для систематизации знаний при завершении изучения раздела или для повторения ранее пройденного материала. Ниже приведены примеры использования этого приема по темам Площади фигур, Действительные числа». Пример 6. Распредели следующие утверждения потрем категориям всегда, иногда, никогда. Впиши буквы ад) в соответствующие ячейки таблицы: Всегда Иногда Никогда а) Если высота, проведенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит основание на отрезки m и n, то длина средней линии равна m или n б) Сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до его боковых сторон больше высоты треугольника, проведенной к боковой стороне. в) Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей. г) Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма, делит параллелограмм на равновеликие части. д) На сторонах треугольника в его внешнюю сторону построены равносторонние треугольники, площади которых равны S 1 , S 2 , S 3 причем S 1 ≤ S 2 ≤ S 3 . Тогда, S 1 + S 2 = S 3 Ответ: Всегда Иногда Никогда а, г) в), д) б) 18 Математика Пример 7. Для каждого из приведенных утверждений определи, верно ли оно всегда, иногда или никогда. Обоснуй свой ответ. Приведи примеры. а) Сумма двух рациональных чисел есть число рациональное. б) Сумма рационального числа и иррационального числа есть число иррациональное. в) Сумма двух иррациональных чисел есть число рациональное. г) Произведение рационального числа и иррационального числа есть число иррациональное. д) Произведение двух иррациональных чисел есть число иррациональное [6]. Ответ: Всегда Иногда Никогда а, б, г) в), д) – Повышению математической грамотности учащихся также способствует систематическое использование «компетентностно-ориентированных» заданий. Важными отличительными особенностями компетентностных задач от стандартных математических задач являются) значимость (познавательная, профессиональная, общекультурная, социальная) получаемого результата, что обеспечивает познавательную мотивацию учащегося) условие задачи сформулировано как сюжет, ситуация или проблема, для разрешения которой необходимо использовать знания (из разных разделов основного предмета — математики, из другого предмета или из жизни) на которые нет явного указания в тексте задачи) информация и данные в задаче могут быть представлены в различной форме (рисунок, таблица, схема, диаграмма, графики т. д, что потребует распознавания объектов) указание (явное или неявное) области применения результата, полученного при решении задачи. Компетентностно-ориентированные задания могут использоваться на уроках различных типов изучения нового материала, закрепления знаний, комплексного применения знаний, обобщения и систематизации знаний, урок контроля, оценки и коррекции. Пример 8. Имеется подарочная коробка размером 30 см × 15 см × 10 см. Сколько килограммов почти одинаковых по размеру и весу мандарин поместится в коробку, если диаметр одного мандарина см, а вес 85 г. Ответ: 36×85 г ≈ 3 кг. Пример 9. Имеется несколько одинаковых кирпичей. Необходимо найти способ измерения диагонали кирпича с помощью линейки. Пример 10. После 7 стирок кусок хозяйственного мыла уменьшился вдвое по длине, ширине и высоте. Насколько стирок его еще хватит? Ответ: на одну стирку 19 Математика Пример 11. Торговцу мороженого предлагают два вида коробок для мороженого (см. рис. ниже. Коробки одинаковые по вместимости, но нужно выбрать ту, в которой мороженое будет таять медленнее. Правильный ли делает выбор торговец, если хочет выбрать вариант А А см см см см см см Решение. Мороженое будет таять медленнее в коробке, у которой общая поверхность меньше. Посчитаем общую поверхность для каждой коробки 30 50 20 50 30 20 см 30 40 30 25 40 25 5900 см 2 Ответ: выбор торговца неправильный, торговцу необходимо выбрать коробку B. Во всех случаях, когда нужно довести до конца решение какой-либо практической задачи, необходимо получить числовой результат. Надо уметь оценивать точность исходных данных, а также определять, какая точность результата может быть достигнута и какая точность результата нужна при практическом использовании полученных числовых результатов. Элементы теории приближенных вычислений распределены по всему курсу математики с го пой класс. При решении практических задач важно научить учащихся выполнять прикидку результатов вычислений. Например, число присутствующих на митинге, длина шага на глаз, в вычислениях с десятичными дробями. Пример 12. Ниже представлена фотография (вид сверху) людей, собравшихся на демонстрацию. Укажи, сколько примерно людей участвовало в демонстрации. а) 1000; б) 10 000; в) 100 000; г) 1000 000; д) 10 000 Решение. S ≈ 16 ·10 = 160 см 10 человек ≈ 0,5 см · 0,5 см = 0,25 см 160 ÷ 0,25 = 640 640 ·10 = 6400 ≈ Ответ б) 10 При изучении темы Степень с целым показателем в 7 классе можно рассмотреть следующий пример 20 Математика Пример 13. В течение 30 лет, плотность карты памяти увеличивалась в 2 раза каждые 18 месяцев. В настоящее время она составляет 10 9 битов на 1 мм. Определите приблизительное значение плотности карты памяти 30 лет назад. а) 10 3 бит/мм 2 б) 3·10 4 бит/мм 2 в) 10 6 бит/мм 2 ; г) 3·10 7 бит/мм 2 ; д) 10 9 бит/мм 2 . Решение. 1) 30 лет ÷ 18 месяцев = 20 2) 2 20 ≈ 10 6 3) 10 9 ÷ 10 6 = 10 Ответа бит/мм 2 Пример 14. Округлите сумму 14 15 8 9 1 7 + + до целого числа. а) 23; б) 31; в) 1; г) 2; д) Ответ г) При прохождении тем, связанных с нахождением площадей и периметров фигур, наряду с рассмотрением стандартных геометрических фигур (треугольника, параллелограмма, ромба, трапеции) рекомендуется рассматривать площади и периметры нестандартных фигур приближенные значения). Пример 15. Оценка площади поверхности листьев деревьев Дуб Береза Клена) Выше представлены рисунки листьев трех деревьев. Какой лист имеет наибольшую площадь поверхности Как бы вы измерили площади, чтобы проверить, какая из них наибольшая Объясните, какие проблемы существуют в вашей процедуре измерения? б) Фактические листья на дереве различаются по размеру друг от друга. Предположим, у вас есть образец, скажем, 100 листьев с каждого дерева. Как бы вы оценили среднюю площадь поверхности листьев каждого типа Может быть утомительно применять метод, который вы предложили в части атак много разв части б. Пример 16. Требуется подобрать подходящую геометрическую фигуру, которую можно использовать в качестве модели площади нестандартной фигуры (например, заменить соответствующие части континента прямоугольниками, кругами, треугольниками 21 Математика Пример 17. Атомы состоят из протонов, нейтронов и электронов. Масса электрона составляет 5 4466 10 4 , часть массы протона и равна 9 10956 10 31 , кг. Найди массу протона и запиши свой ответ в стандартном виде, округлив его значащую часть до сотых. Решение. Масса протона равна 9 10956 10 5 4466 10 1 67 10 31 Пример 18. На рисунке через x обозначена приблизительная длина озера. Необходимо определить приблизительное значение площади озера с точностью до 1 км 15,3 км км км км Решение. Найдем величину x: 15 3 7 4 7 4 4 5 , , , , x x r 13 8 6 9 , ; , S 6 9 150 2 , км 2 Пример 19. Объясни, как можно найти приблизительный объем купюры номиналом в 2000 тенге. Решение. Оценим толщину купюры. Для этого можно взять достаточно большое количество купюр, плотно сложить их и измерить толщину пачки, затем результат измерения разделить на число купюр. 1) Толщина купюры приблизительно 0,1 мм Математика) Длина купюры приблизительно 139 мм) Ширина купюры приблизительно 73 мм. Ответ: 0,1 · 139 · 73 = 1014,7 мм ≈ 1 см 3 Пример 20. Параллелограмм разделен на 2 части — Р и Р, как показано на рисунке. Выберите верное утверждение. P1 P2 а) Р и Р имеют одинаковую площадь; б) Р и Р имеют одинаковый периметр; в) Площадь Р меньше, чему Р1; г) Периметр Р больше, чему Р1; д) Ничего из перечисленного. Ответ: б). Пример 21. Квадраты, изображенные на рисунке, получились благодаря отрезку AP (24 см, а также ломаной линии ABC…OP, пересекающей отрезок. Найдите длину ломаной линии ABC…OP. A B C D E F G H I L M N O P Ответ 3 · 24 = 72 см Пример 22. 12 квадратов площадью 1 см представлены в следующем порядке Примечание Квадраты должны полностью соприкасаться сторонами. Частично не допускается. а) Как разместить 12 квадратов таким образом, чтобы получить фигуру с меньшим периметром б) Как разместить 12 квадратов таким образом, чтобы получить фигуру с большим периметром в) Попробуйте использовать другое количество квадратов. Что вы заметили? Ответ: Периметр заданной фигуры равен 18 см 23 Математика а) Например, P = 14 см. б) Например, P = 26 см. При составлении математических моделей, в которых исследуются различные зависимости между величинами наряду с использованием основных элементарных функций (линейная, квадратичная и др) необходимо рассматривать нестандартные функции. Это необходимо для понимания того, что в практических задачах могут встретиться самые разные зависимости между величинами. Пример 23. Резервуар для воды имеет форму и размеры, как показано на рисунке. Вначале резервуар пуст. Затем он был заполнен водой со скоростью одного литра в секунду. Какой из следующих графиков показывает, как высота поверхности воды изменяется стечением времени мм Пример 24. Два показанных ниже уравнения представляют разные функции. Функция P: y x 3 2 ; Функция Q: y x 1 Определите, какой является каждая из функций, линейной или нелинейной. Объясните причину, по которой высчитаете, что каждая из функций является линейной или нелинейной. Ответ: функция Q — линейная, функция P — нелинейная 24 Математика Пример 25. Две свечи длиной 24 см зажжены одновременно. Одна свеча полностью сгорела за 6 часов, другая — за 8 часов. Составьте выражение для вычисления разности длин свечей, обозначая через t время горения (ч. Какой длины была вторая свеча, когда первая полностью сгорела? Ответ: a a t t t 2 1 24 3 24 4 , 6 см. Одним из эффективных способов развития навыка математической аргументации является использование заданий требующих словесных объяснений. Такие задания можно применять при изучении практически любого раздела учебной программы. Пример 26. График описывает зависимость количества определенных бактерий от времени. Опишите детально изменение количества бактерий в зависимости от времени. Количество бактерий Время в днях Пример 27. «Судоку». Объясни почему вместо * можно поставить 1. 5 8 * 6 2 9 7 7 1 2 4 9 3 2 5 8 6 1 9 6 4 5 3 6 9 5 4 4 1 8 4 9 1 Решение. Рассмотрим столбец содержащий *. Ясно, что цифра 1 должна быть в этом столбце по правилам игры. Цифра 1 не может стоять на 3 месте сверху, так как в этой строке уже есть 1. Точно также цифра 1 не может стоять на 5 месте. Но она не может стоять и на 7 и 9 месте, так как в квадрате 3×3, содержащем эти клетки уже есть 1. Значит, цифра 1 должна стоять на месте Для развития математической грамотности учащихся важно не только научить решать задачи, но и формировать умение анализировать представленные решения. В процессе анализа решения задачи учащиеся могут выявлять ошибки в рассуждениях или некорректность в условиях задачи 3 6 9 12 15 16 21 а, см, ч 8 25 Математика Пример 28. Имеются три раствора с различным процентным содержанием спирта. Если смешать их в пропорции 1:2:3, то получится 20%-ный раствор. Если смешать их в пропорции 5:4:3, то получится раствор с 50%-ным содержанием спирта. Сколько процентов спирта будет содержать раствор, если смешать равные количества исходных растворов? Решение. Пусть количество спирта в 1 л первого, второго и третьего растворов равно соответственно. Из условия задачи следуют два равенства + 2y + 3z = 6 1 5 ⋅ 5x +4y +3z = 12 Сложив эти равенства, получим 6x + 6y + 6z = 18 Переведя 2 5 в проценты, получим. Ответ: Проанализируйте приведенное решение задачи. Анализ решения задачи. По контексту задачи введенные неизвестные x, y, z должны удовлетворять условиям 0 1 0 1 0 1 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ x y z , , . Умножим обе части первого уравнения на 5 и из полученного равенства вычтем второе уравнение. В результате этого получим следующее равенство 6 12 0 y z . Отсюда, используя условие неотрицательности y и z, получаем y = z = 0. Подставив эти значения в любое из выписанных равенств, получим Решение x = 1,2; y = 0; z = 0. Но по условию задачи хне может быть больше 1, следовательно, условие задачи является некорректным в заданном контексте. Пример 29. Парашютист. Данная таблица включает в себя информацию о свободном падении парашютиста Время (сек 5 10 15 Высотам 1000 А В Время (сек) Время (сек) Время (сек) время (м ) время (м ) время (м ) С а) Как высоко находился самолет в момент прыжка б) Насколько метров ниже оказался парашютист после первых 5 секунд с момента прыжка в) Сколько метров он пролетел за последние 5 секунд г) Один из приведенных выше графиков описывает прыжок. Какой д) Почему вы не выбрали другие два графика 26 Математика Ответы: а) 3000 м. б) 125 м. в) 875 мг) д) Поданным таблицы ясно, что функция в первое время снижается постепенно и далее резко снижается. График в пункте С линейный, а график в пункте А близок к линейному и поэтому они не должны быть выбраны. Пример 30. Ержан хочет найти вероятность того, что квадрат случайного выбранного натурального числа оканчивается цифрой 1. Решения трех его друзей Арсена, Болата и Самата представлены ниже: Aрсен Болат Самат Всего 10 цифр. Каждая цифра имеет одинаковую вероятность быть последней. Поэтому ответ 1 Последняя цифра квадрата числа зависит только от последнего числа. Последние цифры квадратов первых 10 натуральных чисел 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0. Так как цифра 1 встречается два раза, то вероятность будет равна 2 10 Вероятность не может быть вычислена, так как натуральных чисел бесконечно много. У кого из друзей правильное решение Опишите ошибки, допущенные двумя другими друзьями Ержана. Ответ правильный ответу Болата. Использование групповой формы организации познавательной деятельности учащихся на уроках также является одним из элементов, способствующих формированию функциональной грамотности. Учащимся можно разделиться на несколько групп, каждая группа должна решить задачу предложенным способом и доказать правильность своего решения оставшимся группам. Задача, которую можно решить, разделившись на группы, приведена ниже. Пример 31. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС построен квадрат ABDE в той полуплоскости от прямой АВ, которой не принадлежит треугольник АВС. Найти расстояние от вершины С прямого угла до центра квадрата, если катеты ВС и АС имеют соответственно длины a и b. Решить задачу возможно несколькими способами: а) используя теорему синусов; б) используя теорему косинусов; в) при помощи метода площадей; г) при помощи метода координат 27 Математика При реализации многих целей обучения, содержащихся в учебных программах предметов Математика, Алгебра и Геометрия основной школы, можно использовать задания, направленные на развитие функциональной грамотности учащихся. К таким заданиям относятся задачи исследовательского характера, задачи с практическим контекстом, задачи на приведение математической аргументации, на составление алгоритма решения, на извлечение и анализ информации по графику, таблице или диаграмме, задачи игрового характера и др. Разнообразные задания вышеуказанных типов включены в разработанные среднесрочные планы, которые размещены на онлайн платформе «Системно-методический комплекс smk.edu.kz. В данной главе приводятся примеры заданий, которые рекомендуется использовать в процессе реализации ряда целей обучения учебных программ в 5 – 9 классах, а также при повторении пройденного материала. Цель обучения усвоить понятия четных и нечетных чисел» Задания 1. Укажи верные утверждения: четное ± четное = нечетное нечетное ± нечетное = четное четное ± нечетное = нечетное четное × четное = четное четное × нечетное = нечетное нечетное × нечетное = четное Ответ: нечетное ± нечетное = четное, четное ± нечетное = нечетное, четное × четное = четное. Для числа 10508456 составьте высказывания, в которых используются термины четное, нечетное число. К примеру: а) В разряде единиц класса единиц записана четная цифра б) Число 10 508456 является четным. в) В данном числе три нечетные цифры и т.п. |