пиза. PISA_Математика_RU. Уроках математики Назарбаев Интеллектуальные школы
 Скачать 3.05 Mb.
|
|
Глава ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ, РЕКОМЕНДУЕМЫХ К ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ЦЕЛЕЙ ОБУЧЕНИЯ ПРОГРАММЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ 28 Математика Цель обучения «5.1.2.21 выполнять умножение обыкновенных дробей, смешанных чисел». Задание. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 3 5 дм и 3 дм (см. рисунок 5 дм дм дм 5 дм Прямоугольник нужной площади изображен на рисунке как часть квадрата со стороной 1 дм. Попросите учащихся найти площадь закрашенного прямоугольника как часть площади квадрата. Таким образом, площадь закрашенной части составляет 9 20 площади квадрата, те дм 2 С другой стороны, площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину, те дм. Предложите учащимся составить равенство 3 5 3 4 9 20 . Попросите учащихся в парах обсудить и сформулировать правило умножения обыкновенных дробей. Цель обучения находить часть числа и число по его части». Задания 1. Папа решил сделать ремонт ванной комнаты и коридора, выложив пол плиткой. Задень он выложил плитку только в ванной комнате, что составило 7 15 от всей запланированной площади. Найдите площадь коридора, если вся запланированная для ремонта площадь равна 1200 дм 2 Решение: 1) 1 7 15 8 15 ; 2) 8 15 1200 ⋅ дм = 640 дм 2 или 1) 7 15 дм = 560 дм 2) 1200 дм – 560 дм = 640 дм 2 Таким образом, площадь коридора составляет 560 дм. Бабушка подарила всем своим внукам по несколько яблоки груш, причем каждому досталось равное количество фруктов. Внуку Марату досталась пятая часть всех розданных яблоки седьмая часть всех груш. Сколько внуков у бабушки? Решение: Пусть бабушка всего раздала внукам a яблоки груш. Из неравенств 7 7 5 b a b a + > + и Математика 7 5 b a b a + < + следует, что Марату досталось больше седьмой части, но меньше пятой части всех фруктов. Следовательно, внуков у бабушки меньше семи и больше пяти. Ответ 6 внуков. 3. Покажите, что площадь квадрата равна 13 клеткам Решение Площадь большого квадрата равна S 1 5 5 25 клеткам. В незакрашенных областях видим прямоугольные треугольники с катетами, состоящими из сторон 2 и 3 клеток. Площадь одного треугольника треугольник 3 2 3 клетки. Так как таких треугольников 4, получим площадь незакрашенной области квадрата: S треугольник · 4 = 3 · 4 = 12 клеток. Тогда площадь закрашенной области S – треугольник = 25 – 12 = 13 клеток. Цели обучения «5.5.1.6 решать текстовые задачи на проценты, «6.5.1.2 решать задачи на проценты с помощью пропорции». Задания 1. Жандос хочет купить телевизор стоимостью 200 тыс.тг. Чтобы заплатить за телевизор, он воспользуется планом оплаты, согласно которому он должен внести начальный платеж в размере 50 тыс.тг и затем платить по 29 тыс. тг каждый месяц в течение 6 месяцев. Насколько процентов стоимость телевизора при таком плане оплаты будет выше первоначальной стоимости? Решение: Согласно плану Жандос оплачивает покупку телевизора следующим образом 50 тыс + 29 тыс · 6 месяцев = 224 тыс. тг. Так как стоимость телевизора 200 тыс, Жандос переплачивает 224 – 200 = 24 тыс.тг. Посчитаем насколько процентов стоимость телевизора будет выше первоначальной стоимости 24 100 200 12 % % тыс. тыс. Ответ: 12%. 2. В духовом оркестре 20 музыкантов. Из них 30% трубачи и 10% играют на саксофоне. Найдите количество трубачей и саксофонистов. Сравните их количество (враз больше/меньше) и количество процентов, которое они составляют от общего числа музыкантов (враз больше/ меньше). Сделайте выводы о прямой пропорциональности количества музыкантов и числа процентов, которое они составляют. Решение: Всего в духовом оркестре 20 музыкантов — это 100%. Из них 30% составляют трубачи, их количество обозначим х. Найдем х 20 — х — 30% 20 100 30 x = 30 Математика Получаем: 20 30 100 x . Отсюда находим x = 20 30 100 Аналогично найдем количество саксофонистов, которое составляет 10% от общего количества музыкантов — х — 10% 20 100 10 y = . Отсюда находим y = 20 10 100 2 � = . Количество саксофонистов в три раза меньше количества трубачей или количество процентов трубачей в три раза больше количества процентов саксофонистов. Первая бригада за 2 часа выполнила 35% плана, что составило 140 деталей. Сколько деталей изготовила вторая бригада за эти же два часа, если она выполнила 20% плана. Решение Вычислим общее количество деталей, которое бригада должна изготовить по плану. Общее количество обозначим через х. Тогда поданным первой бригады составим следующую конструкцию — 140 100% — х 100 Отсюда находим x = 100 140 35 Итак, общее количество деталей, которое должна была изготовить бригада за рабочую смену, составляет 400 штук. Теперь посчитаем, сколько деталей изготовила вторая бригада за эти же два часа. Нам известно, что вторая бригада за 2 часа может изготовить 20% деталей из 400 штук. 400 — х — 20% 400 100 Отсюда находим x = 400 20 100 80 . Итак, вторая бригада за 2 часа изготовила 80 деталей. Мама купила фрукты в магазине, причем 20% покупки составили яблоки, 15% — груши, 30% — сливы. Какую сумму заплатила мама за яблоки и груши, если сливы стоили 750 тенге. Решение: яблоки + груши = 20%+15% = 35%, пусть x — сумма, которую мама заплатила за яблоки и груши. 35% — x тг 30% — 750 тг 35 30 750 = Отсюда x = 875 тг. 31 Математика Цели обучения «5.5.2.9 строить плоские фигуры и развертки пространственных геометрических фигур (куба и прямоугольного параллелепипеда, «6.3.2.4 распознавать фигуру по ее изображению и изображать плоские и пространственные фигуры». Задания 1. Предложите учащимся провести эксперимент сконструировать коробку для подарка. Попросите учащихся проанализировать Из каких частей была собрана коробка Можно ли соединить отдельные грани коробки в плоскую фигуру Подведите к пониманию понятия развертки. Предложите найти площадь поверхности, созданной ими коробки, и объем коробки. Для наглядности используйте возможности программы «GeoGebra», позволяющей продемонстрировать в 3D формате развертку куба или параллелепипеда. 2. Выберите кубик, соответствующий данной развертке. Из фигур на рисунке выберите те, которые являются развертками куба. Вырежьте их и покажите, как из них склеить куб) Из какой развертки можно собрать данную фигуру а б) в) г) Ответ: б Математика) На рисунке показана развертка прямоугольной коробки. Чему равен объем этой коробки 10 см см см Решение: Чтобы найти объем коробки, нужно умножить длину, ширину и высоту коробки. Обозначим длину, ширину и высоту коробки соответственно x, y, z. Укажем эти величины на рисунке см см см x x z z x x y y Отсюда получим систему линейных уравнений y y z x z x y z 10 2 2 26 7 2 8 5 Теперь найдем объем коробки V 2 5 8 80 3. Объедините учащихся в пары. Учащиеся в парах получают задания, противоположного содержания. Например Учащийся 1: Начертить проекции ломаной линии, проходящей по поверхности стеклянного куба, изображенного на рисунке. Учащийся 2: Потрем проекциям ломаной линии изобрази ее на поверхности стеклянного куба Каждый учащийся выполняет свое задание, а затем сверяет свои результаты с работой напарника (условие одного должно совпадать с решением другого). вид спереди вид сверху вид слева Математика. Определите на каких рисунках, обозначенных буквами от А до Е, изображен блок, взятый за образец в уголке и повернутый в пространстве. Ответ: А. Цель обучения «6.1.2.6 делить величины в заданном отношении». Задания 1. В ателье поступил заказ на пошив 120 школьных форм. Заказ надо распределить поровну между членами двух бригад, водной из которых 8 человека в другой — 7. Сколько школьных форм должна сшить каждая бригада Решение Всего в двух бригадах 15 человек. Так как впервой бригаде 8 человека в другой — 7, то для пошива на первую бригаду приходится 8 15 частей форм, на вторую бригаду приходится 7 частей форм. Теперь умножив 120 форм на 8 15 и 7 15 , находим, сколько школьных форм должна сшить каждая бригада первая бригада должна сшить 64, вторая бригада 56 форм. На приготовление печенья взяли 450 г сухих продуктов (мука, дрожжи, сахар) в отношении 37:1:7. Сколько грамм каждого продукта взяли? Решение: Всего частей 37 + 1 + 7 = 45 1 часть 450 : 45 = 10 г Ответ: муки взяли 37 · 10 г = 370 г, дрожжей 1 · 10 г = 10 г, сахара 7 · 10 г = 70 г. Брусок изготовлен из сплава трех металлов свинца, олова и железа. Масса бруска 700 грамм. Найдите массу каждого металла в бруске, имея следующие данные а) отношение масс металлов б) отношение масс свинца и олова 3:5, а железа в бруске в два раза больше, чем свинца и олова вместе; в) олова вдвое больше, чем свинца, а олова вместе с железом вдвое больше, чем свинца с оловом. Ответ: свинец — 140 грамм, олово — 210 грамм, железо — 350 грамм; свинец — 87,5 грамм, олово — 145 5 6 грамм, железо — 466 2 3 грамм; олово — 200 грамм, свинец — 100 грамм, железо — 400 грамм 34 Математика Цели обучения «6.1.1.5 усвоить понятие масштаба, «6.5.1.3 применять масштаб при работе с картой, планом, чертежом». Задания 1. Предложите учащимся географические карты, атласы, интернет ресурсы с разным масштабом или презентацию для рассмотрения масштаба, устанавливая отношение или пропорциональность. Например, найти расстояние между городами Нур-Султан и Кокшетау, измерив длину отрезка на картах с разным масштабом. Предложите учащимся составить алгоритмы решения задача) найти масштаб, если известно расстояние на карте и на местности б) найти расстояние на карте, если известно расстояние на местности и масштаб. Объедините учащихся в группы. Раздайте каждой группе карту (атлас) и предложите решить задачи типа Нур-Султан Караганда а) Пользуясь картой масштабом 1:25 000 000, найдите расстояние (по прямой) между г. Нур-Султан и г. Шымкентом на местности б) Определить размеры оригинала по чертежу детали, где указано соотношение между оригиналом и чертежом, например, Цели обучения «6.3.3.2 знать, что отношение длины окружности к ее диаметру есть число постоянное, «6.3.3.4 знать и применять формулу площади круга». Задания 1. Проведите практическую работу. Начертить на картоне сначала окружность, радиус которой 15 мм, затем окружность, радиус которой вдвое больше — 30 мм. Вырезать начерченные фигуры. Плотно охватить полученные круги бумажной полоской каждый. Сняв и развернув бумажные полоски, измерить их длины при помощи линейки, с точностью до 1 мм измерения нужно провести несколько рази записать в таблицу среднее арифметическое результатов вычисления Диаметр (D) в мм Длина окружности Св мм Отношение Среднее значение C D 30 60 35 Математика После проведения всех измерений вычисляется отношение C D . Сделать вывод, что отношение всегда является одними тем же числом и равно π, приближенно оно равно 3,14 или в обыкновенных дробях C D . Зная отношение C D вывести формулу длины окружности. Проведите такую практическую работу начертить окружность с радиусом в см вырезать начерченный круг, перегнуть его по диаметру и разрезать, затем каждый полученный полукруг снова согнуть вдвое полученную фигуру снова согнуть вдвое и еще раз вдвое. Каждый полукруг разделится на 8 частей, всего будет 16 частей. Если разрезать полученные фигуры по сгибам на эти 16 частей и расположить эти фигуры на столе, то круг превратится в фигуру, похожую на прямоугольник 8 2 15 16 14 13 12 10 11 7 9 3 6 4 1 8 2 15 16 14 13 12 10 11 7 9 3 6 4 5 5 1 8 2 15 16 14 13 12 10 11 7 9 3 6 4 Попросите учащихся найти площадь полученного прямоугольника. Учащиеся могут увидеть такую закономерности, что площадь круга равна половине длины окружности, умноженной на радиус или наполовину диаметра. Затем учащиеся сами или под руководством учителя выводят формулу площади круга S = πR 2 3. Дан квадрат MNOP со стороной 20. Дуги внутри квадрата MNOP являются 1 4 частями окружностей с центрами в точках M и O. Найдите площадь области, обозначенной II. Выразите ответ через Решение. Найдем площадь квадрата кв 20 400 . Найдем площадь круга с центром О, радиус которого равен 20: S откр (О) 20 400 2 . Площадь круга с центром М будет такой же: S откр (МВ данный квадрат входят только 1 4 часть круга с центром О и 1 4 часть круга с центром М. Значит 1 4 S откр (О + 1 4 S откр (М = S кв Подставим значения площадей в данное выражение 1 4 400 1 4 400 400 Найдем площадь области, обозначенной II: S II 1 4 400 1 4 400 400 200 400 200 2 36 Математика Цели обучения «6.2.1.4 понимать, при каких значениях переменной алгебраическое выражение имеет смысл в контексте практических задач, «6.3.3.4 знать и применять формулу площади круга». Задания Предложить учащимся для коллективного обсуждения задачи, например. Из одного пункта одновременно водном и том же направлении отправляется пешеход со скоростью x км/ч и велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через 3 часа расстояние между ними будет равно 45 км. Какова скорость пешехода, если такая ситуация возможна. Первая труба заполняет бассейн за 6 часов, а вторая — за 4 часа. Могут ли они заполнить бассейн за 2 часа, если они работают вместе без остановок За какое время заполнится бассейн? После выполнения задания учащиеся сделают вывод о возможных значениях переменной, при которых алгебраическое выражение имеет смысл в контексте практических задач. Цель обучения «6.2.2.6 понимать и применять сложение, вычитание, умножение и деление неравенств». Задания 1. Турист вышел с турбазы по направлению к станции, расположенной на расстоянии 30 км. Если турист увеличит скорость на 1 км/ч, то за 5 часов он пройдет расстояние, большее 30 км. Если он уменьшит скорость на 1 км/ч, то даже за 6 часовне успеет дойти до станции. Какова скорость туриста? Решение. Скорость туриста обозначим х км/ч. Тогда по условию задачи 1 5 30 км ч ч км и x 1 6 30 км ч ч км. Составим и решим систему неравенств 5 1 6 5 5 30 6 6 30 5 25 6 36 xx x Скорость туриста 5 6 < < x 2. Первую половину пути поезд прошел со скоростью 60 км/ч, а затем увеличил скорость. Какой могла быть скорость поезда во второй половине пути, если известно, что его средняя скорость на всем путине превышала 72 км/ч? Решение: Обозначим скорость поезда во второй половине пути за х км/ч, половину пути за S, время, потраченное на прохождение первой половины за t 1 , время, потраченное на прохождение первой половины за t 2 . Тогда по формуле средней скорости движения S S t t 1 Из условия 1 60 = = и V x S t 2 2 = = или t S 1 60 = , t S x 2 = . Подставив в неравенство, 2 60 72 S S S x . Отсюда получим оценку 60 x 90 Математика. В каком случае катер затратит больше времени если он пройдет 20 км по течению реки и 20 км против течения реки или если пройдет 40 км в стоячей воде (собственная скорость катера постоянна). Решение: Пусть х – собственная скорость катера, у – скорость течения 20 x y x y – время в первом случае, 40 x — во втором случае. Упростив первое выражение, получим 40 2 2 x x y − или 40 2 x y x − . Это выражение больше чем 40 x . Значит, в первом случае больше. Какой может быть длина проволоки для изготовления прямоугольника, если его длина не меньше 10 метров и не больше 15 метров, ширина не меньше 5 метров и не больше 7 метров? Решение: Обозначим длину прямоугольниках, ширину прямоугольника y. Тогда по условию задачи 10 15 5 7 x y . Чтобы изготовить прямоугольник из проволоки, ее длина должна быть не меньше периметра прямоугольника. Формула периметра P x Сложим наши неравенства и умножим на 2: 10 5 15 7 x y 2 10 5 2 2 15 7 x y 30 2 44 x Итак, длина проволоки должна быть не меньше 30 и не больше Цель обучения «6.3.1.3 понимать, что упорядоченная пара чисел (х у) задает точку в прямоугольной системе координат и каждой точке соответствует единственная упорядоченная пара чисел, называемая координатами точки». |