пиза. PISA_Математика_RU. Уроках математики Назарбаев Интеллектуальные школы
 Скачать 3.05 Mb.
|
|
9. Сколько нужно взять го иго растворов марганцовки, чтобы смешав их получить г го раствора марганцовки? Цель обучения «7.1.1.16 доказывать теорему о сумме внутренних углов треугольника и следствия из нее». Задания 1. Раздайте учащимся картонные модели треугольников, чтобы демонстрировать теорему о сумме внутренних углов треугольника. Способ 1: Отрезать углы треугольника и сложить их так, чтобы вершины были водной точке и стороны одного угла совместились со сторонами других углов. Способ 2: Сложить углы перегибанием. Задайте вопрос Какой вы можете сделать вывод 2 2 Ответ сумма углов треугольника равна 180 0 2. Попросите учащихся провести исследование суммы внутренних углов треугольника. 1. Построить треугольник. Измерить углы треугольника. Найти сумму внутренних углов треугольника Математика. Выполнить эти же измерения для любого другого треугольника. Заполнить таблицу ∠2 ∠3 ∠ 1 + ∠2 + ∠3 После обсуждения результатов предложите учащимся выдвинуть гипотезу о сумме внутренних углов в любом треугольнике. 3. Эмблемой школы Пифагора была звезда. Докажите, что для любой звезды сумма углов 5 4 3 2 1 ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ равна 180 0 1 3 2 Решение. Соединим две соседние вершины, например, C и D. Рассмотрим треугольники CKD и BKE. Углы при вершине K этих треугольников равны, поэтому Тогда сумма всех пяти острых углов звезды равна сумме углов треугольника ACD, те. 180 о Цели обучения «8.4.1.4 находить значения функции по заданным значениям аргумента и находить значение аргумента по заданным значениям функции, «8.4.2.3 использовать квадратичную функцию для решения прикладных задач, «8.4.3.1 составлять математическую модель по условию задачи». Задания 1. Проанализируйте данные чертежа и найдите координаты обозначенных точек || 0x t || 0x y C D x = 144 x y =√ Ответ АС Решение Найдем координаты точек. Координаты точки А Точка В находится на пересечении графика функции y x = и прямой x =144 . Тогда координаты точки В 12). Точка С находится на пересечении графика функции y x = и прямой x t = . Тогда координаты точки C t t ;� . В условии видим, что ордината точки С равна 14, то есть t =14 . Отсюда t =196 . Тогда координаты точки C(196; 14). Точка D находится на пересечении прямых x t = и прямой l. Тогда координаты точки D t;12 . Здесь t =196 , а прямая проходит через точку В и параллельна оси Ох. Так как ордината точки В равна 12, то уравнение прямой l: y=12. Таким образом, координата точки D(196; 12). Математика. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v 0 (мс) с высоты h 0 (м. Высотам) в зависимости от времени t (с) выражается формулой h = – 0,5gt 2 + v 0 t + h 0 . Постройте график зависимости h от t для случая, когда h 0 = 20, v 0 = 15, g ≈ 10 м/с 2 Используя график, ответьте на вопросы а) Сколько времени тело поднималось вверх б) Сколько времени оно опускалось в) На какую максимальную высоту поднимется тело г) Через сколько секунд оно упало на землю? д) В течении какого времени тело находилось на отметке выше 20 метров 3. Длина квадратного основания призмы, обозначенная через l, может меняться. При этом высота призмы постоянна и равна 12 см. Объем призмы при одном значении l представлен в таблице см l l Какой из графиков представляет зависимость между длиной l и объемом данной призмы 0 0 Решение. V l = 12 2 — это есть квадратичная функция. Ответ: с. 4. На рисунке дан прямоугольник с фиксированной шириной и длиной равной x. Подумай, как будет меняться площадь прямоугольника при увеличении Сдвиг правой стороны прямоугольника Найди эскиз графика, показывающего функциональную зависимость между длиной x и площадью прямоугольника а) б) в) г) Ответ: б 49 Математика Цель обучения «8.1.3.7 применять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30 0 , 45 0 , 60 0 для нахождения элементов прямоугольного треугольника. Задания 1. Маятник в виде груза, подвешенного на нитке, отклонили от положения равновесия на угол 60 Длина АС маятника 20 см. Насколько изменилась высота груза по сравнению с положением равновесия? Решение: AD cos 20 60 10 Высота груза изменилась на 20 –10 = 10 (см). Ответ: на 10 см. Из некоторой точки вершина горы видна под углом 30 При приближении к горе нам вершина стала видна под углом 45 0 Найдите приближенную высоту горы. В ответе укажите целое число метров. Решение: BD CD x = = , так как треугольник BCD – прямоугольный и равнобедренный. Тогда, AD x 1000 Из треугольника ACD: tg30 1000 Следовательно, x ≈1366 м. Цель обучения «8.1.3.8 находить стороны и углы прямоугольного треугольника по двум заданным элементам». Задания 1. Футбольный мяч помещен на расстоянии 10 метров отворот, высота которых равна 2,5 м. Футболист произвел удар поворотами мяч попал в перекладину. Под каким углом полетел мяч Рисунок а) Решение: tg 2 5 10 , , 26 6 0 , 2. Вы хотите построить горку для скейтборда длиной 4,5 метра и углом подъема о. Найдите высоту и длину основания такой горки. Рисунок б. Соль, которую добывают, хранится в конусообразной куче, как показано на рисунке. Радиус основания конуса имеет длину 5 метров. Угол наклона образующей конуса равен 30 0 . Найдите высоту h конуса. Затем найдите длину s образующей конуса. Рисунок в) а) б) 14 ft 26 o y ft x ft в) h S 32 o A B C D ? 45º 30º 1000 м см 50 Математика Цели обучения «8.1.3.11 выводить и применять формулы площади параллелограмма, ромба, «8.1.3.13 выводить и применять формулы площади трапеции. Задания. Раздайте картонную модель произвольного параллелограмма. Попросите разрезать и сложить из параллелограмма прямоугольник = a Задайте вопросы: а) Являются ли параллелограмм и прямоугольник равновеликими Почему? б) Изменилась ли длина основания Обозначьте ее в) Чем является ширина прямоугольника для параллелограмма (высотой параллелограмма Обозначьте ее г) Найдите площадь прямоугольника. д) Сделайте вывод о площади параллелограмма. Запишите полученную формулу. 2. Раздайте картонную модель произвольного ромба. Попросите, разрезать и сложить из ромба прямоугольник или прямоугольный треугольник.Сделайте вывод о площади ромба. Запишите полученную формулу. Можно провести проверочную работу «Верно/Неверно» и установить, верны ли данные утверждения, обосновывая свой ответ. Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD и BC, M — точка пересечения прямых AB и CD, а O — точка пересечения диагоналей AC и Верно ли, что равновелики: а) треугольники ABD и ACD; б) треугольники ABO ив) треугольники AOD и BOC; г) треугольники ABC и ABD; д) треугольники AMC и BMD? Раздайте картонную модель произвольной трапеции. Попросите разрезать трапецию и собрать прямоугольник. Сделайте вывод о площади трапеции. Запишите полученную формулу. Рисунок а). Для изготовления костюма военной маскировки пользуются выкройкой, указанной на рисунке внизу размеры даны в сантиметрах. Найдите площадь выкройки. Рисунок б). На клетчатой бумаге изображен голубь. Его границу составляют отрезки прямых и дуги окружностей. Площадь голубя равна 192 см. Каковы размеры бумаги Рисунок в) Решение 4 6 4 4 4 12 Математика 2 3 б) а) в) Цель обучения составлять математическую модель по условию задачи». Задания 1. Два цеха на заводе изготавливают одинаковые станки. По плану вместе они должны выпускать станков в год. Однако первый цех перевыполнил план на 12%, а второй — на 15%. Известно, что оба завода выпустили сверх плана 48 станков. Сколько станков изготовили в первом и втором цехах по отдельности 2. Бассейн может наполниться водой из двух кранов. Если первый кран открыть на 10 минута второй на 20 минут, то бассейн будет наполнен. Если первый кран открыть на 5 минута второй — на 15 минут, то заполнится 60% бассейна. За какое время из каждого крана вот- дельности может заполниться весь бассейн. 3. Два крана, включенные одновременно, могут заполнить бассейн за 2 часа. За сколько часов каждый кран в отдельности может заполнить бассейн, если после того, как первый кран проработал 2 часа, а второй — 1 час, бассейн был заполнен на 5/6 своего объема. 4. Из одного города одновременно вышли две группы туристов. Одна группа направилась на севера другая на восток. Спустя 4 часа расстояние между ними было равно 24 км, причем первая группа прошла на 4,2 км больше. С какой скоростью шла каждая группа. Расстояние между двумя пристанями 60 км. Теплоход проходит это расстояние по течению и против течения за 5,5 часов. Найдите скорость теплохода в стоячей воде и скорость течения, если одна из них больше другой на 20 км/ч. 6. По окружности длиной 60 м равномерно водном направлении движутся две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 секунд быстрее другой. При этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 минуту. Определите скорости движения точек. 7. Найдите трехзначное число, если известно, что сумма его цифр равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. Если из этого числа вычесть 495, то получится число, записанное теми же цифрами, нов обратном порядке 52 Математика Цель обучения «9.2.3.2 находить й член последовательности, например ; 6 5 1 ; 5 4 1 ; 4 3 1 ; 3 Задания. Одной из популярных головоломок XIX века была Ханойская башня. Даны три стержня, на один из которых нанизаны восемь колец, причем кольца отличаются размером и лежат меньшее на большем. Задача состоит в том, чтобы перенести пирамиду из восьми колец за наименьшее число ходов на другой стержень. За один раз разрешается переносить только одно кольцо, причем нельзя класть большее кольцо на меньшее. Если поменять количество колец на стержне, то изменится и количество минимальных ходов. Заполнив таблицу, определите закономерность, показывающую зависимость количестве ходов от количества колец. Количество колец 2 3 Количество ходов Ответ a n n 2 1 2. Исследуйте фигуры, составленные из спичек. а) Нарисуйте две следующие фигуры. б) Для ой фигуры выразите количество спичек через Ответ a n n 4 1. 3. Фермер на садовом участке высаживает яблони в форме квадрата, как показано на рисунке Для защиты яблонь от ветра он сажает по краям участка хвойные деревья. Ниже на рисунке изображены схемы посадки яблонь и хвойных деревьев для нескольких значений n, где n – количество рядов высаженных яблонь. Эту последовательность можно продолжить для любого числа n. n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 - хвойное дерево- яблоня а) Заполните таблицу n Количество яблонь Количество хвойных деревьев 1 8 2 4 3 4 5 53 Математика б) Для какого значения п число яблонь будет равно числу посаженных вокруг них хвойных деревьев? в) Предположим, что фермер решил постепенно увеличивать число рядов яблонь на своем участке. Что при этом будет увеличиваться быстрее количество высаживаемых яблонь или количество хвойных деревьев? Решение: а) n Количество яблонь Количество хвойных деревьев 1 8 2 4 16 3 9 24 4 16 32 5 25 б) n n 2 8 = , n = врастет быстрее чем 8n. Количество высаживаемых яблонь будет быстрее увеличиваться. Цели обучения «9.2.3.7 решать задачи, связанные с арифметической и/или геометрической прогрессиями, «9.2.3.9 применять формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии к решению задач». Задания 1. Для хранения бревна уложили так, что в каждом верхнем ряду их оказалось на одно бревно меньше, чем в нижнем ряду. Как учетчику быстро узнать, сколько бревен находится водной кладке? Решение: пусть в нижнем ряду кладки n бревен. Тогда общее число бревен вкладке будет равна S n n n n 1 2 3 1 2 2. Во времена правителя Индии раджи Схерама, один мудрец Сесса придумал игру в шахматы и решил показать ее радже. После нескольких сеансов игры, она так понравилась радже, что он позволил мудрецу просить все, что тот пожелает. И тот скромно попросил Подарите мне столько риса, чтобы на первой клетке шахматной доски было одно зернышко, на второй два, а на каждой следующей вдвое больше, чем на предыдущей. Сколько зерен риса должен раджа мудрецу 3. При свободном падении тело проходит в первую секунду 5 м, а в каждую следующую нам больше, чем в предыдущую. Найдите глубину шахты, если свободнопадающее тело достигло ее дна через 7 с после начала падения. Бактерия за 1 секунду делится натри. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд, через 60 секунд? Решение: n t = 3 , t — время. Через 5 секунд будет 3 5 бактерий, а через 60 секунд — 3 60 Математика. На опытном лесном участке ежегодный прирост древесины составляет 10%. Какое количество древесины будет на участке через 6 лет, если ее первоначальное количество былом Имеется радиоактивное вещество массой 256 г, вес которого за сутки уменьшается вдвое. Какова будет масса вещества на третьи сутки, на тридцатые сутки? Решение: m n 256 1 2 , где n — количество суток.Через 3 дня m 256 1 2 32 3 , а на тридцатые сутки m 256 1 2 30 7. Водной из секций Центрального Концертного зала Казахстан длина третьего рядам, длина последнего рядам, сиденья имеют ширину 0,45 м, количество мест в первом и втором ряду 6 и 7 соответственно, а начиная с третьего ряда, количество мест растет в арифметической прогрессии. Найдите сколько всего мест в данной секции, если ширина секции 7 метров (ширина ряда не болеем Ответ можно сверить по рисунку. Дан квадрат со стороной 4 см. Середины его сторон являются вершинами второго квадрата, середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т.д. Найдите сумму площадей всех квадратов. Решение. Заметим, что площадь каждого следующего квадрата в 2 раза меньше предыдущего 16 8 4 16 1 1 2 1 4 16 1 1 0 5 Цель обучения «9.3.2.5 применять геометрическую вероятность при решении задач». Задания 1. Метровую ленту разрезают на две части случайным образом. Найти вероятность того, что длина одной из получившихся частей ленты составит не менее 80 см. Решение: Длина одной из частей будет не менее 80 см, если разрез будет сделан не далее 20 см от одного из двух краев ленты. Поэтому Р = 40 100 0 4 = , . 2. Вкруг радиуса 5 см вписан прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 6 см. Вкруг наудачу ставится точка. Найдите вероятность того, что точка не попадет в данный треугольник Математика. В круге случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того что эта точка принадлежит вписанному вкруг квадрату. Две грузовые машины могут подойти на погрузку в промежуток времени от 15 до 16 часов. Погрузка первой машины длится 15 минут, второй — 20 минут. Какова вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой Цель обучения «9.1.4.19 применять векторы к решению задач». Задания 1. Груз весом 3 H находится на гладкой поверхности, наклонной к горизонту под углом 30 0 . С какой силой надо его удерживать, чтобы он находился в покое. Силы P = 2 H и F приложены к некоторой материальной точке O . Угол между векторами, изображающие эти силы, равен 60 0 . Найдите равнодействующую сил P и F 3. На рисунке показаны силы, действующие на самолет, и направление вектора скорости вне- который момент времени. Рисунок а — сила тяги, F с — сила лобового сопротивления, F т — сила тяжести, F п — подъемная сила. В каком направлении движется самолет, если: а) т = п, F = F с. б) т > п , F = св) т < пс Катер, переправляясь через реку, движется перпендикулярно течению реки со скоростью 4 мс в системе отсчета, связанной с водой. Насколько метров будет снесен катер течением, если ширина реки 800 м, а скорость течения 1 мс Рисунок б. Мальчик прошел от палатки, разбитой в лагерем на юг, 120 м на восток, еще 100 м на север и дошел до озера. Каково наименьшее расстояние от палатки до озера Рисунок в мм с мс мм мм м d C Ю З В а) б) в) 56 Математика |