пиза. PISA_Математика_RU. Уроках математики Назарбаев Интеллектуальные школы
 Скачать 3.05 Mb.
|
|
АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы Филиал Центр образовательных программ РАЗВИТИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ГРАМОТНОСТИ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ «Назарбаев Интеллектуальные школы» Нур-Султан 2020 УДК 373 ББК ММ Развитие функциональной грамотности учащихся на уроках математики. Нур-Султан: филиал Центр образовательных программ АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы, 2020. – 60 стр. В методических рекомендациях дана краткая характеристика математической грамотности и обоснована актуальность задачи повышения ее уровня у казахстанских учащихся. Описана модель заданий по оцениванию математической грамотности, используемая в международном исследовании PISA. Предлагаемые методические рекомендации могут быть использованы при планировании учебного процесса и дополнительного образования по предмету Математика, а также предметам естественнонаучного цикла для развития функциональной грамотности учащихся. Пособие может быть использовано в учебном процессе общеобразовательных школ, ТиПО и педагогических специальностей вузов 978-601-328-926-7 УДК 373 ББК Рекомендовано к изданию Научно-методическим советом филиала Центра образовательных программ АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы Филиал Центр образовательных программ АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы, 2020 СОДЕРЖАНИЕ Введение Глава 1. Структура оценки математической грамотности в исследовании PISA. Особенности PISA-2021 Глава 2. Общие методические рекомендации. Глава 3. Примеры заданий, рекомендуемых к использованию при реализации целей обучения программы основной школы ......................... Список использованной литературы .................................................................................. 58 4 Математика Проблема несоответствия образовательных результатов, формируемых школой, реальным жизненным требованиям, с которыми дети встречаются каждый день, является одной из самых актуальных и широко обсуждаемых проблем современного школьного образования. Действительно, одни и те же жизненные проблемы и задачи никогда не появляются водном и том же виде и всегда сопровождаются разным контекстом. Поэтому одной из основных задач школьного математического образования является формирование и развитие математических знаний и компетенций, необходимых для повседневной жизни и профессиональной деятельности. Современному обществу нужны образованные, предприимчивые, рационально думающие люди, легко адаптирующиеся в социуме, которые могут самостоятельно принимать ответственные решения в ситуации выбора, прогнозируя их возможные последствия, способные к сотрудничеству, отличающиеся мобильностью, конструктивностью, обладающие чувством ответственности за судьбу семьи, коллектива и страны. Обновляемая система образования в нашей стране нацелена на решение этой важной задачи. Это сопровождается модернизацией педагогической теории и практики учебно-воспита- тельного процесса. Сегодня происходит смена образовательной парадигмы предлагаются иные подходы к разработке содержания образовательных программ, к методам преподавания, иной педагогический менталитет. В Государственной программе развития образования и науки Республики Казахстан на 2020- 2025 годы однозначно определена необходимость улучшения результатов казахстанских общеобразовательных школ в международных сравнительных исследованиях PISA, Т и Современное образование должно быть ориентировано на развитие у детей навыков практического применения школьных знаний в разнообразных учебных и жизненных ситуациях, межличностном общении и социальных отношениях. Международные исследования математической грамотности школьников показали, что учащиеся нашей страны имеют достаточно высокий уровень теоретических математических знаний и умений, ноу них возникают трудности в применении этих знаний в ситуациях, близких к повседневной жизни, а также в работе с математической информацией, представленной враз- личной форме (тексты, диаграммы, графики, рисунки и др, характерной для средств массовой информации. Для международного исследования PISA-2021 определена особая точка зрения на связь между математическими рассуждениями и решением поставленной проблемы для решения проблемы математически грамотный учащийся сначала должен увидеть математическую природу проблемы, представленной в контексте реального мира, и сформулировать ее на языке математики, а это, в свою очередь, требует математических рассуждений и, возможно, является центральным компонентом того, что значит быть математически грамотным Целью данной методической разработки является предоставление учителям математики общей информации о международном исследовании PISA и рекомендаций для эффективной реализации обновленных учебных программ, ориентированных на развитие функциональной грамотности учащихся. ВВЕДЕНИЕ 5 Математика СТРУКТУРА ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ГРАМОТНОСТИ В ИССЛЕДОВАНИИ PISA. ОСОБЕННОСТИ Целью исследования PISA (Programme for International Student Assessment) является оценка подготовки летних учащихся потрем направлениям, одним из которых является математика. Оценка математической подготовки летних учащихся в исследовании PISA основана наследующем определении математической грамотности Математическая грамотность — это способность индивидуума проводить математические рассуждения и формулировать, применять, интерпретировать математику для решения проблем в разнообразных контекстах реального мира Концептуальные рамки оценки математической грамотности в исследовании Принятое определение математической грамотности повлекло за собой разработку особого инструментария исследования учащимся предлагаются нетипичные учебные задачи, характерные для традиционных систем обучения и мониторинговых исследований математической подготовки, а близкие к реальным проблемные ситуации, представленные в некотором контексте и разрешаемые доступными учащимся средствами математики. Основа организации исследования математической грамотности включает три структурных компонента контекст, в котором представлена проблема • содержание математического образования, которое используется в заданиях • мыслительная деятельность, необходимая для того, чтобы связать контекст, в котором представлена проблема, с математическим содержанием, необходимым для ее решения. Контекст задания — это особенности и элементы окружающей обстановки, представленные в задании в рамках предлагаемой ситуации. Эти ситуации связаны с разнообразными аспектами окружающей жизни и требуют для своего решения большей или меньшей математизации. Выделены и используются 4 категории контекстов, близкие учащимся • общественная жизнь личная жизнь образование/профессиональная деятельность научная деятельность [2, с. Математическое содержание заданий в исследовании распределено по четырем категориям пространство и форма изменение и зависимости количество неопределенность и данные [2, с. 23-28 б]. Название каждой из этих категорий отражает обобщающую идею, которая в общем виде характеризует специфику содержания заданий, относящихся к этой области. В совокупности эти обобщающие идеи охватывают круг математических тем, которые с одной стороны изучаются в школьном курсе математики, с другой стороны необходимы летним учащимся в качестве основы для жизни и для дальнейшего расширения их математического кругозора: Глава 1. Математика пространство и форма — задания, относящиеся к пространственными плоским геометрическим формами отношениям, тек геометрическому материалу. Центральными являются формулы измерения геометрических величин. Учащимся необходимо выполнять такие действия, как понимание перспективы рисунка, создание и чтение карт, трансформация форм, интерпретация трехмерных изображений, построение фигур. – изменение и зависимости — задания, связанные с математическим описанием зависимости между переменными в различных процессах, тес алгебраическим материалом. В этих условиях требуется распознать фундаментальные типы изменений и использовать адекватные математические модели для описания и предсказания изменения. Математически это означает моделирование изменения с помощью соответствующих функций, уравнений, неравенства также разработку, интерпретацию и перевод между символьной, табличной и графической формами представления зависимостей. – количество — задания, связанные с числами и отношениями между ними. На количествах базируются выражение в количественной форме свойств объектов, закономерностей, ситуаций и величин, понимание различных представлений этих количественных форм, интерпретация и аргументирование. Необходимость иметь дело с количественными представлениями в мире требует понимания измерений, счета, величин, единиц измерения, числовых трендов и закономерностей. Существенную часть математической грамотности в области Количество составляют аспекты количественных рассуждений, которые связаны со смыслом числа, различными представлениями чисел, изяществом вычислений, вычислениями в уме, оценкой разумности результатов. – неопределенность и данные — задания охватывают вероятностные и статистические явления и зависимости, которые являются предметом изучения разделов статистики и вероятности. В науке, технологии и повседневной жизни неопределенность является непреложным фактом. Она характерна для многих проблемных ситуаций научных прогнозов, результатов опросов, прогнозов погоды, экономических моделей. Анализ неопределенностивключает: распознавание неопределенности, место вариации в процессе, понимание смысла и количественного выражения этой вариации, определение ошибки измерения, определение шансов наступления того или иного события. Кроме того, при рассмотрении неопределенности требуется формирование, интерпретация и оценка выводов. Представление и интерпретация данных – ключевые понятия в этой области. В содержание проверки математической грамотности в 2021 г. включены следующие новые темы • явления роста, изменений линейного и нелинейного характера, например, потребуется проследить закономерности, проявляющиеся при возведении в степень некоторого числа геометрические преобразования, аппроксимации, разбиения и составления фигур, например, потребуется построить орнамент из заданных фигур по заданному правилу компьютерное конструирование и моделирование, например, потребуется изображать по указанным правилам маршруты на карте принятие решений с учетом предлагаемых условий или дополнительной информации, например, потребуется при покупке некоторого товара учитывать представленное в таблице сообщение, в котором содержится статистика мнений покупателей об этом товаре. Для описания мыслительной деятельности при разрешении предложенных проблем используются следующие глаголы формулировать, применять и интерпретировать, которые указывают на мыслительные операции, выполняемые учащимися • формулировать ситуацию на языке математики • применять математические понятия, факты, процедуры • интерпретировать, использовать и оценивать математические результаты [2, с. 20-21]. 7 Математика Очевидно, что каждый из этих мыслительных процессов опирается на математические рассуждения, поэтому разработчики концепции исследования PISA-2021 использовали те же мыслительные процессы, что и на предшествующих этапах исследования, но дополнив их рассуждениями. Это означает, что учащимся потребуется продемонстрировать, как они умеют размышлять над аргументами, обоснованиями и выводами, над различными способами представления ситуации на языке математики, над рациональностью применяемого математического аппарата, над возможностями оценки и интерпретации полученных результатов с учетом особенностей предлагаемой ситуации. При распределении заданий по содержательным областям математической грамотности пространство и форма, изменение и зависимости, количество, неопределенность и данные) также используется подход равного веса каждой области. Таблица Примерное распределение заданий по компетентностной области математической грамотности и исследовании PISA-2021 Компетентностная область от общего балла за выполнение всех заданий Математические рассуждения Примерно Решение математических задач Формулировать ситуацию на языке математики Примерно Применять математические понятия, факты, процедуры Примерно Интерпретировать, использовать и оценивать математические результаты Примерно 25 Итого 100 Каждая компетенция может быть детализирована через ряд общеучебных умений, которые рассматриваются в качестве стержневых для становления математической грамотности. Формулировать ситуации математически включает способность учащихся распознавать и выявлять возможностматематически включает способность учащихся распознавать и выявлять возможности использовать математику, затем трансформировать проблему, представленную в контексте реального мира, в математическую структуру. В процессе формулирования проблемы на математическом языке учащиеся определяют из какого раздела курса они могут извлечь необходимые математические знания, чтобы проанализировать, спланировать и найти решение проблемы. Переводя проблему из реального мира в область математики и придавая ей математическую структуру, они рассуждают и определяют смысл ограничений и допущений, присущих этой проблеме. Интерпретировать/оценивать включает способность учащихся размышлять над математическим решением, результатами или выводами, интерпретировать и оценивать их в контексте реальной проблемы, которая инициировала эту деятельность. Эта деятельность включает обратный перевод математического решения в контекст реальной проблемы и оценку того, являются ли результаты математического решения или рассуждений разумными, имеют ли они смысл в контексте этой проблемы. Процесс охватывает и интерпретацию, и оценку полученного математического решения. При этом от учащегося может потребоваться разработать и представить объяснения или аргументы в контексте проблемы, отражающие как процесс моделирования, таки его результаты 8 Математика Математические рассуждения включают элементы логического мышления делать вывод, приводить доводы, давать обоснование размышлять над аргументами, обоснованиями ивы- водами размышлять над различными способами/моделями представления ситуации на языке математики, допущениями и ограничениями анализировать сходства и различия между математической задачей и моделью, размышлять над применяемыми определениями, правилами, понятиями, алгоритмами и методами, над математическим решением и полученным результатом Уровней математической грамотности Задания по математике распределены по 6 уровням сложности, каждому из которых соответствует определенный показатель компетенций обучающегося. Один блок заданий может содержать вопросы различных уровней сложности. Уровень Нижняя граница уровня Что могут продемонстрировать учащиеся, достигшие данного уровня математической грамотности Учащиеся, математическая грамотность которых отвечает этому уровню, могут осмыслить, обобщить и использовать информацию, полученную ими на основе исследования и моделирования сложных проблемных ситуаций, и могут использовать свои знания в нетипичных контекстах. Они могут связывать и использовать информацию из разных источников, представленную в различной форме, свободно преобразовывать и переходить от одной формы к другой. Эти учащиеся обладают продвинутым математическим мышлением и умением проводить рассуждения. Они могут применять интуицию и понимание наряду с владением математическими символами, операциями и зависимостями для разработки новых подходов и стратегий к разрешению новых проблемных ситуаций. Учащиеся могут размышлять над своими действиями, точно формулировать и ясно комментировать свои действия и размышления относительно своих находок, интерпретации и аргументов, объяснять, почему они были использованы в данной ситуации. 5 Учащиеся могут создавать и работать с моделями сложных проблемных ситуаций, распознавать их ограничения и устанавливать соответствующие допущения. Они могут выбирать, сравнивать и оценивать соответствующие стратегии решения комплексных проблем, которые отвечают этим моделям. При рассмотрении предложенной ситуации эти учащиеся могут работать целенаправленно, используя хорошо развитые умения размышлять и рассуждать, адекватные, связанные между собой формы представления информации, описания с помощью символов и формального языка и интуицию, отвечающие этим ситуациям. Они начинают размышлять над выполненной ими работой и могут формулировать и излагать свою интерпретацию и рассуждения Учащиеся способны эффективно работать с четко определенными детальными) моделями сложных конкретных ситуаций, которые могут иметь определенные ограничения или требуют установления некоторых допущений. Они могут выбрать и интегрировать информацию, представленную в различной форме, включая математичес- 9 Математика Уровень Нижняя граница уровня Что могут продемонстрировать учащиеся, достигшие данного уровня математической грамотности 545 кие символы, и связывать ее напрямую с различными аспектами предложенных реальных ситуаций. Учащиеся могут использовать ограниченный диапазон своих умений и могут рассуждать, проявляя некоторую интуицию в простых ситуациях. Они могут сформулировать и изложить свои объяснения и аргументы, опираясь на свою интерпретацию, доводы и действия Учащиеся способны выполнять четко описанные процедуры, включая и те процедуры, которые могут требовать принятия решения на каждом последующем шаге. У них достаточно здравая интерпретация, чтобы служить основой для выбора и применения простых методов решения. Эти учащиеся способны интерпретировать и использовать представления, основанные на различных информационных источниках, и проводить прямые рассуждения на этой основе. Они обычно демонстрируют некоторую способность справляться с процентами, обыкновенными и десятичными дробями, работать с пропорциональными зависимостями. Их решения отражают, что они способны проводить элементарную интерпретацию и рассуждения Учащиеся могут интерпретировать и распознать в контекстах такие ситуации, где требуется сделать не более чем прямой вывод. Они способны извлечь нужную информацию из единственного источника и использовать информацию, представленную в единственной форме. Учащиеся могут применять стандартные алгоритмы, формулы, процедуры, соглашения или правила для решения проблем, включающих натуральные числа. Они способны грамотно интерпретировать полученные результаты Учащиеся способны ответить на вопросы в знакомых контекстах, когда представлена вся необходимая информация и вопросы ясно сформулированы. Они способны распознать нужную информацию и выполнить стандартные процедуры в соответствии с прямыми указаниями в четко определенных ситуациях. Они могут выполнить действия, которые почти всегда очевидны и явно следуют из описания предложенной ситуации. Примечание ОЭСР не публиковал тестовые задания PISA-2015 по математике. Все задания PISA-2015 использовались в PISA-2018 и будут использоваться в PISA-2021, в котором математика снова будет основным направлением [13, с. 44]. 10 Математика Предметные знания, умения (PISA-2021) Тема Содержание Явление роста Явления роста, изменений линейного и нелинейного характера, например, потребуется проследить закономерности, проявляющиеся при возведении в степень некоторого числа Геометрические приближения Геометрические преобразования, аппроксимации, разбиения и составления фигур, например, потребуется построить орнамент из заданных фигур по заданному правилу Компьютерные симуляции Компьютерное конструирование и моделирование, например, потребуется изображать по указанным правилам маршруты на карте Условное принятие решений Принятие решений с учетом предлагаемых условий или дополнительной информации, например, потребуется при покупке некоторого товара учитывать представленное в таблице сообщение, в котором содержится статистика мнений покупателей об этом товаре Функции Понятие функции, причем основное внимание уделяется линейным функциям, ноне сводится только к ним, их свойства, разнообразные формы их описания и представления. Обычно используются такие формы представления функции, как словесная, символьная, табличная и графическая. Алгебраические выражения Словесная интерпретация и операции с алгебраическими выражениями, работа со значениями переменных, символами, подстановка значений переменных и вычисление значения выраже- ния. Уравнения и неравенства Линейные уравнения, системы линейных уравнений и неравенства, простые квадратные уравнения, аналитические и неанали- тические методы решения (например, метод проб и ошибок»). Система координат Представление и описание данных, их расположения и зависи- мостей. Отношения в рамках геометрического объекта и среди геометрических объектов в двумерном и трехмерном пространстве: Статические отношения такие, как алгебраические связи между элементами фигур (например, Теорема Пифагора, определяющая отношение между длинами сторон прямоугольного треугольника, соотношения между сторонами треугольника, относительное расположение, равенство и подобие, динамические зависимости, включая движения объектов на плоскости ив пространстве, а также соотношения между двумерными и трехмерными объектами. Соотношения между углами при двух параллельных прямых и секущей. Формулы площади треугольника, периметра и площади прямоугольника. Пространственные фигуры и их свойства (прямоугольный параллелепипед, сфера, конус, цилиндр, формулы вычисления площадей поверхности и объема Измерения Количественная характеристика свойств фигур и объектов, между фигурами и объектами, величины углов, расстояний, длины, периметра, окружности, площади и объема 11 Математика Числа и единицы измерения Понятие о числе, представление чисел и систем счисления, свойства целых и рациональных чисел, первоначальные представления об иррациональных числах. Значения и единицы измерения таких величин, как время, деньги, масса, температура, расстояние, площадь, объема также производных величин (например, скорости — км/ч) и их численное выражение. Арифметические и алгебраические операции Смысл и свойства этих операций и принятых соглашений (например, законов, включая возведение чисел в натуральную степень и извлечение простых квадратных корней. Процент, отношения и пропорции Вычисление их величины, применение пропорций и прямо пропорциональных отношений для решения проблем. Принципы подсчетов Простые сочетания и перестановки (в расчете на способ перебора вариантов). Оценка Отвечающие поставленной цели приближенные значения величин и числовых выражений, включая значимые цифры и округление. Набор данных, представление и интерпретация Природа, происхождение, наборы разнообразных данных, различные способы их представления и интерпретации. Изменчивость данных и ее описание Такие понятия, как изменчивость, распределение, центральная тенденция набора данных, способы описания и интерпретации этих данных в количественных выражениях. Выборки и составление выборок Понятие выборки и выбора из совокупностей данных, включая простые выводы на основе свойств выборок. Случайность и вероятность Понятие случайного события, случайное изменение и его представление, частота и вероятность событий, основные аспекты понятия вероятности. Компетенции (Ключевым направлением модернизации системы математического образования является совершенствование содержания, методов и форм обучения математике в русле современных взаимосвязанных педагогических подходов — компетентностного, деятельностного, личностно-о- риентированного и др. Формулировать ситуацию на языке математики Формулировать ситуацию математически • включает способность распознавать и выявлять возможности использовать математику, принять имеющуюся ситуацию и трансформировать ее в форму, поддающуюся математической обработке, создавать математическую модель, отражающую особенности описанной ситуации определять переменные, размышлять и понимать условия и допущения, облегчающие подход к проблеме или ее решение. Примеры целей обучения из программы по компетенции составлять таблицу для зависимостей, заданных формулой или графиком составлять математическую модель по условию задачи решать задачи, используя диаграмму Эйлера-Венна; • решать комбинаторные задачи методом перебора 12 Математика Рассмотрим примеры реализации целей, направленных на развитие компетенции Формулировать ситуацию математически» Математическое содержание в PISA: Изменчивость данных и ее описание Цели обучения извлекать статистическую информацию, представленную в виде таблиц или диаграмм находить и исследовать зависимости между величинами, используя графики реальных процессов. Увеличение роста На графике показан средний рост девушек и юношей в Нидерландах в 1998 году 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Возраст (годы) Средний рост девушек Средний рост юношей Рост, см 180 170 160 150 140 а) По сравнению с 1980 годом средний рост летних девушек в 1998 году увеличился на 2,3 см и стал равным 170,6 см. Чему был равен средний рост девушек в 1980 году? б) Пользуясь графиком, определите, в каком возрасте девушки в среднем выше юношей того же возраста. в) Объясните, как можно поданному графику определить, что увеличение роста девушек в среднем замедляется после 12 лет. Ответ: а) 168,3 см. б) с 11 до 13 лет девочки в среднем выше мальчиков в) за два года с 10 полет девушки подрастают примерно на 15 см. С 13 полет еще примерно на 12 см. Значит, после 12 лет в среднем они растут медленнее 13 Математика Применять математические понятия, факторы, процедуры Применять математические понятия, факты, процедуры размышления включает способность применять математические понятия, факты, процедуры, рассуждения и инструменты для получения решения или выводов. Эта деятельность включает выполнение математических процедур, необходимых для получения результатов и математического решения (например, выполнять действия с алгебраическими выражениями и уравнениями или другими математическими моделями, анализировать информацию на математических диаграммах и графиках, работать с геометрическими формами в пространстве, анализировать данные. Работать с моделью, выявлять закономерности, определять связи между величинами и создавать математические аргументы. Примеры целей обучения из программы по компетенции анализировать делимость произведения на данное натуральное число анализировать делимость суммы и разности на данное натуральное число придумывать закономерности и составлять последовательности, состоящие из дробей анализировать информацию по статистической таблице, полигону частот, гистограмме. Рассмотрим примеры реализации целей, направленных на развитие компетенции Применять математические понятия, факторы, процедуры» Математическое содержание в PISA: Случайность и вероятность Цели обучения извлекать статистическую информацию, представленную в виде таблиц или диаграмм находить и исследовать зависимости между величинами, используя графики реальных процессов; Цветные конфеты Мама Руслана разрешила ему взять из коробки одну конфету, не заглядывая в коробку. Число конфет различного цвета в коробке показано на диаграмме. красивые оранжевые желтые зеленые синие Какова вероятность того, что Руслан вынет красную конфету? а) 10%; б) 20%; в) 25%; г) Решение. Найдем число конфет в коробке поданным, приведенным на диаграмме 6+5+3+3+2+4+2+5=30 конфет и из них 6 красных. Вероятность вынуть красную конфету равна отношению числа красных конфет к общему числу конфет 6 30 0 2 Ответ б) 20%. 14 Математика Интерпретировать, использовать и оценивать математические результаты Интерпретировать, использовать и оценивать математические результаты • включает способность размышлять над математическим решением или результатами, интерпретировать и оценивать их в контексте реальной проблемы. Эта деятельность включает перевод математического решения в контекст реальной проблемы, оце- нивание реальности математического решения или рассуждений по отношению к контексту проблемы. Этот процесс охватывает и интерпретацию, и оценку полученного решения или определение того, что результаты разумны и имеют смысл в рамках предложенной ситуации. При этом может потребоваться разработать объяснения или аргументацию с учетом контекста проблемы. Примеры целей обучения из программы по компетенции оценивать значение квадратного корня исследовать зависимости между величинами, используя графики реальных процессов интерпретировать графики реальных зависимостей между прямо пропорциональными величинами оценивать, как изменяются площадь квадрата и объем куба при изменении их линейных размеров.. Рассмотрим примеры реализации целей, направленных на формирование компетенции Математические рассуждения» Явление Роста Последовательности, в которых величина растет со скоростью, пропорциональной ее значению, демонстрирует экспоненциальный рост. Экспоненциальный рост демонстрирует такие явления, как распространение болезни, размножение микроорганизмов, скорость ядерной цепной реакции, увеличение интернет-трафика и фидбэк на гитаре и т.д. Практически все экономические, финансовые и политические показатели (объем продаж, прибыль, курс акций, ВВП и численность населения) рассчитываются в виде относительного изменения за единицу времени, значит, экспоненциальный рост очень важен для понимания того, как устроен наш мир При введении понятия экспоненциальный рост можно рассмотреть простой пример поскольку стопка бумаги все время утолщается, каждое очередное сгибание требует больших усилий, и к седьмому разу согнуть бумагу уже практически невозможно. В этот момент толщина бумаги враз больше одного листа, что эквивалентно толщине страничной книге. Рекомендуется рассмотреть экспоненциальный рост при решение текстовых задач на тему Арифметическая и геометрическая прогрессии 15 Математика ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ |