пиза. PISA_Математика_RU. Уроках математики Назарбаев Интеллектуальные школы
 Скачать 3.05 Mb.
|
|
Задания 1. Покажите учащимся шахматную доску с несколькими фигурами, попросите объяснить, где расположены фигуры. Например: Конь — Е, белая пешка — Аи т.д. Обсудите с учащимися принцип указания места фигуры на шахматной доске (клетка по горизонтали клетка по вертикали. 2. Поставьте в центре кабинета стул и попросите учащихся описать расположение других предметов в кабинете (количество шагов влево/вправо от стула количество шагов вперед/назад от стула. Обсудите, что в обоих случаях положение определяется упорядоченной парой чисел. Подведите учащихся к пониманию того, что расположение точки на плоскости также можно описать упорядоченной парой чисел, если нанести на данную плоскость систему координат 38 Математика Цели обучения «6.4.3.2 вычислять статистические числовые характеристики, «7.3.3.7 анализировать статистическую информацию, представленную в виде таблицы или полигона частот». Задания 1. В течение четверти Оля получила по математике пять двоек, четыре четверки и две пятерки. Ее мама считает, что за четверть Оле надо ставить двойку, папа считает, что надо ставить тройку, а сама Оля считает, что надо ставить четверку. Попробуйте привести аргументы в пользу каждой точки зрения (какие статистические характеристики вычисляет каждый член семьи. Какую бы оценку вы поставили Оле Решение Составим числовой ряд оценок Оли 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 5, Найдем среднее арифметическое данного ряда 2 2 2 2 2 4 4 4 4 5 5 11 36 11 3 3 Папа Оли считает, что ей нужно ставить тройку, т. к. среднее арифметическое всех ее оценок за четверть приблизительно равно Мода числового ряда 2. Мама Оли считает, что ей надо ставить двойку, т.к. двойка встречается чаще остальных оценок за четверть. Медиана 4. Сама Оля считает, что ей надо ставить четверку, т.к. в упорядоченном числовом ряде оценок за четверть посередине находится оценка 4. 2. В таблице приведены данные по температуре в городе N в июне 2018 г. ив июне 2019 г. В ней отражена информация об ежедневных наблюдениях. Температурные интервалы, о С Июнь 2018 г. Июнь 2019 г 2 1 18-22 9 6 22-26 12 15 26-30 6 3 30-34 В каком году было больше дней, когда температура превышала 26 o С? Решение. Данные представлены в интервальной таблице частот. Чтобы определить, сколько дней температура превышала Св и 2019 годах, просуммируем данные таблицы по столбцам, соответствующим интервалами Температурные интервалы, o С Июнь, 2018г. Июнь, 2019 г 6 3 30-34 1 5 Итак, в 2019 году было больше дней, когда температура превышала С Математика. Семиклассники отгадывали кроссворд (каждый самостоятельно. После этого они сравнили число неразгаданных слов. Данные представлены в таблице в %: 40 1 слово 2 слово 3 слово 4 слово 30 25 20 15 10 ряд Сколько % учащихся не разгадали более двух слов? Решение: Составим таблицу поданным из графика: Количество неразгаданных слов учащихся слово 2 слова 3 слова 4 слова 3 слова не разгадали 35% учащихся и 4 слова не разгадали 10% учащихся. Значит, процент учащихся, не разгадавших более двух слов — 45%. 4. Поданному полигону частот определите, сколько времени в среднем, затратили учащиеся 8 А класса на дорогу от дома до школы. Частота 0 0 3 2 4 5 6 7 1 5 10 15 20 25 30 35 40 Время в минутах Решение: x 1 2 5 5 2 7 5 10 6 15 5 20 1 25 1 35 2 40 1 5 2 5 6 5 1 1 2 15 40 Математика Цель обучения «6.5.2.10 находить и исследовать зависимости между величинами, используя графики реальных процессов». Задание: На рисунке изображены графики полета двух самолетов, вылетевших из аэропорта г. Нур-Султан водном направлении 2000 1600 9 00 10 00 11 00 12 00 13 00 14 00 15 00 16 00 17 00 18 00 t ч км 400 а) В какое время самолеты вылетели с аэродрома и вернулись обратно? б) Сколько промежуточных посадок сделал в пути каждый из них Чему равна продолжительность этих остановок? в) С какой скоростью летели самолеты на всех участках пути? г) На каком расстоянии от Нур-Султана были они в 12 часов, в 14 ч 20 мин, в 16 ч 40 мин Где были самолеты в это время — на земле или в воздухе? д) В какое время они находились на расстоянии 400 км от Нур-Султана? Решение: Пусть график полета первого самолета указан черным, второго самолета — красным. а) первый самолет вылетел с аэродрома в 9.00 и вернулся в 18.00, второй самолет вылетел в 10.40 и вернулся в б) Первый самолет сделал 3 промежуточные посадки, первая остановка составила 1 час, вторая остановка составила 1 час 20 минут, третья остановка составила 1 час. Второй самолет сделал 2 промежуточные посадки, первая остановка составила 1 час, вторая остановка составила 1 час 40 минут. в) Первый самолет на первом участке пути летел 1 час со скоростью 800 км/час, на втором участке пути летел 2 часа со скоростью 800 км/час, на третьем участке пути летел 40 минут со скоростью 1200 км/час, на четвертом участке пути летел 2 часа со скоростью 800 км/час. Второй самолет на первом участке пути летел 2 часа 40 минут со скоростью 600 км/час, на втором участке пути летел 1 час 20 минут со скоростью 600 км/час, на третьем участке пути летел 1 час 20 минут со скоростью 600 км/час. г) На каком расстоянии от Нур-Султана были они в 12 часов, в 14 ч 20 мин, в 16 ч 40 мин Где были самолеты в это время — на земле или в воздухе? Первый самолет в 12 часов находился в воздухе на расстоянии 1600 км, в 14 ч 20 мин находился на расстоянии 2400 км и вылетел обратно в Нур-Султан, в 16 ч 40 мин находился в воздухе на расстоянии 1000 км. Второй самолет в 12 часов находился в воздухе на расстоянии 800 км, в 14 ч 20 мин находился на расстоянии 1600 км и вылетел обратно в Нур-Султан, в 16 ч 40 мин находился на земле на расстоянии 800 км 41 Математика Цель обучения «7.1.2.5 применять свойства степеней для упрощения алгебраических выражений .bЗадание:bДано выражение a a a b 6 7 3 Ученик выполнил преобразование выражения, используя следующие шаги: Шаг 1. 1 3 2 a a b ; Шаг 2. a a b 1 3 2 Шаг 3. a a b 4 Шаг 4. a a b 2 Укажите шаги, на которых ученик допустил ошибки, и исправьте их. Ответ: На шаге 2 при раскрытии скобки a b 2 . На шаге 3 ученик допустил ошибку, т.к. по свойству возведения степени в степень a a m n mn он должен получить a a 1 Цель обучения «7.4.2.3 оценивать, как изменяются площадь квадрата и объем куба при изменении их линейных размеров». Задания 1. Во сколько раз изменены линейные размеры куба на рисунке Во сколько раз изменился его объем? Решение: Если ребро исходного куба будет х, то его объем х. Ребро куба увеличилось в 2 раза, тогда его объем (х = х. Таким образом, объем куба увеличилось вили раз. Квадрат со стороной а) 3 см б) 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 см. Сколько квадратов получилось Решение а) если разделить каждую сторону квадрата на 3 части по 1 см, то получим 9 квадратов. б) если сторона квадратам, то при разделении одной стороны по 1 см получим, 100 делений, соответственно на второй стороне также будет 100 делений. Таким образом, количество полученных квадратов 100 100 10000 3. Куб со стороной а) 3 см б) 1 м распилили на кубики со стороной 1 см. Сколько кубиков получилось 42 Математика Решение: а) Объем куба с длиной ребра 3 см – 27 см. Если распилить его на кубики с длиной ребра 1 см, то соответственно получится 27 кубиков. б) Длина ребра кубам или 100 см. Его объем 1000000 см. Соответственно при распилена кубики с длиной ребра 1 см, получится 1000000 кубиков. Елдос и Айдар построили по башне из кубиков, имеющих одни и те же размеры. Обе башни имеют квадратное основание. Башни составлены из одинакового числа кубиков. а) Сторона основания башни Айдара в четыре раза больше, чему Елдоса. Во сколько раз башня Елдоса выше б) Башня Елдоса в четыре раза выше, чем башни Айдара. Во сколько разу башни Айдара больше сторона основания Решение: а) Пусть общее количество кубиков у каждого мальчика по N штуку Айдара в основании башни квадрат со стороной из х кубиков, то есть всего в основании х кубиков. Тогда по условию задачи у Елдоса в основании башни квадрат со стороной из 1 4 x кубиков, то есть всего 1 16 2 x кубиков. Теперь определим высоту каждой башни. Высота башни у Айдара N x 2 , у Елдоса N x N x 1 16 16 Если сравнить эти высоты, то башня у Елдоса враз выше, чему Айдара. б) Пусть у Елдоса в основании башни квадрат со стороной из х кубиков. Тогда высота его башни N x 2 . Тогда по условию задачи высота башни Айдара N x 4 2 , отсюда видно, что в основании башни у Айдара х кубиков. А это будет квадрат со стороной из х кубиков. Итак, сторона основания у Айдара в 2 раза больше, чему Елдоса. Задания_1.'>Цель обучения «7.1.2.9 сравнивать числа, записанные в стандартном виде». Задания 1. Посмотрите на данные в таблице. Как выдумаете, какая из планет самая тяжелая Самая легкая Расположите названия планет в порядке убывания их масс. Планета Венера Земля Марс Меркурий Нептун Сатурн Уран Юпитер Масса, кг 4,869 · 10 24 5,974 · 10 24 6,419 · 10 24 3,302 · 10 23 1,024 · 10 26 5,885 · 10 26 8,685 · 10 25 1,899 · 10 27 2. Масса частицы пыли приблизительно равна 7 5 10 10 , килограмма, а масса электрона прои- близительно равна 9 1 10 килограмма. Приблизительно какое количество электронов имеют одинаковую с частицей пыли массу? а) 1 21 10 20 , ⋅ ; б) 1 21 10 21 , ⋅ ; в) 8 24 10 20 , ⋅ ; г) 8 24 10 Ответ в 43 Математика Цели обучения «7.4.1.1 усвоить понятия функции и графика функции, «7.4.1.5 знать определение линейной функции y = kx + b, строить ее графики устанавливать его расположение в зависимости от значений k и b», «7.4.1.7 определять знаки k и b линейной функции y = kx + b, заданной графиком». Задания 1. Раздать каждому учащемуся набор карточек, на которых изображены графики на координатной плоскости, и предложить выбрать карточки, на которых изображены графики функций. Затем учащиеся в парах обсуждают свой выбор. Например 0 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 2 2 3 3 4 4 5 5 y x x y а) б) в) г) 0 0 1 1 y y x x 2. Масса пустого бидона вместимостью 45 л равна 5 кг, а масса одного литра жидкости равна 0,9 кг. Задайте зависимость массы m бидона с жидкостью от количества литров жидкости формулой. Тогда масса m (в килограммах) бидона, в котором содержится р литров жидкости, равна m = р + 5. Таким образом, по описанию функции учащиеся составят ее формулу. Обратите внимание учащихся на вид формулы. Поясните, что правая часть является линейным выражением с независимой переменной р. Дополните чертеж изображением оси Оу, так чтобы получился график указанной функции единичный отрезок — одна клетка. Используя данные чертежа, найдите координаты точки В y = x Цель обучения «7.4.3.1 составлять математическую модель по условию задачи». Задания 1. Составьте выражение для вычисления площади закрашенной фигуры и разложить это выражение на множители 44 Математика Решение: На стороне прямоугольника расположены два полукруга с радиусом r, значит сторона равна 4r. Другая сторона больше, чем 2r, пусть будет 2r + n. Площадь квадрата кв 2 8 4 2 r r n r rn . Незакрашенную область составляют 4 полукруга, или 2 круга, тогда площадь незакрашенной области будет S незакр 2 2 r . Теперь можем найти площадь закрашенной области S незакр = кв – S незакр 8 4 2 2 4 4 2 Составьте многочлены, выражающие площади закрашенных фигур а а 3а + 5 5b + а + 3 b + а + 5 б) а) b b Решение: а) площадь большого прямоугольника S a a 1 2 3 3 5 , площадь маленького незакрашен- ного прямоугольника S a 2 3 5 . Чтобы найти площадь закрашенной области, отнимем площадь маленького незакрашенного прямоугольника от площади большого прямоугольника S a a a a a a a a 1 2 2 2 2 3 3 5 3 5 6 19 15 3 15 6 16 б) Фигура состоит из двух прямоугольников со сторонами b и b+c, и b и Тогда площадь данной фигуры есть сумма площадей двух прямоугольников: S фигура S S b b c b b c b bc 1 2 2 4 5 2 . 3. Отрезок длиной 20 см разделен на две части, и на каждой из них построен квадрат. Найдите стороны квадратов, если разность их площадей равна 40 см 2 Решение. Пусть x — сторона меньшего из квадратов. Тогда сторона второго квадрата равна 20 – x. Из уравнения 20 40 2 2 x x найдем Ответ 9 см и 11 см. Если сторону квадрата увеличить на 4 см, то его площадь увеличится на 32 см. Какова сторона квадрата? Ответ: 2 см. Два фирмы, предоставляющие услуги такси, используют разные тарифные планы оплаты своих услуг. Приведенный ниже график показывает расценки фирмы А. Приведенная ниже таблица соответствует расценкам фирмы Б. Каждая из фирм берет фиксированную плату за посадку в такси и плату за каждый километр проезда. Математика 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 1500 тг км 2 3 4 5 6 7 8 9 Фирма Расстояние, км Стоимость проезда 600 тг 900 тг Сравните тарифные планы. Услугами какой фирмы выгоднее воспользоваться в зависимости от дальности поездки? Решение: Пусть x — плата за посадку и y — плата за каждый километр по тарифам фирмы Б. Из двух уравнений x + 2y = 600, x + 5y = 900 найдем хи Ответ если дальность поездки меньше 5 км выгоднее использовать такси фирмы А. Если дальность поездки больше 5 км, то выгоднее использовать такси фирмы Б. Цель обучения «7.4.2.2 решать текстовые задачи, с помощью составления уравнений и неравенств Задания 1. Периметр прямоугольника равен 28 см. Если его длину уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 2 см, то его площадь уменьшится на 8 см. Какова площадь прямоугольника? Решение: Пусть длина прямоугольниках, ширина у. Тогда периметр будет 2 28 x y . По условию задачи размеры прямоугольника изменились следующим образом длинах) см, ширина (у + 2) см, тогда по условию xy x y 3 2 8 . Решим систему уравнений 28 3 2 8 x y xy x y , Решением системы будет х =8, у =6. Тогда площадь исходного прямоугольника см. Расстояние между городами Тараз и Шымкент менее 210 км. Из города Тараз выехал грузовик со скоростью 60 км/ч, одновременно с ним из города Шымкент навстречу выехал автобус. Оцените с какой скоростью должен ехать автобус, чтобы они могли встретиться через 2 часа. Пассажир, сидящий в поезде, который едет со скоростью 40 км/ч, заметил, что в противоположном направлении в течение 3 секунд прошел встречный поезд, длина которого 75 м. Какова скорость встречного поезда. Трехзначное число оканчивается цифрой 7. Если эту цифру перенести на первое место, то полученное число будет на 17 меньше утроенного первоначального числа. Найдите данное трехзначное число. Решение Трехзначное число с последней цифрой 7 обозначим ab7 . Тогда по условию задачи 3 7 7 17 � ab ab . Трехзначное число ab7 можно разложить следующим образом 100 10 7 a b + + 46 Математика Тогда: 3 7 7 3 100 10 7 7 100 10 17 ab ab a b a b 300 30 21 700 10 290 29 679 17 a b a b a b 290 29 696 a b 10 24 a b , отсюда a b = = 2 Итак, ab7 247 = 5. В течение нескольких лет цену на некоторый товар постепенно повышали сначала на 10%, затем на 3000 тг., затем еще на 25%. В результате цена на товар повысилась на 75% по сравнению с первоначальной. Сколько стоил товар до повышения цен. Турист идет от деревни к железнодорожной станции. Пройдя за час 3 км, он понял, что, продолжая движение с этой скоростью, он опоздает на поезд на 40 минут, и пошел со скоростью 4 км/ч. На станцию турист пришел за 45 минут до отправления поезда. Чему равно расстояние от деревни до станции. Смешали некоторое количество 40% иго растворов кислоты и получили 800 граммов го раствора кислоты. Сколько граммов каждого раствора было взято. В 500 кг руды имеется некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5% железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%. Сколько железа осталось в руде |