Курсовая работа. Готовая курсовая работа. Установление закона распределения времени безотказной работы системы по известным законам распределения элементов

• Название: Установление закона распределения времени безотказной работы системы по известным законам распределения элементов
• Анкор: Курсовая работа
• Дата: 11.10.2021
• Размер: 0.56 Mb.
• Имя файла: Готовая курсовая работа.docx
• Тип: Документы; #245458
• страница: 3 из 6

Законы распределения

Для анализа надёжности систем методом статистического моделирования мы рассмотрим следующие 4 распределения:

Распределение Вейбулла

Это довольно универсальное распределение, охватывающее путем варьирования параметров широкий диапазон случаев изменения вероятностей. Наряду с логарифмически нормальным распределением оно удовлетворительно описывает наработку деталей и узлов технологического оборудования по усталостным разрушениям, наработку до отказа подшипников, электроламп и т.п. Оно применяется также для оценки надежности по приработочным отказам. Распределение Вейбулла описывается функцией плотности вероятности следующего вида

(6)

где   (  > 0) - интенсивность событий (аналогично параметру экспоненциального распределения), а k - показатель нестационарности (k > 0). При k = 1, распределение Вейбулла вырождается в экспоненциальное распределение, а в остальных случаях описывает поток независимых событий с нестационарной интенсивностью. При k > 1 моделируется поток событий с растущей со временем интенсивностью, а при k < 1  - со снижающейся. Область определения функции распределения плотности вероятностей: неотрицательные действительные числа.

Гамма распределение

Гамма - распределение в теории вероятностей - это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр k принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределением Эрланга.

Пусть распределение случайной величины X задаётся плотностью вероятности, имеющей вид

(7)

где функция Г(k) имеет вид

Г(k) = (8)

и обладает следующими свойствами: ; ; константы k, θ > 0.

Тогда говорят, что случайная величина X имеет гамма-распределение с

положительными параметрами θ и k. Пишут .

Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение описывает интервалы времени между независимыми событиями, происходящими со средней интенсивностью  . Количество наступлений такого события за некоторый отрезок времени описывается дискретным распределением Пуассона. Экспоненциальное распределение вместе с распределением Пуассона составляют математическую основу теории надёжности.

Кроме теории надёжности, экспоненциальное распределение применяется в описании социальных явлений, в экономике, в теории массового обслуживания, в транспортной логистике - везде, где необходимо моделировать поток событий.

Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения хи-квадрат (для n=2), а следовательно, и гамма-распределения. Так-как экспоненциально распределённая величина является величиной хи-квадрат с 2-мя степенями свободы, то она может быть интерпретирована как сумма квадратов двух независимых нормально распределенных величин.

Кроме того, экспоненциальное распределение является честным случаем распределения Вейбулла.

Дискретный вариант экспоненциального распределения - это геометрическое распределение.

Плотность вероятности экспоненциально распределения:

= (9)

определена для неотрицательных действительных значений  .

Если функцию плотности вероятностей экспоненциального распределения отразить зеркально в область отрицательных значений, то есть, заменить  на  , то получится распределение Лапласа, также называемое двойным экспоненциальным или двойным показательным.

Нормальное распределение

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса или Гаусса - Лапласа — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задаётся функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:

(10)

где параметр - математическое ожидание (среднее значение), медиана и мода распределения, а параметр - среднеквадратическое отклонение - (σ² - дисперсия) распределения.

Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений, которое принадлежит экспоненциальному классу распределений. Многомерный случай описан в статье «Многомерное нормальное распределение».

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием и стандартным отклонением .