фоэ 9. Электроника 9. Вариант 9 Задача 9

• Название: Вариант 9 Задача 9
• Анкор: фоэ 9
• Дата: 07.04.2022
• Размер: 0.66 Mb.
• Имя файла: Электроника 9.docx
• Тип: Задача; #451516
• страница: 1 из 5

Вариант 9

Задача 9. Нарисуйте зонную диаграмму собственных полупроводников: германия и кремния. Где реально находятся электроны, если в терминах зонной теории говорится: ”Электрон 1 находится в валентной зоне, электрон 2 - в зоне проводимости”. Во сколько раз отличаются концентрации собственных носителей в германии и кремнии при 300 К и при 293 К. Нарисуйте и объясните зависимость lnn_i(1/T).

Рассмотрим зонную структуру кремния и германия. Кремний и германий имеют кристаллическую структуру типа алмаза, представляющую собой две гранецентрированные кубические решетки, сдвинутые друг относительно друга на ¼ пространственной диагонали. Элементарная ячейка содержит два атома. Для элементарной ячейки первая зона Бриллюэна имеет форму четырнадцатигранника, где значения составляющих волнового вектора kx, ky, и kz даны в единицах 2π/а (а – ребро куба решетки)

Расчет зонной структуры германия и кремния в пространстве волновых векторов к для произвольно выбранного вектора к требует решения уравнения 146-й степени. В этой связи энергия вычисляется лишь для некоторых симметрично расположенных точек зоны Бриллюэна, хотя при этом приходится численно решать уравнения 16-й степени. Данные для промежуточных точек в зоне Бриллюэна рассчитываются с помощью интерполирования, теоретические расчеты уточняются сравнениями с данными экспериментов по циклотронному резонансу. У атома кремния имеется 14 электронов, атом германия имеет 32 электрона, распределение по состояниям можно представить следующим образом:

Si(14) (1s²2s²2p⁶3s²3p²);

Ge(32) (1s²2s²2p⁶3d¹⁰4s²4p²).

У этих полупроводников последняя оболочка не заполнена, в ней в p-состоянии имеется два электрона с параллельными спинами. Поскольку зона проводимости и валентная зона кремния и германия включают p-состояния, для которого в кристалле вырождение снимается, то каждая из них представляет собой наложение трех различных зон. На рисунке эти зоны представлены тремя ветвями Е(k).



Энергетическая зонная структура германия и кремния [1]

«Электрон 1 находится в валентной зоне» означает, что электрон 1 является валентным электроном, т.е. находится на внешней (валентной) оболочке собственного атома полупроводника.

«Электрон 2 находится в зоне проводимости» означает, что электрон 2 является свободным, т.е . свободно перемещается по полупроводнику.

Для расчета концентрации собственных носителей заряда в самых широко применяемых полупроводниках – кремнии и германии – в практических расчетах можно использовать следующее выражение:



где В – константа, учитывающая эффективные массы носителей заряда. Значения константы В, ширины запрещенной зоны, типичные значения подвижностей, а также некоторых других свойств представлены в справочных таблицах.

Таким образом для температуры 300 К:

n_i(Si)=10²⁵·(2,69·1,05)^1/2·exp(-1,11/(2·8,625·10^-5·300))=8,13·10¹⁵ м^-3.

n_i(Ge)=2,3·10¹⁹ м^-3.

n_i(Ge)/n_i(Si)=2300/8,13=283

Таким образом для температуры 293 К:

n_i(Si)=10²⁵·(2,69·1,05)^1/2·exp(-1,11/(2·8,625·10^-5·293))=8,05·10¹⁵ м^-3.

n_i(Ge)=2,28·10¹⁹ м^-3.

n_i(Ge)/n_i(Si)=2280/8,05=284

Специфика собственных полупроводников в первую очередь состоит в том, что носители зарядов обоих знаков - и электроны, и дырки - появляются одновременно и в одном и том же количестве. После того как энергия тепловых колебаний решетки оказывается достаточной для перевода электронов из валентной зоны в зону проводимости, дальнейшее увеличение температуры сопровождается исключительно быстрым ростом концентрации свободных носителей заряда. В собственном германии, например, увеличение температуры от 100 до 600 К повышает концентрацию носителей на 17 порядков (в 10¹⁷ раз). Для того чтобы графически отразить эту зависимость, обычно пользуются полулогарифмическим масштабом, откладывая по оси абсцисс величину 1/T, обратную температуре, а по оси ординат - значение lg n_i логарифма от концентрации. В таком масштабе зависимость n=f(1/T) выражается прямой, пересекающейся с осью абсцисс в некоторой точке 1/T. Нарастание концентрации носителей по мере роста температуры происходит из-за того, что реализуются переходы в зону проводимости электронов все с более и более глубинных уровней валентной зоны.



Если бы мы продолжили прямую n=f(1/T) до пересечения с осью ординат (что соответствовало бы значению Т=∞), то получили бы значение lgn_i0 (где n_i0 - концентрация валентных электронов рассматриваемого полупроводника). Получить соответствующее состояние экспериментально не представляется возможным, так как, прежде чем все электроны, создающие ковалентные связи, перейдут в зону проводимости, произойдет разрушение кристаллической решетки и полупроводник перейдет в расплавленное состояние.

Поскольку в собственном полупроводнике при любой температуре концентрации электронов и дырок одинаковы, то зависимость lgp=f(1/T) выразится точно такой же прямой, как и приведенная на рисунке.

В силу равенства концентраций n=p можно записать:

n*p=n²

А поскольку в каждом собственном полупроводнике концентрация носителей зависит только от температуры, то очевидно, что при всякой фиксированной температуре произведение n_ip_i оказывается постоянной величиной (закон действующих масс):

n*p=n²=const
Задача 19. В кремний введена примесь индия (N_А=10¹⁹ м^–3 - концентрация примесей). Изобразите схематически изображение кристаллическую решетку с примесью и нарисуйте зонную диаграмму этого материала. Объясните механизм образования собственных и примесных носителей с вероятностной точки зрения. Где реально находятся электроны, если в терминах зонной теории говорится: ”Электрон 1 находится в валентной зоне, электрон 2 - в зоне проводимости, электрон 3 - на уровне примесного центра”.

Определите температуры истощения примесей T_s и перехода к собственной проводимости T_i. Нарисуйте и объясните зависимость lnn(1/T) c учетом указанных температур.

Введем в кристалл кремния трехвалентный атом индия (In). Индий установит ковалентные связи лишь с тремя соседними атомами кремния. Для четвертого «соседа», у индия не хватает одного электрона. Этот недостающий электрон может быть захвачен атомом индия из ковалентной связи соседних атомов кремния.



Атом индия превратиться в негативно заряженный ион, а в ковалентной связи соседних атомов образуется вакансия (дырка). В свою очередь, на это место может перескочить электрон из соседней ковалентной связи. В результате получается хаотическое блуждание дырок по кристаллу.

Если поместить полупроводник в электромагнитное поле, движение дырок станет упорядоченным, т.е. возникнет электрический ток. Таким образом, обеспечивается дырочная проводимость. Полупроводник с дырочной проводимостью называется полупроводником P-типа.



По механизму образования свободных носителей заряда полупроводники можно разделить на собственные и примесные. Собственными полупроводниками называют полупроводники не содержащие донорных и акцепторных примесей.

Рассмотрим механизм образования свободных носителей зарядов в собственном полупроводнике. Атом кремния имеет на внешней электронной оболочке четыре валентных электрона. При кристаллизации кремний образует гранецентрическую кубическую решетку.

В кристаллической решетке германия каждый атом, находящийся в узле кристаллической решетки связан парно-электронными ковалентными связями с 4-мя соседними атомами. При Т0 К, а также в отсутствии других энергетических воздействий все валентные электроны задействованы в образовании парноэлектронных ковалентных связей, свободные носители зарядов отсутствуют и полупроводник по величине электропроводности соответствует диэлектрикам.

При температуре отличной от 0 К, а также при других энергетических воздействиях может произойти разрыв парноэлектронной связи. При этом образуется свободный электрон в зоне проводимости W_П и незавершенная парноэлектронная связь-«дырка» в валентной зоне. Энергию, которую необходимо сообщить электрону для разрыва парноэлектронной связи называют энергией активацииW,которая для собственного полупроводника соответствует ширине запрещенной зоны. Для кремния она составляет 1,12 эВ. В отсутствии внешнего электрического поля свободный электрон и “дырка” будут совершать хаотическое тепловое движение в пределах кристалла. Происходит это вследствие того, что электрон соседней ковалентной связи за счет энергии тепловых колебаний решетки может заполнить незавершенную ковалентную связь в результате чего «дырка» из положения «а» перейдет в положение «b» или положения «с» или «d» и т.д. Следовательно, движение «дырки» осуществляется за счет перемещения электрона участвующего в образовании парноэлектронной связи.

Таким образом, разрыв одной парноэлектронной связи приводит к образованию в полупроводнике двух свободных носителей зарядов: отрицательно заряженного электрона и положительно заряженной «дырки». Этот процесс получил название генерации электронно-дырочных пар. При приложении внешнего электрического поля свободные электроны и «дырки» будут переносить свой заряд (начинают упорядоченно двигаться) т.е. создавать электрический ток.

Лишь идеальные полупроводниковые кристаллы обладают только собственной проводимостью.

В реальных кристаллах существуют нарушения периодичности кристаллической решетки, вызванные различного рода дефектами: примесями, пустыми узлами в решетке, атомами или ионами, находящимися в междуузлиях, трещинами, сдвигами, дислокациями и т.д.

Если в кристалле имеются дефекты, то электрическое поле, создаваемое ими, может захватить электрон, подобно тому, как электрон захватывается свободными ионами. Такой локализованный близ дефекта электрон имеет энергию, попадающую как раз в запрещенную зону, а в энергетическом спектре кристалла появляется дискретный спектр локальных уровней в запрещенной зоне. Локальными эти уровни называются потому, что они возникают не во всей решетке, а только в местах расположения дефектов. Локальные уровни оказывают существенное влияние на характер явлений, происходящих в полупроводниках: электропроводность, фотоэффект, люминесценция, оптическое поглощение и т.д.

Дефект решетки, в котором в невозбужденном состоянии локальный уровень занят, а при возбуждении способен отдать электрон в зону проводимости, называется донором, а примесь, атомы которой являются донорами, называется донорной примесью.

Дефект решетки, в котором в невозбужденном состоянии локальный уровень занят, а при возбуждении способен захватить электрон из валентной зоны, называется акцептором, а примесь, атомы которой являются акцепторами, называется акцепторной примесью.

В качестве примера полупроводника с донорной примесью рассмотрим кристалл 4-х валентного германия (Ge), легированного 5-ти валентной сурьмой (Sb).

Предположим, что один из узлов кристаллической решетки Ge (4-х валентного) замещен атомом Sb, имеющим 5 валентных электронов. Четыре из них будут участвовать в образовании парноэлектронных связей с ближайшими соседними атомами Ge. Пятый электрон, не принимая участия в образовании парноэлектронных связей, будет связан со своим атомом силой кулоновского взаимодействия. Энергия этой связи невелика. Для фосфора, мышьяка, сурьмы она порядка 0,01 эВ в германии и 0,05 эВ в кремнии. Следовательно, чтобы ионизировать примесные атомы сурьмы (т.е. оторвать электрон от атома и превратить его в свободного носителя заряда) требуется значительно меньшее количество энергии, чем для высвобождения электрона Ge из валентной связи (зоны). А это означает, что локальные уровни должны располагаться в запрещенной зоне вблизи зоны проводимости.

При температурах близких к температуре абсолютного нуля примесные электроны находятся на локальных уровнях, но уже при незначительном повышении температуры, а также при других внешних энергетических воздействиях они получают энергию, достаточную для их перехода в зону проводимости и принимают участие в электропроводности.

Минимальная энергия, которую необходимо сообщить электрону, находящемуся на донорном уровне, чтобы перевести его в зону проводимости, называется энергией ионизации (активации) донорной примеси (донора) (Wд).

Образованные в донорном полупроводнике положительные ионы примеси Sb принимать участие в электропроводности не могут, т.к. они локализованы и, находясь в узлах кристаллической решетки полупроводника, являются ее структурным элементом.

В качестве примера полупроводника с акцепторной примесью рассмотрим кристалл 4-х валентного Ge, легированного 3-х валентным Ga.

Предположим, что один из узлов кристаллической решетки Ge (4-х валентного) заменен трехвалентным атомом Ga. В этом случае у примесного атома не хватает одного электрона для образования парноэлектронной связи с одним из атомов Ge, расположенных рядом с атомом примеси Ga. Следовательно, при наличии незначительных энергетических воздействий может произойти возбуждение одного из электронов атома Ge и он будет способен перейти на свободную связь Ga и в валентной зоне появиться «дырка».

Так как переход электронов из валентных связей Ge к атому Ga требует незначительных энергетических воздействий, то можно предположить, что при введении атома Ga в решетку Ge приводит к появлению локальных уровней в запрещенной зоне вблизи потолка валентной зоны (W_а=0,010,07 эВ). И это локальный уровень при незначительном энергетическом воздействии может быть заполнен электроном из валентной зоны, в которой появится соответствующее число дырок.

Минимальная энергия, которую необходимо сообщить электрону валентной зоны, чтобы перевести его на акцепторный уровень, называется энергией ионизации акцептора E_a (W_a). Образованные в акцепторном полупроводнике отрицательные ионы примеси Ga принимать участие в электропроводности не могут т.к. они локализованы и, находясь в узлах кристаллической решетки полупроводника, они являются ее структурными элементами.

«Электрон 1 находится в валентной зоне» означает, что электрон 1 является валентным электроном, т.е. находится на внешней (валентной) оболочке собственного атома полупроводника.

«Электрон 2 находится в зоне проводимости» означает, что электрон 2 является свободным, т.е . свободно перемещается по полупроводнику.

Электрон 3 - на уровне примесного центра. По истечении некоторого промежутка времени электроны из зоны проводимости возвращаются в валентную зону или на пустые места какого-либо примесного уровня. Иначе говоря, свободный электрон, пропутешествовав в межатомном пространстве кристалла, рано или поздно встречается с вакантным местом и занимает его. При этом если это вакантное место - положительно заряженный ион примеси, то происходит исчезновение одного электрона проводимости, а если вакантным местом является разорванная связь в кристаллической решетке - дырка, то происходит исчезновение сразу двух свободных носителей: и электрона, и дырки. Безызлучательная рекомбинация, характерная для полупроводников с достаточно широкой запрещенной зоной, протекает, как правило, с участием примесных центров. Объясняется это тем, что высвобождающаяся при переходе электрона из зоны проводимости в валентную зону довольно большая энергия не может быть передана кристаллической решетке за один раз. Вероятность такого акта столь же. мала, как, например, вероятность одновременного столкновения в одной точке сразу десяти частиц. В случае же рекомбинации через примесные уровни энергия электрона передается кристаллической решетке в два этапа. При этом чем ближе к середине запрещенной зоны находится энергетический уровень примесного атома, тем более вероятной оказывается рекомбинация через него, потому что энергия в этом случае выделяется в виде двух приблизительно одинаковых порций, каждая из которых равна приблизительно половине W_g. На языке зонной теории это означает, что на первом этапе примесный центр захватывает электрон, а на втором - дырку. В принципе этапы этого процесса могут происходить и в обратном порядке. Их последовательность определяется вероятностью захвата примесным центром электрона и дырки. Если энергетический уровень примесного центра расположен ближе к дну зоны проводимости, то вероятность захвата электрона будет выше вероятности захвата дырки, так как при захвате электрона будет выделяться меньшая энергия (вообще, чем меньше выделяемая энергия, тем процесс более вероятен). В этом случае электрону после его захвата примесным центром приходится некоторое время "ждать" дырку. Дело в том, что хотя дырок может быть и много, не с каждой из них может прорекомбинировать электрон. Рекомбинация возможна лишь в тех случаях, когда электрон имеет возможность отдать выделяемую энергию кристаллической решетке.

Температура T_S полного истощения примеси определяет нижнюю границу рабочего диапазона температур полупроводника и определяется по формуле:



Например, для кремния с уровнем легирования N_D=2,4*10¹⁹ м^-3 и энергии ионизации примеси W_ион=0,16 эВ температура истощения T_S=38 К.



Чем больше концентрация примеси, тем при более высокой температуре наступает ее истощение. Резкое увеличение удельной электропроводности при некоторой температуре соответствует переходу к области собственной проводимости (участки 3-6-8), когда доминирующую роль в механизме электропроводности начинают играть перебросы электронов через всю запрещенную зону. Температура, при которой происходит этот переход, называется температурой ионизации T_i:



Для кремния с указанными выше характеристиками температура ионизации составляет 470 К.



Температурные зависимости примесных полупроводников позволяют рассчитать не только ширину запрещенной зоны, но и энергию ионизации примеси.