Вектор
 Скачать 107.68 Kb.
|
|
Вектор — направленный отрезок прямой, имеющий определенную длину Длинна вектора(модуль) – называется неотрицательное число, равное расстоянию между его началом и концом  Нулевой вектор – если начало и конец вектора совпадает, не имеет направленности, а его модуль равен 0 Нормальный вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на любой прямой перпендикулярной данной. Коллинеарные вектора — Два вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой Если 2 вектора коллинеарны друг другу, то их координаты пропорциональны друг другу  Два коллинеарных вектора a и b называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают: a↑↑b (в противном случае-противоположнонаправленные) Равные векторы – 2 вектора называются равными если они сонаправленные имеют равные модули Свободные векторы – множества всех равных друг другу векторов( для свободного вектора точка его начала не важна) Компланарные векторы – если 3 вектора лежат в одной плоскости (определитель векторов равен нулю) Линейная комбинация - это сумма векторов, умноженных на некоторые числа. Эти векторы могут иметь разное направление. То есть, линейная комбинация - это выражение вида  ,где  - какие угодно вещественные числа (скаляры-это переменная или функция, которую можно выразить одним числом, причем обычно имеется в виду вещественное числовое значение.)Тривиальная линейная комбинация(вырожденная) – линейная комбинация, в которой все скаляры одновременно равны нулю Нетривиальная линейная комбинация(невырожденная) – линейная комбинация, где хотя бы один из скаляров не равен нулю. Конечная система векторов S называется линейно независимой, если:
Конечная система векторов S называется линейно зависимой, если:
Базис — набор n векторов в n-мерном линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их линейной комбинации, при этом ни один из базисных векторов не представим в виде линейной комбинации остальных. Базис множества-любые 2 неколлинеарных или 3 некомпланарных вектора, лежащие на плоскости или в пространстве Тройка векторов называется упорядоченной, если сказано, какой вектор идет первым, вторым, третьим. Тройка векторов называется левой (правой), если поворот от одного вектора ко второму видимый с конца третьего вектора осуществляется по ходу (против) часовой стрелки. Базис называется ортогональным, если его векторы попарно-перпендикулярны друг другу. При ортогональности прямых угловые коэффициенты двух ортогональных прямых обратно пропорциональны и противоположны по знаку  Базис называется ортонормированным, если он ортогональный и его вектора единичные. Координатами вектора в заданном базисе называют координатой разложения по базисным векторам Векторное (или линейное) пространство — математическая структура, которая представляет собой набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр Аффинная система координат – с.к. на плоскости, которая задается любой парой неколлинеарных векторов, приложенной к данной общей точке. Прямоугольная система координат(декартовая) — с.к. в которой базисные вектора ортогональны друг другу. Координатами точки в заданной с.к. будем понимать координаты ее радиус-вектора(вектор, задающий положения точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.), т.е. вектора, началом которого является начало с.к., а концом – данная точка Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости однозначно определяется двумя числами — полярным углом  (первой полярной координатой точки) и полярным радиусом r (второй полярной координатой точки).    Скалярным произведением   называется число равное произведению модулей этих векторов на  угла между ними  Угол между двумя векторами , имеющими общее начало, – это наименьший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг точки приложения до положения, когда он станет сонаправленным с другим вектором Физический смысл скалярного произведения- скалярное произведение двух векторов равно работе силы перемещения второго вектора вдоль первого Направляющие косинусы вектора пропорциональны его координатам  Угол между прямыми – следует из формулы нахождения угла между векторами  Угол между прямой и плоскостью (за угол между прямой и плоскостью будем брать угол между прямой и ее проекцией на заданную плоскость)   Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор   заданный в прямоугольной системе координат трехмерного пространства такой, что:
Выражение векторного произведения через координаты  Смешанным произведением векторов  и  называется число (  , ) равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов . Площадь параллелепипеда 1/6( , )Если 3 вектора компланарны, то их смешанное произведение равно нулю, а параллелепипед, построенный на этих векторах - вырожденный Выражение смешанного произведения через координаты  Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой. Уравнение прямой-прямая на плоскости задается уравнением ax + by + c = 0, где a, b, c - некоторые числа, причем a, b одновременно не равны нулю и составляют координаты вектора  ,перпендикулярного этой прямой и называемого вектором нормали.Уравнение прямой, выраженное через радиус-векторы  Параметрическое уравнение прямой на плоскости-  ,где , т.  , т.М(х,у)Каноническое уравнение прямой на плоскости-  Уравнение прямой, проходящей через две точки-пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2, z 2 ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:  Дробь  = k называется угловым коэффициентом прямой.Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту- y=k*x+b .Угол между плоскостями – это угол между нормальными векторами этих плоскостей. Расстояние от точки до плоскости — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость( d=  , где  - длина вектора нормали ={A;B:C} плоскости α, а число  есть результат подстановки координат точкиM1(x1; y1; z1) в левую часть общего уравнения плоскости)Нормальное уравнение прямой  Формула вычисления расстояния между двумя точками A(x1;y1) и B(x2;y2) на плоскости:  Формула вычисления расстояния между двумя точками A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2) в пространстве:  Взаимное расположение прямой и плоскости      Общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0 Векторное уравнение плоскости  ,S,t R   Параметрические уравнения плоскости   Уравнение плоскости в детерминантной форме  Уравнение плоскости, проходящие через три заданные точки  Уравнение плоыскости в отрезках  |
