момент. Осциллятор и Момент Импульса. Vi. Квантовая теория гармонических колебаний и волн

• Название: Vi. Квантовая теория гармонических колебаний и волн
• Анкор: момент
• Дата: 15.12.2021
• Размер: 1.55 Mb.
• Имя файла: Осциллятор и Момент Импульса.doc
• Тип: Закон; #304460
• страница: 6 из 7

§ 23. Сложение квантовых моментов

Как правило, при анализе физических явлений приходится иметь дело со сложной системой, состоящей из нескольких подсистем. При этом возникает вопрос о правилах сложения квантовых моментов, которые существенно отличаются от сложения векторных классических величин. Эта проблема существует даже для отдельной частицы, имеющей собственный момент – спин. Полный момент в этом случае будет состоять из и : .

Пусть система состоит из двух подсистем с квантовыми моментами и соответственно. Тогда в силу аддитивности момента квантовый момент системы равен



где аналогично . Также будем считать, что заданы величины



и пусть они не меняются в процессе взаимодействия. Тогда Но с другой стороны, . Возникает вопрос: какие значения может принимать при заданных квантовых числах и ? Прежде чем решать поставленную задачу, выберем систему базисных векторов.

Для подсистемы (1) можно одновременно задать и . Состояние подсистемы можно описать с помощью волновой функции . Аналогично для подсистемы (2): , , .

Поскольку операторы моментов, относящихся к разным подсистемам, коммутируют друг с другом, то следующие величины одновременно измеримы и образуют полный набор: , , , . Соответствующие им квантовые числа обозначим: , , , . Собственный вектор, характеризующий состояние всей системы, есть . Число таких независимых состояний равно . Таким образом, система базисных векторов является полной, и любой вектор состояния может быть разложен следующим образом:

(23.1)

Существует и другая возможность выбора системы базисных векторов. Можно задать полный момент всей системы и его проекцию , так как



Таким образом, величины , , , образуют полный набор величин с соответствующими квантовыми числами , , , . Система базисных векторов состоит из векторов. Любое состояние можно разложить по базисным векторам .

Итак, существуют два набора базисных векторов, т.е. два способа задания состояния квантовой системы. Отметим особенности этих двух базисов. Из определения оператора полного момента следует, что если и заданы, то задана и проекция полного момента. Так как , то



Однако , , т.е. нельзя одновременно задать и ; и , а значит и , и . Эту наиболее важную особенность можно наглядно изобразить на векторной модели сложения моментов. Квантовые числа и нельзя фиксировать одновременно с .

Любой из базисных векторов можно разложить по полному набору , :

. (23.2)

Коэффициенты разложения называют коэффициентами Клебша-Гордона. Квадрат модуля показывает вероятность измерения проекции , при заданных числах , .

Очевидно, что можно записать и обратное разложение:

. (23.3)

Коэффициенты называются обратными коэффициентами Клебша-Гордона. Они взаимосвязаны с коэффициентами .

Пусть и – фиксированные, т.е. и имеют определенные значения, которые не меняются в процессе взаимодействия. Каковы возможные значения при фиксированных и ?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим следующую теорему.
Теорема 5. При заданных значениях квадратов моментов двух частей системы , , определяемых квантовыми числами и , значение квантового числа , определяющего квадрат полного момента , принимает следующий ряд значений:

(23.4)

Доказательство. Для доказательства воспользуемся следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Будем считать для определенности, что . Пусть (поворот системы координат). Тогда , здесь . Мы предположили, что , следовательно, мы можем положить



Для нахождения возможных значений будем перебирать различные значения : . Тогда будет принимать следующий ряд значений:



Докажем, что других значений нет. Число базисных векторов равно



т.е. других значений квантовое число иметь не может. Теорема доказана.

В качестве простейшего примера на сложение квантовых моментов мы рассмотрим сложение двух спинов.

Пусть имеется квантовая система, состоящая из двух электронов. Квантовые числа, соответствующие спинам электронов: . Обозначим спиновое состояние частицы с проекцией на ось через , а с проекцией через . Таким образом, получим всего четыре независимых спиновых состояния с определенной проекцией каждого спина: , , , . Любое состояние квантовой системы из двух электронов может быть представлено как суперпозиция четырех базисных векторов.

Теперь рассмотрим состояние , где – суммарный спиновый момент, – проекция полного момента. По правилу сложения имеем



Отсюда следует, что .

При , возможно только одно состояние системы . Такое состояние называется синглетным.

При , возможны три состояния: , , . Такое состояние системы называется триплетным. Таким образом, любое состояние системы можно выразить через четыре этих вектора.

Теперь свяжем между собой два базисных набора, т.е. найдем коэффициенты Клебша-Гордона. Так как и , то можно сделать вывод, что , т.е. . Аналогично показывается, что .

Построим теперь :



С другой стороны, . Подействуем оператором на вектор :



где , .

Приравниваем эти выражения и получаем



Остается построить еще синглетное состояние :



Таким образом, . Векторы и нормированные, поэтому :



так как векторы и тоже нормированные. Следовательно, . Окончательно получаем, что



На основе этих формул можно сделать вывод: триплетное состояние симметрично относительно перестановки спинов, а синглетное состояние – антисимметрично.