момент. Осциллятор и Момент Импульса. Vi. Квантовая теория гармонических колебаний и волн

• Название: Vi. Квантовая теория гармонических колебаний и волн
• Анкор: момент
• Дата: 15.12.2021
• Размер: 1.55 Mb.
• Имя файла: Осциллятор и Момент Импульса.doc
• Тип: Закон; #304460
• страница: 2 из 7

§ 18. Стационарные состояния гармонического осциллятора. Координатное, импульсное и матричное представления

Проанализируем особенности стационарных состояний гармонического осциллятора в различных представлениях.

18.1. Координатное представление

Для нахождения стационарных состояний гармонического осциллятора воспользуемся стационарным уравнением Шредингера



Введём безразмерные переменные и . Откуда согласно (17.6) получим

(18.1)

Используя равенство (17.19), найдём , а затем :



Аналогично

(18.2)

Определим вид собственной функции , для чего воспользуемся соотношением





что дает

(18.3)

Постоянную найдём из условия нормировки



Откуда



и согласно выражению (18.3)

(18.4)

Воспользуемся соотношением (18.1) для нахождения вектора :



т.е.

(18.5)

где – полином Чебышева-Эрмита

(18.6)

или в развёрнутом виде

(18.6`)

Из последних соотношений очевидно, что состояния гармонического осциллятора могут быть как чётными, так и нечётными.

18.2. Импульсное представление

По аналогии с выше рассмотренным представлением определим операторы и следующим образом:



. (18.7)

После чего получим следующие выражения для волновых функций стационарных состояний гармонического осциллятора в импульсном представлении:



(18.8)

18.3. Матричное представление

Согласно (17.4) и (17.10)

(18.9)

Найдём матричные элементы оператора :



Откуда получим



Найдём минимальное значение : .

Таким образом, матрица оператора b примет вид:

(18.10)

Матрица получится путём транспонирования, т.е. путём замены строчек на столбцы:

(18.11)

Подставляя (18.10) и (18.11) в (18.9) находим вид оператора координаты в матричном представлении:

(18.12)

Используя соотношения (17.3), (17.11), можно получить оператор импульса в матричном представлении.

Глава VII. Квантовая теория момента

Наряду с энергией и импульсом момент количества движения относится к фундаментальным физическим величинам, связанным с наиболее общими свойствами пространства-времени. Из однородности пространства-времени следует сохранение энергии-импульса для замкнутой системы. Изотропность пространства (симметрия относительно вращения) приводит к сохранению момента количества движения.

В квантовой механике моменту количества движения отводится особое место в силу его специфических квантовых свойств.