момент. Осциллятор и Момент Импульса. Vi. Квантовая теория гармонических колебаний и волн
Скачать 1.55 Mb.
|
§ 24. Уравнение Паули. Собственный магнитный момент электронаОсновным уравнением нерелятивистской квантовой механики является уравнение Шредингера, описывающее движение нерелятивистской частицы без учета спина: где – оператор Гамильтона. Теория Шредингера исходила из предположения, что электрон обладает лишь степенями свободы, которые соответствуют движению материальной точки в пространстве координат , , . Введение новой степени свободы, связанной со спином, дает новые возможности для перехода от величин классической механики к квантовым операторам и позволяет построить оператор (24.1) где – матрицы Паули, а – импульс частицы. Оператор (24.1) может быть использован при построении оператора энергии. Произвольное состояние электрона при учете спина записывается в виде двухрядной матрицы Вследствие этого гамильтониан должен быть двухрядной матрицей и, согласно свойствам матриц Паули, может быть представлен через матрицы Паули и единичную матрицу . Гамильтониан не должен зависеть от направлений, т.е. пространственные переменные должны входить в гамильтониан равноправным образом, и в то же время он должен включать в себя матрицы Паули . Таким образом, из соображений размерности можно положить, что гамильтониан свободной частицы с учетом спина имеет вид (24.2) Используя свойства матриц , , , а именно, и коммутативность операторов , , вычислим квадрат скалярного произведения : Откуда Как и следовало ожидать, в отсутствие внешних полей наличие спина никоим образом не проявляется, и введение оператора, определяемого формулой (24.1), здесь ничего не вносит. Иначе обстоит дело при наличии магнитного поля, когда классическая функция Гамильтона электрона в электромагнитном поле с векторным потенциалом и скалярным потенциалом имеет вид Согласно правилам квантования учитывая наличие спина у электрона оператор Гамильтона примет вид (24.3) Рассмотрим квадрат скалярного произведения операторов и : Используя свойства матриц Паули, получим Учитывая выражения, справедливые для квадрат скалярного произведения примет вид (24.4) В данном случае операторы , , не коммутативны, а удовлетворяют перестановочным соотношениям (24.5) где , , – составляющие магнитного поля. Оператор Гамильтона (24.3) с учетом (24.4), (24.5) примет вид (24.6) или (24.7) где постоянная есть магнитный момент электрона. Таким образом, наличие спина у электрона влечет за собой наличие собственного магнитного момента электрона. Определив выражение оператора Гамильтона (24.7), запишем волновое уравнение, называемое уравнением Паули, которое описывает состояние электрона в магнитном поле без поправки на теорию относительности: (24.8) Список литературыДавыдов А.С. Квантовая механика. 2-е изд. – М.: Наука, 1973. – 704 с. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. 5-е изд. – М.: Наука, 1976. – 664 с. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (Нерелятивистская теория). 4-е изд., испр. – М.: Наука, 1989. – 768 с. Мессиа А. Квантовая механика. Том 1. – М.: Наука, 1978. – 480 с. Бом Д. Квантовая теория. 2-е изд. – М.: Наука, 1965. – 731 с. |