момент. Осциллятор и Момент Импульса. Vi. Квантовая теория гармонических колебаний и волн

• Название: Vi. Квантовая теория гармонических колебаний и волн
• Анкор: момент
• Дата: 15.12.2021
• Размер: 1.55 Mb.
• Имя файла: Осциллятор и Момент Импульса.doc
• Тип: Закон; #304460
• страница: 5 из 7

§ 22. Спин электрона. Матрицы Паули и их свойства

Операторы спина обозначаются . Все выражения, полученные в § 19 и § 20 для общего момента , справедливы как для орбитального , так и для спинового момента . Поэтому, согласно общей теории момента,

(22.1)

(22.2)

Спин может иметь как целые, так и полуцелые значения. В соответствие с этим выделяют два класса частиц: с целым спином – бозе-частицы и с полуцелым спином – ферми-частицы.

Рассмотрим элементарный случай, когда :

(22.3)

и проекцию спина на произвольно выбранное направление, например, на ось Oz:

(22.4)

Так как операторы спина коммутируют с операторами координаты и импульса, то полный набор физических величин с учётом спина может быть представлен двумя комбинациями:

1) , , , , ;

2) , , , , .

Представим спиновые операторы и состояния системы в матричном виде (в ‑представлении). Для этого сначала выберем базисные вектора. Так как определяет состояние частицы с учётом спина, то введём следующие обозначения

(22.5)

где , – ортонормированные вектора выбранного базиса. Любое состояние можно записать с помощью этих базисных векторов:



где вектор нормированный, т.е. . В состоянии при измерении проекции спина на ось Oz мы получим значение с вероятностью и с вероятностью . Таким образом, вектор можно записать как .

Найдём вид матрицы в ‑представлении



где элементы матрицы вычисляются следующим образом:



Откуда

(22.6)

Для нахождения вида операторов и определим вид операторов и . Согласно уравнению (20.22)







Тогда



и матрица примет вид

(22.7)

Матрица получается из матрицы путём перестановки строк и столбцов матрицы (транспонирования матрицы ):

(22.8)

Операторы и выражаются через операторы , следующим образом:



Откуда получаем вид операторов и :



или

(22.9)

(22.10)

Таким образом, для случая спиновые матрицы являются двухрядными. Принято записывать их в следующем виде:

(22.11)

где – матрицы Паули в ‑представлении:

(22.12)

Матрицы Паули обладают следующими свойствами.

Свойство 1. Любая двухрядная матрица может быть представлена через матрицы Паули и единичную матрицу:

(22.13)

Свойство 2. Собственные значения любой матрицы Паули равны .

Найдём матричное представление собственных векторов матрицы Паули (например ) , .

С одной стороны,



с другой –



Откуда



Таким образом, . Аналогичным образом находим и собственные вектора операторов , .

Свойство 3.

(22.14)

Доказательство. Доказательство проведём для оператора .



Свойство 4.

(22.15)

Свойство 5.

(22.16)

Доказательство. Следует из Свойства 4.

С учётом спина волновая функция должна зависеть не только от пространственных переменных, но и от спиновых: .

Рассмотрим состояние электрона с учётом спина:



Согласно принципу суперпозиции состояний, если система может находиться в состояниях и , то она может находиться и в состоянии

(22.17)

где – нормированный вектор. Матрица (22.17) называется спинором.