Выбор формы уравнения регрессии
 Скачать 8.7 Mb.
|
|
23. Оценка надежности результатов множественной регрессии и корреляции.  24. Нелинейные модели регрессии. Множественная нелинейная регрессия Несколько явлений могут быть соединены между собой нелинейными соотношениями. В этом случае для описания зависимостей следует воспользоваться множественной нелинейной регрессией. Здесь также различают множественную нелинейную регрессию первого и второго классов. Все рассуждения, приведенные в разделе 5.1, относительно этой проблематики имеют силу и для данной регрессии. Исходя из логических соображений процедура построения уравнения множественной нелинейной регрессии должна быть аналогична процедуре определения простой нелинейной регрессии. Рассмотрим следующий пример квазилинейной регрессии, ограничившись двумя объясняющими переменными:  (1.30)Если профессионально-теоретический анализ экономического явления позволяет функции от объясняющих переменных представить в виде  (1.31)и  (1.32)то зависимость (1.30) выражается так:  (1.33)Применяя метод наименьших квадратов, находят параметры а, Ь1, с1 ..., d2. Но в этом случае уравнение (1.33) можно относительно просто свести к линейному виду, обозначив  ,  ,  и  . Ограничившись только этим указанием, мы не будем записывать уравнение в линейной форме.Задачей множественной линейной регрессии является построение линейной модели связи между набором непрерывных предикторов и непрерывной зависимой переменной. Часто используется следующее регрессионное уравнение:  (1)Здесь аi - регрессионные коэффициенты, b0 - свободный член(если он используется), е - член, содержащий ошибку - по поводу него делаются различные предположения, которые, однако, чаще сводятся к нормальности распределения с нулевым вектором мат. ожидания и корреляционной матрицей  .Такой линейной моделью хорошо описываются многие задачи в различных предметных областях, например, экономике, промышленности, медицине. Это происходит потому, что некоторые задачи линейны по своей природе. 25. логарифмические модели Пусть некоторая экономическая зависимость моделируется формулой (степенная зависимость от X)  где во и в1 — параметры модели (константы, подлежащие определению), є — случайный член. Эта функция может отражать зависимость спроса Y на благо от его цены X (в данном случае в lt; 0 ) или от дохода X (в данном случае вgt; 0 ; при такой интерпретации переменных X и Y функция (8.1) называется функцией Энгеля). Функция (8.1) может отражать также зависимость объема выпуска Y от использования ресурса X (производственная функция), в которой 0 lt;в lt; 1, а также ряд других зависимостей. Модель (8.1) не является линейной функцией относительно X. Стандартным и широко используемым подходом к анализу функций данного рода в эконометрике является логарифмирование по основанию e = 2,71828... Прологарифмировав обе части (8.1), имеем логарифмическую модель:  которая является линейной в логарифмических переменных.   Линейная модель (8.3) подробно рассмотрена ранее. Если все необходимые предпосылки классической линейной регрессионной модели для (8.3) выполнены, то по МНК можно определить наилучшие линейные несмещенные оценки коэффициентов во и в1 . Параметры модели (8.3) оцениваются по обычным формулам парной регрессии с учетом замены переменных:  Здесь b0 — оценка параметра в0, b1 — оценка параметра Д1. Очевидно, оценка параметра в0 равна b0 = ebo = exp(b0). Отметим, что коэффициент в1 определяет эластичность переменной Y по переменной X, т. е. процентное изменение Y для данного процентного изменения X. Действительно, продифференцировав левую и правую части (8 3) по X получим'  Коэффициент в является константой, указывая на постоянную эластичность. Поэтому зачастую двойная логарифмическая модель (или модель (8.1) называется моделью постоянной эластичности. Заметим, что в случае парной регрессии обоснованность использования логарифмической модели проверить достаточно просто. Вместо наблюдений (x,,y,) рассматриваются наблюдения {lnxi,lnyi)i = 1,2,..., п. Вновь полученные точки наносятся на корреляционное поле. Если их расположение соответствует прямой линии, то произведенная замена удачна и использование логарифмической модели обосновано. Пример 8.1. Пусть имеются следующие данные (табл. 8.1). Данные для анализа степенной модели
Если рассматривать линейную модель, то получим результат, представленный на рис. 8.1. Если рассмотреть степенную модель и прологарифмировать обе переменные, то получим результат, представленный на рис. 8.2.  1пХ Рис 8.2. Степенная модель (линейная в логарифмах) Таблица 8.2 Расчетная таблица для определения параметров степенной модели
 1= \l — L / Данная модель легко обобщается на большее число переменных. Например,  Здесь коэффициенты вь ві являются эластичностями переменной Y по переменным Х1 и Х2 соответственно. Хорошо известна производственная функция Кобба-Дугласа:  (здесь не указан случайный член, но должен входить в модель мультипликативно). После логарифмирования обеих частей получим:  Здесь а, в — эластичности выпуска по затратам капитала и труда соответственно. Сумма этих коэффициентов является таким важным экономическим показателем, как отдача от масштаба. При а + в = 1 говорят о постоянной отдаче от масштаба (во сколько раз увеличиваются затраты ресурсов, во столько же раз увеличивается выпуск). При а + в lt;1 имеет место убывающая отдача от масштаба (увеличение объема выпуска меньше увеличения затрат ресурсов). При а + вgt;1— возрастающая отдача от масштаба (увеличение объема выпуска больше увеличения затрат ресурсов). В общем случае степенная модель множественной регрессии имеет вид:  Она преобразуется в линейную модель после логарифмирования. 26. полулогарифмические модели Экспоненциальную модель (3.1) в виде (3.2) называют также полулогарифмической. К полуэкспоненциальным относят также модель вида:  27 Обратная модель   28 Степенная модель   29 Показательная модель   30 Линеаризация нелинейных моделей При нелинейной зависимости признаков, приводимой к линейному виду, параметры множественной регрессии также определяются по МНК с той лишь разницей, что он используется не к исходной информации, а к преобразованным данным.  Применяется для полиномиальных, гиперболических, полулогарифмических моделей.       31. Преобразование случайного отклонения.   32. Соотношения между коэффициентами множественной и частной корреляции, регрессии и детерминации Покажем, что между коэффициентами множественной и частной корреляции, регрессии и детерминации существуют соотношения, позволяющие производить вычисления одних коэффициентов по известным другим. Ограничимся наиболее важными соотношениями. Разделим числитель и знаменатель правой части формулы (5.1)  (5.1)на  .Путем простого преобразования с учетом  а также (2.52) и (2.53) получим следующее соотношение:  (5.2)Сравнивая (5.2) с (2.54), можно сделать вывод, что   (5.3)Таким образом, мы получили такое же соотношение между коэффициентами частной корреляции и частной детерминации, как и в случае простой регрессии. Пользуясь этим соотношением и не прибегая к дополнительным вычислениям по исходным данным, по коэффициенту частной детерминации мы можем сделать вывод о коэффициенте частной корреляции и наоборот. Аналогичное соотношение существует между коэффициентами множественной корреляции и детерминации. Сравнивая  и  легко увидеть следующее соотношение:   (5.4)При некоррелированности объясняющих переменных имеется равенство  (5.5)С учетом (5.4) и (2.6) его можно записать в виде  (5.6)или, обобщая на произвольное число переменных,  (5.7)Итак, коэффициент множественной детерминации равен сумме коэффициентов парной детерминации, если объясняющие переменные попарно не коррелированы. Приведем теперь соотношения между частными корреляциями и регрессиями различных порядков.  (5.8)Связь между коэффициентами частной и множественной корреляции можно представить в таком виде:   (5.9)Соотношения (5.9) легко доказать. Для этого преобразуем (2.31):  (5.10)Это равенство подставим в (2.39). После соответствующих выкладок получим  (5.11)Вычтем левую и правую часть этого равенства из 1:  (5.12)В соответствии с (2.28) получим  (5.13)Подставим выражение b’y1.2 в предыдущее равенство:  (5.14)Преобразуем (2.57) :  (5.15)Подставляя это выражение в предыдущее равенство, в итоге получим  (5.16)что и требовалось доказать. Обобщим это соотношение на т объясняющих переменных:  (5.17)С помощью (5.17) можно вычислить коэффициент множественной корреляции по коэффициентам парной и частной корреляции. Коэффициент  указывает долю влияния х1 на у, а — долю влияния х2 на у при фиксировании х1 и т. д. Из (5.9) получаем следующее соотношение:  (5.18)Это равенство можно использовать для контроля Вычислений коэффициентов корреляции. |