Интерференция при отражении от тонких пластинок:
При падении световой волны на тонкую прозрачную пластинку или пленку происходит отражение от обеих поверхностей пластинки. В результате возникают когерентные световые волны, которые могут интерферировать.
Пусть на прозрачную плоскопараллельную пластинку падает параллельный пучок света, представленный на рис. 3 только одним лучом. Пластинка отбрасывает вверх два когерентных параллельных пучка света, из которых один образуется за счет отражения от верхней поверхности пластинки, второй —
вследствие отражения от нижней поверхности. При входе в пластинку и при выходе из нее второй пучок претерпевает преломление. Кррме этих двух пучков пластинка отбросит вверх пучки, возникающие 'в результате трех
-
, пяти
- и т. д. кратного отражения от поверхностей пластинки.
Интерференция в плоскопараллельной пластине:
Схема 4 —
интерференция в плоскопараллельной пластинке. В таблице изображен общий случай произвольного расположения источника и плоскости наблюдения по отношению к плоскопараллельной пластинке. Свет, приходящий в точку наблюдения Р, можно рассматривать как свет от двух мнимых изображений источника S в двух гранях пластинки. Интерференционная картина в пределах достаточно малой площади экрана состоит из почти параллельных интерференционных полос. Разность хода в данном интерференционном расположении есть:
Здесь h —
толщина пластинки, n —
показатель преломления, r —
угол преломления.
Дополнительное слагаемое λ/2 возникает из
- за разных условий отражения света на двух гранях пластинки.
Кольца Ньютона
Кольцевые полосы равной толщины, наблюдаемые в воздушном зазоре между соприкасающимися выпуклой сферической поверхностью линзы малой кривизны и плоской поверхностью стекла (рис. 8.13), называют кольцами Ньютона.
Общий центр колец расположен в точке касания. В отраженном свете центр темный, так как при толщине воздушной прослойки, на много меньшей, чем длина волны , разность фаз интерферирующих волн обусловлена различием в условиях отражения на двух поверхностях и близка к π. Толщина h воздушного зазора связана с расстоянием r до точки касания (рис. 8.13):
Здесь использовано условие
. При наблюдении по нормали темные полосы, как уже отмечалось, соответствуют толщине
, поэтому для радиуса m- го темного кольца получаем
(m = 0, 1, 2, …).
Если линзу постепенно отодвигать от поверхности стекла, то интерференционные кольца будут стягиваться к центру. При увеличении расстояния на картина принимает прежний вид, так как место каждого кольца будет занято кольцом следующего порядка. С помощью колец
Ньютона, как и в опыте Юнга, можно сравнительно простыми средствами приближенно определить длину волны света.
Полосы равной толщины можно наблюдать и с помощью интерферометра Майкельсона, если одно из зеркал з1 или з2 (рис. 8.9) отклонить на небольшой угол.
Итак, полосы равного наклона получаются при освещении пластинки постоянной толщины рассеянным светом, в котором содержатся лучи разных направлений. Полосы равной толщины наблюдаются при освещении пластинки переменной толщины (клина) параллельным пучком света. Полосы равной толщины локализованы вблизи пластинки.
Многолучевая интерференция:При наложении двух когерентных световых пучков образуются интерференционные полосы, в которых распределение интенсивности описывается функцией Icos2(kΔ/2) (Δ —
разность хода пучков). Максимумы и минимумы интенсивности, т.е. светлые и темные полосы, в двух лучевой интерференционной картине имеют одинаковую ширину. При наложении большого числа пучков распределение интенсивности в интерференционной картине существенно иное. Изменение характера интерференционных полос при увеличении числа n пучков качественно можно предсказать на основе закона сохранения энергии. Амплитуда световых колебаний в максимумах интенсивности, где сложение
колебаний происходит в одинаковой фазе, в n раз больше, а интенсивность в n2 раз больше, чем от одного пучка (при условии, что когерентные пучки имеют одинаковую или почти одинаковую интенсивность). Но полная энергия, приходящаяся на одну интерференционную полосу, лишь в n раз больше, чем в одном пучке. Увеличение интенсивности в максимумах в n2 раз возможно только в случае существенного перераспределения потока энергии в пространстве: при прежнем расстоянии между светлыми полосами их ширина должна быть примерно в n раз меньше этого расстояния. Благодаря образованию узких максимумов, т.е. резких светлых полос, разделенных широкими темными промежутками, многолучевая интерференция получила важное практическое применение.
Большое число когерентных световых пучков может возникнуть в результате дифракция при прохождении плоской волны через экран с одинаковыми регулярно расположенными отверстиями (метод деления волнового фронта).
Распределение интенсивности в такой многолучевой интерференционной картине будет рассмотрено на примере дифракционной решетки. Здесь мы изучим интерференцию при многократных отражениях света от двух параллельных поверхностей (метод деления амплитуды).
На этом принципе действует интерферометр Фабри
-
Перо, широко используемый в спектроскопии высокого разрешения и в метрологии.
4.4. Дифракция света. Принцип Гюйгенса –ФренеляДифракцией света принято называть отклонение от прямолинейного распространения света вблизи препятствий, например, при прохождении света через отверстие. Строгое решение дифракционных задач может быть, в принципе, найдено, исходя из волнового уравнения и граничных условий. Однако, в такой строгой постановке решение, ввиду сложности, удается получить только в нескольких простейших случаях. В оптике, как правило, используются
приближенные методы, опирающиеся на принцип Гюйгенса
-
Френеля. Получаемые при этом решения вполне пригодны для практических приложений.
Принцип Гюйгенса
-
Френеля следует рассматривать как рецепт приближенного решения дифракционных задач. В основе его лежит допущение о том, что каждый элемент поверхности волнового фронта можно рассматривать как источник вторичных волн, распространяющихся во всех направлениях (рис.
2.1.). Эти волны когерентны, так как они возбуждены одной и той же первичной волной. Результирующее поле в точке наблюдения
P может быть найдено как результат интерференции вторичных волн. В качестве поверхности вторичных источников может быть выбрана не только поверхность волнового фронта, но и любая другая замкнутая поверхность. При этом фазы и амплитуды вторичных волн определяются значениями фазы и амплитуды первичной волны.
Рисунок 2.1.
Принцип Гюйгенса–Френеля.
В соответствии с принципом Гюйгенса–Френеля комплексная амплитуда поля в точке наблюдения
P, обусловленная действием вторичных источников, заселяющих малый элемент поверхности ds,
может быть записана в виде(2.1)
Здесь
–
комплексная амплитуда поля первичной волны от источника на элементе ds,
–
длина волны (источник предполагается монохроматическим),
–
так называемый коэффициент наклона, зависящий от угла между нормалью к элементу поверхности ds и радиусом
- вектором
. В теории Френеля не было дано конкретного вида зависимости
; многие задачи теории дифракции света могут быть решены при весьма общих предположениях относительно этой зависимости. Важно только принять во внимание, что
–
медленно убывающая функция угла
, принимающая значение
K =
1 при
. Вид функции был получен в теории Кирхгофа (1883
г.), развитой на основе анализа решений волнового уравнения. Таким образом, излучение вторичных источников не изотропно, хотя волновые фронты
(то есть поверхности постоянной фазы) являются сферическими.
При более точной количественной формулировке принципа Гюйгенса–Френеля следовало бы учесть в (2.1) фазовый сдвиг на
π/2
между излучением вторичных источников и первичной волной.
Во многих задачах точное значение фазы колебаний не представляет интереса, поэтому не имеет смысла усложнять соотношение (2.1). Полное поле в точке
Pможет быть найдено путем интегрирования (2.1) по всем вторичным источникам.
При решении дифракционных задач, когда речь идет о распространении световых волн вблизи препятствий, принцип Гюйгенса
-
Френеля следует дополнить постулатом Френеля о граничных условиях.
Рисунок 2.2.
Граничные условия.
Пусть на экран с отверстием падает плоская волна (рис.
2.2). Постулат Френеля сводится к требованию заселения вторичными источниками только той части поверхности волнового фронта, которая не затенена экраном. Интегрирование выражения (2.1) следует выполнить по поверхности
S, изображенной на рис.
2.2 пунктирной линией. При этом, там, где поверхность
S затенена экраном, амплитуда вторичных волн равна нулю. На открытых частях экрана поле первичной волны предполагается невозмущенным. Постулат Френеля означает, что при интегрировании (2.1) комплексную амплитуду первичной волны следует заменить на
, определяемую следующим образом:
Здесь
–
координаты в плоскости экрана. Обозначая через g комплексную амплитуду поля в точке наблюдения, можно записать
(2.2)
Постулат Френеля, как и принцип Гюйгенса–Френеля, носит приближенный характер. Его применение сильно упрощает дифракционную задачу и приводит к достаточно хорошим для практики результатам при условии, что размеры препятствий, на которых дифрагирует свет, а также расстояние между препятствием и точкой наблюдения велики по сравнению с длиной волны.
На
основе принципа Гюйгенса-
Френеля удается получить простое наглядное решение некоторых дифракционных задач (задачи с осевой симметрией, дифракция на одномерных препятствиях). В общем случае дифракционная задача сводится к вычислению интеграла (2.2).
4.5. Дифракция Френеля. Зоны Френеля: прямолинейное распространение света, дифракция на круглом отверстии и круглом экране. Дифракция Фраунгофера на щели. Дифракционная решетка,разрешающая способностьРассмотрим
дифракцию в сходящихся лучах,или
дифракцию Френеля,осуществляемую в том случае, когда дифракционная картина наблюдается на конечном расстоянии от препятствия, вызвавшего дифракцию.
1. Дифракция на круглом отверстии.Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника
S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием. Дифракционную картину наблюдаем на экране
Эв точке
В,лежащей на линии, соединяющей
S с центром отверстия (рис.
259). Экран параллелен плоскости отверстия и находится от него на расстоянии
b. Разобьем открытую часть волновой поверхности Ф на зоны Френеля. Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, открываемых отверстием. Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке
Ввсеми зонами (см. (177.1) и (177.6)),
где знак плюс соответствует нечетным
m и минус —
четным
т Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда (интенсивность) в точке
Вбудет больше, чем при свободном распространении волны; если четное, то амплитуда
(интенсивность) будет равна нулю. Если отверстие открывает одну зону Френеля, то в точке
Вамплитуда
А=А1
, т. е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием.
Интенсивность света больше соответственно в четыре раза. Если отверстие открывает две зоны
Френеля, то их действия в точке
Впрактически уничтожат друг друга из
- за интерференции. Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия вблизи точки
Вбудет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке
В(если
тчетное, то в центре будет темное кольцо, если
m нечетное —
то светлое кольцо), причем интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины.
Расчет амплитуды результирующего колебания на внеосевых участках экрана более сложен, так как соответствующие им зоны Френеля частично перекрываются непрозрачным экраном.
Если отверстие освещается не монохроматическим, а белым светом, то кольца окрашены.
Число зон Френеля, открываемых отверстием, зависит от его диаметра. Если он большой, то
Аm<<
A1
и результирующая амплитуда
A=A1
/2
, т. е. такая же,
как и при полностью открытом волновом фронте. Никакой дифракционной картины не наблюдается, свет распространяется,
как и в отсутствие круглого отверстия, прямолинейно.
2. Дифракция на диске.Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника
S, встречает на своем пути диск. Дифракционную картину наблюдаем на экране Э в точке
В,лежащей на линии, соединяющей
S с центром диска (рис. 260). В данном случае закрытый диском участок волнового фронта надо исключить из рассмотрения и зоны Френеля строить начиная с краев диска. Пусть диск закрывает
m первых зон Френеля. Тогда амплитуда результирующего колебания в точке
Вравна или так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Следовательно, в точке
В всегданаблюдается интерференционный максимум (светлое пятно), соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами, а интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины.
С увеличением радиуса диска первая открытая зона Френеля удаляется от точки
Ви увеличивается угол
т(см. рис. 258) между нормалью к поверхности этой зоны и направлением на точку
В.В результате интенсивность центрального максимума с увеличением размеров диска уменьшается. При больших размерах диска за ним наблюдается тень, вблизи границ которой имеет место весьма слабая дифракционная картина.
В данном случае дифракцией света можно пренебречь и считать свет распространяющимся прямолинейно.
Отметим, что дифракция на круглом отверстии и дифракция на диске впервые рассмотрены
Френелем.
Дифракция на одной щели.Рассмотрим дифракцию плоской монохроматической волны на щели, плоскость которой перпендикулярна направлению распространения волны.
Все вторичные источники в плоскости щели имеют одинаковую фазу. Поэтому при вычислении фазы излучения в точке наблюдения на экране за
щелью остается учесть разность фаз, которая "набегает" от щели до экрана. Будем считать, что экран находится далеко от щели, что соответствует дифракции Фраунгофера. Подробнее дифракция Фраунгофера обсуждается ниже.
Если экран далеко, то можно считать, что точки на пунктирной прямой
(рис. 31) одинаково удалены от точки наблюдения.
Тогда для участка щели с координатой расстояние до точки наблюдения равно плюс несущественная константа.
С изменением y
- координаты линейно меняется расстояние до экрана, а значит
- фаза поля, и угол поворота комплексной амплитуды на комплексной плоскости. Если мы мысленно разобьем щель на тонкие полоски одинаковой ширины
, то одинаковые по модулю комплексные амплитуды от соседних полосок в точке наблюдения будут развернуты друг относительно друга на равные углы
. Складывая много маленьких векторов, мы получим картину их выстраивания в дугу окружности, так как одинаковы амплитуды векторов и одинаковы углы доворота между соседними векторами (рис. 32).
Векторная сумма
- вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего. Если суммируемые векторы образуют дугу окружности, то результирующий вектор
- ее хорда.
Интенсивность,
равна квадрату длины этой хорды и не изменяется при повороте комплексных амплитуд на комплексной плоскости.
Следовательно,
интенсивность не зависит от общего поворота векторов на рис. 32. Поэтому ориентацию начального вектора суммы можно выбрать произвольно. Обычно первый вектор направляют вдоль оси X.
Обсудим, что изменится в картине сложения амплитуд на комплексной плоскости при изменении направления регистрации света.
Изменение угла между направлением наблюдения и нормалью к плоскости щели приводит к изменению угла на комплексной плоскости между векторами комплексных амплитуд волн пришедших в точку наблюдения от соседних участков щели:
. При сложении векторов на комплексной плоскости это приводит к изменению радиуса дуги окружности при сохранении длины дуги. Дуга несколько сворачивается или разворачивается (рис. 33).
Длина дуги равна сумме модулей комплексных амплитуд волн, пришедших от разных участков щели, поэтому она сохраняется при изменении направления наблюдения
При условии дуга окружности разворачивается в прямую линию, что соответствует максимуму дифракционной картины, а квадрат длины дуги определяет интенсивность света в максимуме.
При увеличении угла наступает момент, когда амплитуда и
интенсивность дифрагированного света равны нулю. Это
происходит тогда, когда дуга (рис. 33) сворачивается в окружность, а длина хорды, соответственно,
обращается в нуль. При этом фаза последнего суммируемого вектора отличается от фазы первого вектора на
, а разность хода от двух краев щели до точки наблюдения равна
. Следовательно направление нулевой интенсивности дифрагированной волны можно найти из равенства
, где
- полная ширина щели. Если
, то
Большая часть энергии при дифракции на
одной щели распространяется в угол. Это угол между двумя направлениями на первый нуль интенсивности дифрагированной волны в обе стороны от центрального максимума. Полезно запомнить, что на щели свет дифрагирует примерно в угол
, так как для рассуждений "на пальцах" коэффициент 2 не имеет значения.
При дальнейшем увеличении угла дифракции интенсивность после нулевого значения снова возрастает, так как длина дуги становится больше длины окружности, а амплитуда света равна хорде, проведенной из начала в конец дуги. Максимум амплитуды достигается, когда дуга сворачивается примерно в полторы окружности. Далее при увеличении угла амплитуда и
интенсивность снова убывают и обращаются в ноль при условии, что дуга сворачивается в две окружности:
и т.д.
Количественно решение задачи можно найти, если выразить квадрат длины хорды
(
интенсивность для текущего угла
) через квадрат длины дуги (интенсивность в максимуме) и угол, под которым дуга видна из центра окружности. Этот угол, как видно из рис. 33, равен разности фаз излучения от краев щели, которая в свою очередь равна
. Оставшаяся часть решения задачи чисто геометрическая. В результате,
интенсивность дифрагированного света выражается по формуле
, где
Решение можно найти и другим путем, складывая комплексные амплитуды аналитически, а не геометрически. При этом надо складывать комплексные числа с одинаковыми амплитудами
(пусть
) и с разными фазами
, где
- координата на щели текущего вторичного источника. Тогда суммарная амплитуда может быть получена по формуле:
Интенсивность связана с комплексной амплитудой соотношением
. В окончательном выражении можно избавиться от параметра
,
используя вместо него - интенсивность при
Что изменяется в картине сложения амплитуд на комплексной плоскости при изменении других параметров задачи?
Если изменять ширину щели при сохранении направления наблюдения, то изменяется длина дуги окружности при сохранении ее радиуса. Значения амплитуды дифрагированной волны для двух значений ширины щели приведены на рис. 34.
Если изменять интенсивность падающей волны, то картина сложения амплитуд дифрагированных волн будет меняться так, как изображено на рис.
35.
Скачать 3.1 Mb.