Подготовка по физике. Волны Общие свойства волн. Определение волны
 Скачать 3.1 Mb.
|
|
. (5.14) Здесь постоянная (5.15) точно соответствует по величине постоянной Ридберга, найденной из оптических экспериментов. Полученная формула для частот излучения атома водорода точно совпадает с обобщенной формулой Бальмера (5.1 а). Не удивительно, поэтому, что теория Бора атома водорода, в основе которой лежит постулат квантования (5.3) , в 1922 г. была удостоена Нобелевской премии по физике. Изложенная выше теория может быть обобщена на случай эллиптических орбит (Теория Бора - Зоммерфельда, 1915 г.) и для описания свойств любых "водородоподобных" атомов - атомных систем, содержащих один электрон, движущийся в поле ядра с положительным зарядом Это однократно ионизированный гелий , двукратно ионизированный литий , трехкратно ионизированный бериллий и т.д. Простой пересчет показывает, что энергетический спектр водородоподобного иона получается из (5.12) умножением на , а радиус орбит электрона оказывается в раз меньше, чем в атоме водорода. Н.Бор в своей теории атома водорода впервые реализовал идею квантования энергии частицы, движущейся в силовом поле. Однако, эта теория не может рассматриваться как законченная теория атомных явлений. Описывая атом законами классической физики, Бор просто "запретил" электрону, движущемуся по стационарной орбите, излучать электромагнитные волны. При этом условие квантования момента импульса электрона (5.3) не имеет общего физического обоснования, и фактически, угадано (в дальнейшем будет показано даже, что угадано не совсем верно) для атома водорода. Попытки Бора обобщить теорию и сформулировать постулаты квантования для более сложных атомов не увенчались успехом. С позиции современной физики, атом является физической системой, которая, заведомо, не может быть описана классической теорией, не учитывающей волновых свойств движущегося в атоме электрона. В последующих параграфах настоящей главы будет рассмотрено, как современная квантовая теория формулирует и решает проблему описания атомных систем. Для электрона, движущегося по круговой орбите радиуса , момент импульса связан с импульсом простым соотношением: . Поэтому, условие квантования (5.3) можно преобразовать к виду . Согласно гипотезе де Бройля движение электрона следует связать с волновым процессом, длина волны которого . Поэтому условие квантования Бора можно записать как . Из равенства ускорений электрона и ядра вытекает условие равенства их угловых скоростей вращения , где и - скорости электрона и ядра, соответственно. С учетом движения ядра, момент импульса атома . В качестве основных уравнений теории запишем условие вращения электрона по круговой орбите и и условие Бора квантования момента импульса атома Если расстояние между электроном и ядром обозначить через , то после преобразований эти соотношения запишутся в виде Здесь введена приведенная масса системы "электрон - ядро" . Решая полученную систему уравнений, находим для стационарных состояний атома ( ) . Полная энергия атома . Подставляя сюда значения и , получаем формулу квантования энергии атома . Отсюда находим частоты спектральных линий излучения такого атома: , где модифицированная постоянная Ридберга . Введение в квантовую механику 1. Гипотеза де - Бройля, ее экспериментальное подтверждение(дифракция электронов,…) В 1923 году в одном из своих докладов Парижской Академии наук де - Бройль говорил о возможных путях экспериментальной проверки своей теории: «Поток электронов, проходя через узкую щель, должен был бы дать явление дифракции». Однако первое подтверждение справедливости волновой механики было получено в опытах по интерференции электронов. 1.1. Опыт Дэвиссона –Джермера (1926) Здесь пучок ускоренных электронов направлялся на монокристалл никеля. Одна из вершин этого кристалла сошлифована перпендикулярно к большой диагонали кристаллической ячейки. Отраженные электроны улавливались «цилиндром Фарадея», соединенным с гальванометром. Этот измерительный цилиндр мог перемещаться по дуге вокруг кристалла. Сам кристалл тоже мог поворачиваться относительно оси, совпадающей с направлением падающего пучка электронов. Расстояние между атомными плоскостями монокристалла никеля – d было известно из рентгенографических исследований. Как следует из графиков рис. 13.2, сила тока рассеянных электронов оказалась максимальной при определенном значении угла рассеяния θ. Рис. 13.2 Длина волны, соответствующая этому интерференционному максимуму, оказалась равной (см. рис.13.3): d cosθ = m λ Þ λ = 1.65 Å. В то же время легко рассчитать длину волны де - Бройля падающих электронов Здесь: — скорость электронов при ускоряющем напряжении U = 54 В Рис. 13.3 Совпадение этих длин волн и явилось первым подтверждением волновых свойств частиц – в данном случае электронов. Вскоре удалось наблюдать экспериментально и дифракцию электронов. Это явление исследовалось в лабораториях П.С. Тартаковского, Г.П. Томсона, В.А. Фабриканта и др. ученых. Схемы их опытов очень близки (рис. 13.4) Рис. 13.4 Рис. 13.5 Тонких пучок ускоренных электронов пронизывал золотую фольгу (в опытах П.С. Тартаковского) и падал на фотопластинку. Результат дифракции электронов на кристаллической решетке приведен на рис. 13.5. 1.2. Волновые свойства микрочастиц. Принцип неопределенности Гейзенберга На рис. 13.6 приведена схема мысленного эксперимента, поясняющего необычные свойства микрочастиц. Рис. 13.6 Здесь пучок ускоренных электронов падает на экран с двумя узкими щелями. Если закрыть одну щель, то электроны, прошедшие через другую, рассеются так, как показано на рис. 13.7 а. Рис. 13.7 Подобное же распределение, но несколько смещенное будет получено, если закрыть вторую щель и открыть первую (рис. 13.7 б) Теперь оставим открытыми обе щели. Здравый смысл подсказывает, что новое распределение частиц должно равняться сумме первых двух (рис.13.7 в) Однако опыт свидетельствует совсем о другом (рис.13.8). Рис. 13.8 Распределение электронов отвечает интерференции двух когерентных волн! Таким образом, на движение каждого отдельного электрона оказывают влияние обе щели! Этот мысленный эксперимент подтверждает тот факт, что микрочастица - волна не просто «маленькое» материальное тело. Это объект, наделенный особыми свойствами, присущими элементам микромира. Так, например, нельзя указать траекторию микрочастицы, измерить одновременно ее скорость и координату… Рассмотрим еще один пример: дифракцию микрочастиц на щели. Поток микрочастиц подлетает к экрану со щелью (рис.13.9). Пусть экран перпендикулярен потоку. Рис. 13.9 Достоверно известно, что перед щелью х - компонента импульса микрочастицы P x = 0. Здесь скорость частиц перпендикулярна экрану, т. е. оси x . Погрешность этого сведения ∆ P x = 0. Но при этом совершенно не определена х - координата частицы. Теперь рассмотрим движение частицы - волны в щели ∆х За щелью дифрагировавшие частицы будут отклонены в пределах угла ± φ. Это максимальный угол, соответствующий дифракционному минимуму Отклонение на угол φ означает, что у микрочастицы появилась х - компонента импульса Кроме того, теперь в щели мы можем указать х - координату с погрешностью Тогда или Последний результат обобщен Гейзенбергом и сформулирован как один из основных принципов квантовой механики. 2. Принцип неопределенности Гейзенберга и его следствия (неприменимость классической механики для атомов, оценка энергии основного состояния атома водорода). Произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть меньше (13.3) Сопряженными величинами являются координаты и соответствующие проекции импульса, энергия и время. Произведение неопределенностей этих величин не может быть меньше по порядку величины постоянной Планка ħ т.е. (13.4) Последнее соотношение означает, что чем точнее мы хотели бы померить энергию частицы, тем большее время займет это измерение. 3. Основные положения квантовой механики. Связь пси - функции с состоянием микрочастицы, плотность вероятности. Условие непрерывности пси - функции и ее пространственных производных . Операторы физических величин, их роль в определении возможных значений физ. величины, среднего значения физ.величины. Физический смысл собственных функций и собственных Тепловое излучение — электромагнитное излучение, испускаемое нагретыми телами за счет своей внутренней энергии. Абсолютно черное тело — тело, поглощающее всю энергию падающего на него излучения любой частоты при произвольной температуре. Энергия кванта излучения прямо пропорциональна частоте v излучения: где h = 6,6 • 10 -34 Дж • с — постоянная Планка. Фотон — микрочастица, квант электромагнитного излучения. Закон Стефана—Больцмана: Интегральная светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры: где σ = 5,67 • 10 -8 Вт/(м 2 • К 4 ) - постоянная Стефана—Больцмана. Фотоэффект— явление вырывания электронов из твердых и жидких веществ под действием света. Законы фотоэффекта 1. Фототок насыщения прямо пропорционален интенсивности света, падающего на катод. 2. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов прямо пропорциональна частоте света и не зависит от его интенсивности. 3. Для каждого вещества существует минимальная частота света, называемая красной границей фотоэффекта, ниже которой фотоэффект невозможен. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта: Энергия фотона идет на совершение работы выхода и на сообщение вылетевшему фотоэлектрону кинетической энергии. Работа выхода— минимальная работа, которую нужно совершить для удаления электрона из металла. Красная граница фотоэффекта Корпускулярно - волновой дуализм — проявление в поведении одного и того же объекта как корпускулярных, так и волновых свойств. Корпускулярно - волновой дуализм — универсальное свойство любых материальных объектов. Волновая теория правильно описывает свойства света при больших интенсивностях, т.е. когда число фотонов велико. Квантовая теория используется при описании свойств света при малых интенсивностях, т.е. когда число фотонов мало. Любой частице, обладающей импульсом р соответствует длина волны де Бройля: В процессе измерения меняется состояние микрообъекта. Одновременное точное определение координаты и импульса частицы невозможно. Соотношения неопределенностей Гейзенберга: 1. Произведение неопределенности координаты частицы на неопределенность ее импульса не меньше постоянной Планка: 2. Произведение неопределенности энергии частицы на неопределенность времени ее измерения не меньше постоянной Планка: Постулаты Бора: 1. B устойчивом атоме электрон может двигаться лишь по особым, стационарным орбитам, не излучая при этом электромагнитной энергии 2.Излучение света атомом происходит при переходе атома из стационарного состояния с большей энергией E k в стационарное состояние с меньшей энергией Е n . Энергия излученного фотона равна разности энергий стационарных состояний: Правило квантования орбит Бора: На длине окружности каждой стационарной орбиты укладывается целое число n длин волн де Бройля, соОтветствующих движению электрона Физический смысл волновой функции В координатном представлении волновая функция зависит от координат (или обобщѐнных координат) системы. Физический смысл приписывается квадрату еѐ модуля , который интерпретируется как плотность вероятности (для дискретных спектров — просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами в момент времени : Тогда в заданном квантовом состоянии системы, описываемом волновой функцией , можно рассчитать вероятность того, что частица будет обнаружена в любой области конфигурационного пространства конечного объема : Следует также отметить, что возможно измерение и разницы фаз волновой функции, например, в опыте Ааронова — Бома Условия регулярности волновой функции Вероятностный смысл волновой функции накладывает определенные ограничения, или условия, на волновые функции в задачах квантовой механики. Эти стандартные условия часто называют условиями регулярности волновой функции. Условие конечности волновой функции. Волновая функция не может принимать бесконечных значений, таких, что интеграл станет расходящимся. Следовательно, это условие требует, чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой функцией. В частности, в задачах с нормированной волновой функцией квадрат модуля волновой функции должен стремиться к нулю на бесконечности. Условие однозначности волновой функции. Волновая функция должна быть однозначной функцией координат и времени, так как плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться в каждой задаче однозначно. В задачах с использованием цилиндрической или сферической системы координат условие однозначности приводит к периодичности волновых функций по угловым переменным. Условие непрерывности волновой функции. В любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Кроме того, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции , , . Эти частные производные функций лишь в редких случаях задач с идеализированными силовыми полями могут терпеть разрыв в тех точках пространства, где потенциальная энергия, описывающая силовое поле, в котором движется частица, испытывает разрыв второго рода. Принцип суперпозиции квантовых состояний Основная статья: Квантовая суперпозиция Для волновых функций справедлив принцип суперпозиции, заключающийся в том, что если система может пребывать в состояниях, описываемых волновыми функциями и , то она может пребывать и в состоянии, описываемом волновой функцией при любых комплексных и Очевидно, что можно говорить и о суперпозиции (сложении) любого числа квантовых состояний, то есть о существовании квантового состояния системы, которое описывается волновой функцией В таком состоянии квадрат модуля коэффициента определяет вероятность того, что при измерении система будет обнаружена в состоянии, описываемом волновой функцией Поэтому для нормированных волновых функций Операторы физических величин 3.5. Собственные функции и собственные значения операторов Основные свойства собственных функций. Значения, которые может принимать данная физическая величина называют в квантовой механике ее собственными значениями. Нахождение таких значений тесно связано с математической задачей определения собственных функций и соответствующих им собственных значений оператора Если при действии оператора на некоторую функцию получается та же самая функция, умноженная на число, то есть если , (3.43) то такую функцию называют собственной функцией оператора , а число его собственным значением. Квантовомеханические операторы имеют не одну, а множество собственных функций и соответствующих им собственных значений. При этом совокупность собственных значений называют спектром оператора. Спектр оператора считается дискретным, если он состоит из счетного множества значений для соответствующих набору собственных функций , которые представляют собой регулярные решения уравнения вида (3.44) Спектр собственных значений оператора может быть и непрерывным, когда в (3.43) оказываются возможными все значения , либо состоящим из отдельных полос, таких что возможные значения лежат в ряде интервалов. В ряде случаев одному собственному значению оператора принадлежит не одна, а несколько собственных функций . Такие случаи называются вырожденными, а число таких функций называется кратностью вырождения. Из (3.43) следует, что собственные функции, вообще говоря, определены с точностью до некоторой постоянной, значение которой обычно выбирают из условия нормировки собственных функций. Докажем, что собственные числа операторов физических величин в квантовой механике всегда являются действительными числами, и это свойство обусловлено самосопряженностью операторов. Действительно, пусть - самосопряженный оператор, а - его собственная функция, соответствующая собственному значению . По определению, функция является решением уравнения . (3.45) Выполнив здесь операцию комплексного сопряжения, получим . (3.46) Если в соотношении (3.42), которое для самосопряженного оператора выполняется тождественно, положить , то в результате получим интегральное соотношение , (3.47) которое с учетом (3.45) и (3.46) преобразуется к виду . (3.48) Отсюда следует, что , т.е собственные значения самосопряженных операторов всегда являются действительными величинами. Докажем важное свойство ортогональности собственных функций квантовомеханических операторов. Если и - две собственные функции самосопряженного оператора , соответствующие различным собственным значениям и , то они являются решениями следующих уравнений |