Подготовка по физике. Волны Общие свойства волн. Определение волны
 Скачать 3.1 Mb.
|
|
Волны 1. Общие свойства волн. 1.1. Определение волны Волна — изменение состояния среды или физического поля (возмущение), распространяющееся либо колеблющееся в пространстве и времени или в фазовом пространстве. 1.2. Механические и электромагнитные волны Механические волны – процесс распространения механических колебаний в среде (жидкой, твердой, газообразной). Следует запомнить, что механические волны переносят энергию, форму, но не переносят массу. Важнейшей характеристикой волны является скорость ее распространения. Волны любой природы не распространяются в пространстве мгновенно, их скорость конечна. Электромагнитные волны – электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве с конечной скоростью, зависящей от свойств среды. Электромагнитной волной называют распространяющееся электромагнитное поле 1.3. Связь вида волн со свойствами среды и источника. Волновой фронт Волны называются поперечными, если частицы среды колеблются перпендикулярно (поперек) лучу волны. Они существуют в основном за счет сил упругости, возникающих при деформации сдвига, а поэтому существуют только в твердых средах. На поверхности воды возникают поперечные волны, так как колеблется граница сред. В поперечных волнах различают горбы и впадины. Длина поперечной волны - расстояние между двумя ближайшими горбами или впадинами. Волны называются продольными, если частицы среды колеблются вдоль луча волны. Они возникают за счет деформации сжатия и напряжения, поэтому существуют во всех средах. В продольных волнах различают зоны сгущения и зоны разряжения. Длина продольной волны - расстояние между двумя ближайшими зонами сгущения или зонами разряжения. Плоская волна – волна, у которой направление распространения одинаково во всех точках пространства. где А - амплитуда, - фаза, - круговая частота, Т - период колебаний, k - волновое число. Цилиндрическая волна – волна, радиально расходящаяся от или сходящаяся к некоторой оси в пространстве или точке на плоскости. В последнем случае эти волны называются также круговыми. Примерами ЦВ могут служить волны на поверхности воды от брошенного камня или колеблющегося поплавка, электромагнитные или акустические волны, возбуждаемые источниками, расположенными в пространстве, ограниченном, направленном двумя плоскопараллельными отражателями. где w - круговая частота, k - волновое число. На больших расстояниях от оси ( kr >> 1) волновое поле (1) приобретает вид Сферическая волна – волна, радиально расходящаяся от источника или сходящаяся к приѐмнику. Волновой фронт еѐ — сфера. Простейшим примером является гармоническая симметричная СВ в среде без поглощения: Волновой фронт (фронт волны) - геометрическое место множества точек, до которых дошло колебание к данному моменту времени 1.4. Монохроматические волны Монохроматическая волна — модель в физике, удобная для теоретического описания явлений волновой природы, означающая, что в спектр волны входит всего одна составляющая по частоте Монохроматическая волна — строго гармоническая (синусоидальная) волна с постоянными во времени частотой , амплитудой и начальной фазой. Стоячая монохроматическая волна — волна, формирующаяся при распространении двух плоских монохроматических электромагнитных волн одинаковой поляризации навстречу друг другу. 1.5. Волновая поверхность, фазовая скорость, длина волны, групповая скорость и еѐ физический смысл. Вектор Умова Волновая поверхность — геометрическое место точек, испытывающих возмущение обобщенной координаты в одинаковой фазе. Если источником волны является точка, то волновые поверхности в однородном и изотропном пространстве представляют собой концентрические сферы. Фазовая скорость — скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движения, в пространстве вдоль заданного направления. Фазовая скорость по направлению волнового вектора совпадает со скоростью движения фазового фронта (поверхности постоянной фазы). Длина волны — расстояние между двумя ближайшими друг к другу точками, колеблющимися в одинаковых фазах, обычно длина волны обозначается греческой буквой Групповая скорость — это величина, характеризующая скорость распространения «группы волн» - то есть более или менее хорошо локализованной квазимонохроматической волны (волны с достаточно узким спектром). Обычно интерпретируется как скорость перемещения максимума амплитудной огибающей квазимонохроматического волнового пакета (или цуга волн). Физический смысл групповой скорости. Групповая скорость во многих важных случаях определяет скорость переноса энергии. Групповая скорость определяется динамикой физической системы, в которой распространяется волна (конкретной среды, конкретного поля и т п ). В большинстве случаев подразумевается линейность этой системы (точно или приближенно). Для одномерных волн групповая скорость вычисляется из закона дисперсии : , где — угловая частота , — волновое число Групповая скорость волн в пространстве (например, трехмерном или двумерном) определяется градиентом частоты по волновому вектору : или (для трехмерного пространства): Вектор Умова - вектор плотности потока энергии физического поля; численно равен энергии, переносимой в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения энергии в данной точке. 1.6. Уравнение плоской бегущей монохроматической волны. Волновой вектор. Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих волн называется вектором Умова. Уравнение бегущей волны : В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид: или где А = const — амплитуда волны, — циклическая частота, 0 — начальная фаза вол - ны, определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t,[ (t — x/v)+ 0 ] — фаза плоской волны. Волновой вектор — вектор, направление которого перпендикулярно фазовому фронту бегущей волны, а абсолютное значение равно волновому числу Связь между волновым вектором и частотой задаѐтся законом дисперсии. Все возможные значения волновых векторов образуют обратное пространство или k - пространство. Наиболее общим определением волнового вектора можно считать такое: волновой вектор есть градиент фазы волны: Для строго монохроматической плоской волны в однородной среде распространения волновой вектор строго фиксирован (не зависит от координат и времени). Любая строго монохроматическая волна в однородной среде может быть представлена как сумма (интеграл) плоских волн с волновыми векторами, имеющими одинаковую абсолютную величину (но разное направление, если волна отличается от плоской). 1.7. Волновое уравнение Волновое уравнение — дифференциальное уравнение в частных производных : или где v — фазовая скорость, — оператор Лапласа. Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид: 2. Краткие сведения о механических волнах 2.1. Поперечные бегущие волны, распространяющиеся вдоль струны 2.2. Звуковые волны в газах (без вывода) 3. Электромагнитные волны 3.1. Вывод волнового уравнения для электромагнитного поля, фазовая скорость для электромагнитных волн Уравнения Максвелла — система дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах. Название Дифференциальная форма Интегральная форма Примерное словесное выражение Закон индукции Фарадея Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле Закон Ампера (с добавкой от Максвелла ) Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле Теорема Гаусса Электрический заряд является источником электрической индукции Теорема Гаусса Магнитная индукция не расходится (не имеет источников). Фазовая скорость электромагнитной волны. В вакууме для электромагнитной волны любой частоты (по крайней мере, в тех диапазонах частот и интенсивностей, которые исследованы) фазовая скорость, измеренная в направлении волнового вектора, всегда равна одной и той же величине — скорости света в вакууме, универсальной константе. В средах закон дисперсии электромагнитных волн достаточно сложен, и фазовая скорость может заметно меняться. 3.2. Плоская бегущая электромагнитная волна в непроводящей среде. Вывод еѐ свойств: поперечность, отношение E/H , плотность энергии, фазовая скорость Волновое уравнение плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси x имеет вид: Простейшим решением этих уравнений являются функции: Уравнение электромагнитной волны в векторной форме Скорость распространения волн в непроводящей нейтральной неферромагнитной среде: Векторы - взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему В электромагнитной волне векторы и всегда колеблются в одинаковых фазах, причем между мгновенными значениями и в любой точке существует связь Плотность энергии электромагнитной волны 3.3. Поток энергии электромагнитной волны, вектор Пойнтинга Для электромагнитной волны плотность потока энергии определяется вектором Пойнтинга S (в российской научной традиции — вектор Умова — Пойнтинга). В системе СИ вектор Пойнтинга равен (векторному произведению напряжѐнностей электрического и магнитного полей) и направлен перпендикулярно векторам E и H. Это естественным образом согласуется со свойством поперечности электромагнитных волн. Вместе с тем, формула для плотности потока энергии может быть обобщена для случая стационарных электрических и магнитных полей и имеет тот же вид: . Факт существования потоков энергии в постоянных электрических и магнитных полях может выглядеть странно, но не приводит к каким - либо парадоксам; более того, такие потоки обнаруживаются в эксперименте. 4. Суперпозиция волн 4.1. Принцип суперпозиции волн. Стоячие волны Принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы каждой волны. Интерференция волн – наложение двух (или нескольких) когерентных волн, в результате чего происходит усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Когерентными называются волны одного направления одинаковой частоты и постоянной разности фаз. Рассмотрим наложение двух когерентных волн, возбуждаемых точечными источниками (для простоты начальные фазы φ0=0): ξ1(r,t)=A1·cos[ω(t - r1/υ)] ξ2(r,t)=A2·cos[ω(t - r2/υ)]. Разность фаз этих колебаний равна: φ1 - φ2=(ω/υ)·(r1 - r2)=Δr·ω/υ=Δr·2π/υT=Δr·2π/λ, (115) где Δr=r1 -r2 - разность хода волн, λ=υT - длина волны. 1) если колебания происходят в одинаковой фазе, т.е. φ1 - φ2=±2kπ (k=0,1,2...), (116) то наблюдается максимум интерференции. Приравниваем (115) и (116): Δr·2π/λ=±2kπ. Получаем условие максимума при интерференции: Δr=±kλ=±2k·λ/2 (k=0,1,2...) (117) В этом случае A=A1+ A2. 2) если колебания происходят в противофазе, т.е. φ1 - φ2=±(2k+1)π (k=0,1,2...), (118) то наблюдается минимум интерференции. Приравниваем (115) и (117): Δr·2π/λ=±(2k+1)π Получаем условие минимума при интерференции: Δr=±(2k+1)·λ/2 (k=0,1,2...) (118) В этом случае A=| A1 -A2 | Стоячая волна — колебания в распределѐнных колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов ) амплитуды Практически такая волна возникает при отражениях от преград и неоднородностей в результате наложения отражѐнной волны на падающую. При этом крайне важное значение имеет частота , фаза и коэффициент затухания волны в месте отражения. В случае гармонических колебаний в одномерной среде стоячая волна описывается формулой: , где u — возмущения в точке х в момент времени t, — амплитуда стоячей волны, — частота, k — волновой вектор , — фаза Стоячие волны являются решениями волновых уравнений. Их можно представить себе как суперпозицию волн, распространяющихся в противоположных направлениях. При существовании в среде стоячей волны, существуют точки, амплитуда колебаний в которых равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания имеют максимальную амплитуду, называются пучностями 4.2. Явление интерференции. Условие интерференции, перераспределение энергии в пространстве при интерференции, особенности интерференции в оптике . Связь максимумов и минимумов при интерференции с разностью фаз. Оптический путь, связь разности фаз с оптической разностью хода Явление интерференции является характерным признаком волновых процессов любой природы. Интерференцией называется сложение в пространстве волн, при котором образуется постоянное во времени распределение амплитуд результирующих колебаний. При интерференции происходитпространственное перераспределение энергии волны. В одних точках наблюдается концентрация энергии (интерференционные максимумы), в других - гашение волн (интерференционные минимумы). Причиной перераспределения энергии является разность фаз колебаний в складывающихся волнах. Необходимое условие - когерентность волн. Когерентными называются волны одинаковой частоты, разность фаз которых не изменяется со временем в каждой точке волнового поля. Кроме того, колебания полей в этих волнах должны происходить в одной плоскости. Условия образования максимумов и минимумов в интерференционной картине. Результат сложения волн, приходящих в точку наблюдения М от двух когерентных источников О1 и О2зависит от разности фаз между ними (см. рис 1.) рис. 1. Расстояния, проходимые волнами от источников до точки наблюдения, равны соответственно d1и d2. Величина называется геометрической разностью хода d = d2- d1. Эта величина и определяет разность фаз колебаний в точке М. Возможны два предельных случая наложения волн. Условия максимумов Условия минимумов Разность хода d = k· , где k = 0, 1, 2... Разность хода d = · Разность фаз ·k· Разность фаз · Колебания в точке наложения волн имеют одинаковую фазу. Колебания в точке наложения волн имеют противоположную фазу. Наблюдается усиление колебаний Наблюдается ослабление колебаний. Способы наблюдения интерференции. Обычные источники света не являются когерентными, так как состоят из большого числа атомных излучателей. работающих независимо друг от друга. Для получения интерференционной картины прибегают к искусственным приемам. Сущность подобных методов заключается в том, что световой пучок, идущий от одного источника, делится на два пучка, которые друг другу когерентны и при наложении интерферируют. Например, в методе Юнга свет от точечного источника падает на непрозрачную преграду с двумя близкими узкими щелями, которые расщепляют исходный световой пучок на два когерентных пучка (см. рис. 2). рис.2 В области за преградой происходит наложение волн, идущих от щелей. Если в эту область поместить экран, то на его поверхности наблюдается интерференционная картина, представляющая собой чередование темных и светлых полос. Интерференцию можно наблюдать и в естественных условиях. Например, окраска мыльных пузырей или тонких пленок бензина на поверхности воды объясняется интерференцией волн отраженных от наружной и внутренней поверхности пленки. Ход лучей в тонких пленках изображен на рис. 3. Рис. 3. Объясним цветовую окраску интерференционных полос. Пленка освещается белым светом, состоящим из волн имеющих разную частоту (и длину волны). Разность хода лучей, отраженных от разных граней пленки, зависит от ее толщины. При определенной толщине условие максимума выполнится для какой - то длины волны ( ), и пленка в отраженном свете приобретет окраску в цвет, соответствующий данной длине волны . Если пленка имеет переменную толщину, то интерференционные полосы приобретут радужную окраску. 4.3. Примеры интерференции: двулучевая интерференция, интерференция при отражении от тонких пластинок, кольца Ньютона, многолучевая интерференция При наложении когерентных световых волн происходит перераспределение светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других - минимумы интенсивности. Это явление называется интерференцией волн Двулучевая интерференция: Под двулучевой интерференцией понимают интерференционную картину, возникающую при сложении двух световых волн одинаковой частоты. Расщепление первоначальной волны от источника на две и последующее их сведение на экране — общий признак всех двулучевых интерференционных схем. Опыт Юнга: Схема 1 — опыт Юнга — первый опыт по наблюдению интерференции света, осуществленный в 1827 г. Источником света служит ярко освещенная щель S. Свет, прошедший через 5, падает на две узкие щели S1 и S2. Световые пучки, прошедшие через S1 и S2, уширяются вследствие дифракции. Интерференция наблюдается на экране в области перекрытия дифракционных пучков. |