Подготовка по физике. Волны Общие свойства волн. Определение волны
 Скачать 3.1 Mb.
|
|
. (3.49) Условие (3.42) самосопряженности оператора , записанное для функций и принимает вид . (3.50) Отсюда с учетом (3.49) получаем . (3.51) Так как для самосопряженного оператора , то (3.51) преобразуется к виду . (3.52) Если , то , и из (3.52) получаем условие ортогональности собственных функций, соответствующих различным собственным значениям, . (3.53) Если волновые функции и считать нормированными на единицу, то условие ортогональности (3.53) собственных функций может быть записано как условие ортонормированности , (3.54) где символ Кронекера , и В математической теории линейных самосопряженных операторов доказывается, что система собственных функций квантовомеханических операторов является полной системой функций. Это означает, что всякая волновая функция , определенная в той же области переменных, что и собственные функции оператора, может быть разложена по собственным функциям, то есть представлена в виде ряда . (3.55) Коэффициенты этого разложения (в общем случае комплексные) можно определить, воспользовавшись ортогональностью собственных функций. Действительно, умножим ряд (3.55) на и проинтегрируем по всему пространству. Тогда, изменив порядок суммирования и интегрирования, получим . (3.56) Отсюда, меняя обозначение на , получаем формулу для определения коэффициентов в разложении (3.55): . (3.57) Если оператор имеет непрерывный спектр собственных значений , лежащих в интервале , то в разложении любой волновой функции по собственным функциям суммирование переходит в интегрирование. Поэтому , (3.58) и непрерывное множество коэффициентов определяется по формуле . (3.59) 4. Уравнение Шредингера. Стационарное уравнение Шредингера. Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрѐдингера. Пусть волновая функция задана в n - мерном конфигурационном пространстве, тогда в каждой точке с координатами , в определенный момент времени t она будет иметь вид В таком случае уравнение Шрѐдингера запишется в виде: где , — постоянная Планка; — масса частицы, — внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке в момент времени , — оператор Лапласа (или лапласиан), эквивалентен квадрату оператора набла и в n - мерной системе координат имеет вид: 5. Решение уравнения Шредингера для свободных микрочастиц с определенным вектором p (волны де - Бройля) . Частицы в бесконечной потенциальной яме. Квантование энергии связанных частиц Движение свободной частицы Свободная частица — частица, движущаяся в отсутствие внешних полей. Так как на свободную частицу (пусть она движется вдоль оси х) силы не действуют, то потенциальная энергия частицы U(x) = const и ее можно принять равной нулю. Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией. В таком случае уравнение Шредингера для стационарных состояний примет вид (219.1) Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением уравнения (219.1) является функция y(х) = Аеikx , где А = const и k = const, с собственным значением энергии (219.2) Функция представляет собой только координатную часть волновой функции Y(x, t). Поэтому зависящая от времени волновая функция: (219.3) (здесь и ). Функция (219.3) представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля. Из выражения (219.2) следует, что зависимость энергии от импульса оказывается обычной для нерелятивистских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения (так как волновое число k может принимать любые положительные значения), т. е. ее энергетический спектр является непрерывным. Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства т. е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными. На всякий случай: Частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х) где l — ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 296). Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде (220.1) По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х=0 и х=1) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид (220.2) В пределах «ямы» (0 £ х £ l) уравнение Шредингера (220.1) сведется к уравнению или (220.3) где (220.4) Общее решение дифференциального уравнения (220.3): Так как по (220.2) y(0)=0, то В=0. Тогда (220.5) Условие (220.2) y(l)=A sin kl = 0 выполняется только при kl = np, где n — целые числа, т. е. необходимо, чтобы (220.6) Из выражений (220.4) и (220.6) следует, что (220.7) т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Еn, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия Еn частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Еn называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Еn, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии n. Стационарное уравнение Шрѐдингера Форма уравнения Шрѐдингера показывает, что относительно времени его решение должно быть простым, поскольку время входит в это уравнение лишь через первую производную в правой части. Действительно, частное решение для специального случая, когда не является функцией времени, можно записать в виде: где функция должна удовлетворять уравнению: которое получается из уравнения Шрѐдингера (1) при подстановке в него указанной выше формулы для (2) . Заметим, что это уравнение вообще не содержит времени; в связи с этим оно называется стационарным уравнением Шрѐдингера (уравнение Шрѐдингера, не содержащее времени) 6. Прохождение микрочастицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы (рис. 5.4) для одномерного (по оси х) движения частицы. Рис. 5.4 Для потенциального барьера прямоугольной формы высоты U и ширины l можно записать: При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером при E > U , либо отразится от него ( E < U ) и будет двигаться в обратную сторну, т.е. она не может проникнуть через барьер. Для микрочастиц же, даже при E < U , имеется отличная от нуля вероятность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону. При E > U имеется также отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области x > l , т.е. проникнет сквозь барьер. Такой вывод следует непосредственно из решения уравнения Шредингера, описывающего движение микрочастицы при данных условиях задачи. Уравнение Шредингера для состояний каждой из выделенных областей имеет вид: Общее решение этих дифференциальных уравнений: (5.4.3) В данном случае, согласно (5.4.2), – мнимое число, где Можно показать, что A 1 = 1, B 3 = 0, тогда, учитывая значение q ,получим решение уравнения Шредингера для трех областей в следующем виде: (5.4.4) В области 2 функция (5.4.4) уже не соответствует плоским волнам, распространяющимся в обе стороны, поскольку показатели степени не мнимые, а действительные. Качественный анализ функций Ψ 1 (x ), Ψ 2 (x ), Ψ 3 (x ) показан на рис. 5.4. Из рисунка следует, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера , а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом , т.е. с той же частотой , но с меньшей амплитудой Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому квантовому явлению – туннельному эффекту , в результате которого микрообъект может пройти через барьер. Коэффициент прозрачности для барьера прямоугольной формы . Для барьера произвольной формы . Прохождение частицы сквозь барьер можно пояснить соотношением неопределенностей Неопределенность импульса на отрезке Δ x = l составляет Связанная с этим разбросом кинетическая энергия может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия оказалась больше потенциальной и частица может пройти через барьер. С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при E < U невозможно, так как частица, находясь в области барьера, должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией. Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом Строгое квантово - механическое решение задачи о гармоническом осцилляторе приводит еще к одному существенному отличию от классического рассмотрения. Оказывается, что можно обнаружить частицу за пределами дозволенной области (рис. 5.5), т.е. за точками 0 и l (рис. 5.1). Рис. 5.5 Это означает, что частица может прибывать там, где ее полная энергия меньше потенциальной энергии. Это оказывается возможным вследствие туннельного эффекта. 7. Гармонический осциллятор в квантовой механике. Как известно, гармоническим осциллятором называется система, способная совершать гармонические колебания. В физике модель гармонического осциллятора играет важную роль, особенно при исследовании малых колебаний систем около положения устойчивого равновесия. Примером таких колебаний в квантовой механике являются колебания атомов в твердых телах, молекулах и т.д. Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор, совершающий колебания вдоль оси под действием возвращающей квазиупругой силы . Потенциальная энергия такого осциллятора имеет вид (4.77) где - собственная частота классического гармонического осциллятора. Таким образом, квантово - механическая задача о гармоническом осцилляторе сводится к задаче о движении частицы в параболической потенциальной яме (4.77) Рассмотрим сначала поведение классического гармонического осциллятора. Пусть частица с полной энергией совершает колебания в силовом поле (4.77) (рис.4.24). Точки и , в которых полная энергия частицы равна потенциальной энергии , являются для частицы точками поворота. Частица совершает колебательные движения между стенками потенциальной ямы внутри отрезка , выйти за пределы которого она не может. Амплитуда колебаний определяется выражением Рис. 4.24. В квантовой механике для решения задачи о гармоническом осцилляторе нужно решить уравнение Шредингера (4.6) с потенциальной энергией (4.77) (4.78) Вводя величины (4.79) и переходя к новой безразмерной переменной , приводим уравнение (4.78) к виду (4.80) Анализ показывает, что волновые функции, являющиеся решением уравнения (4.80) , будут непрерывными и конечными не при всех значениях параметра , а лишь при Выражая, согласно (4.79) , энергию осциллятора через , получаем (4.81) Это соотношение и определяет закон квантования энергии гармонического осциллятора. Отметим, что энергетические уровни гармонического осциллятора, в отличие, например, от случая прямоугольной потенциальной ямы, являются эквидистантными , т.е. расположены на одинаковом энергетическом расстоянии друг от друга (рис.4.25) . Рис. 4.25. Еще одной важной особенностью спектра (4.81) является наличие так называемых нулевых колебаний - колебаний с энергией , соответствующих значению квантового числа 8. Водородоподобные атомы. Квантование энергии, вырожденность состояний по энергии, четыре квантовых числа (полный набор). Спектр излучения. Принцип Паули. Водородоподобный атом — атом, содержащий в электронной оболочке один и только один электрон. Таким атомом, кроме водорода и его тяжѐлых изотопов (дейтерия и трития), может быть любой ион, если число потерянных им электронов равно заряду атома - 1 . Поскольку у такого иона остаѐтся только один электрон, его и называют водородоподобным атомом. Электронные спектры таких атомов описываются теорией Бора Как следует из решения уравнения Шредингера для атома водорода, квантовое состояние электрона в этом атоме (можно сказать и квантовое состояние атома) полностью определяется заданием трех квантовых чисел. "Задайте значения квантовых чисел, и я полностью опишу свойства атома" - так может современный физик перефразировать известное изречение Архимеда. Каждое из квантовых чисел принимает только целочисленные значения и определяет, то есть предсказывает результаты измерения основных физических величин в заданном квантовом состоянии атома. 1. Главное квантовое число . Это квантовое число принимает значения и определяет полную энергию электрона в любом квантовом состоянии . (5.37) Можно отметить, что эти значения энергии являются собственными значениями гамильтониана (5.17a) . Поэтому в связанном состоянии электрон в атоме водорода имеет дискретный энергетический спектр, лежащий в области отрицательных значений и имеющий точку сгущения 2. Орбитальное (азимутальное) квантовое число . В квантовых состояниях с заданным значением главного квантового числа азимутальное квантовое число может иметь следующие значения: Из выводов предыдущего параграфа следует, что стационарные волновые функции , описывающие различные квантовые состояния атома, являются собственными функциями не только оператора полной энергии , но и оператора квадрата момента импульса , причем Следовательно, в любом квантовом состоянии атом обладает определенным значением квадрата момента импульса, причем модуль орбитального момента импульса движущегося в атоме электрона однозначно определяется орбитальным квантовым числом: . (5.38) Проанализируем эту формулу квантования момента импульса . Сравнивая ее с условием (5.3) квантования момента импульса движущегося электрона в теории Бора, можно заметить, что эти условия не совпадают. И дело не только в отличии числовых значений, рассчитанных по этим формулам. Принципиальное отличие этих соотношений состоит в том, что в квантовой механике возможны состояния атома с нулевым моментом импульса. Во всех - состояниях и, частности, в основном - состоянии, когда , по формуле (5.38) получаем При классическом описании движения электрона в атоме по определенной траектории (орбите) в любом состоянии атом должен обладать ненулевым моментом импульса. Опыт подтверждает существование квантовых состояний атома с нулевыми орбитальными моментами. Следовательно, опыт подтверждает, что только отказ от классического траекторного способа описания движения электрона в атоме позволяет правильно рассчитать и предсказать свойства атома. Вероятностный способ описания движения частиц в квантовой механике является единственно правильным способом описания свойств атомных систем - таков вывод современной физики. Так как движущийся вокруг ядра электрон является заряженной частицей, то такое движение обуславливает протекание некоторого замкнутого тока в атоме, который можно охарактеризовать орбитальным магнитным моментом В теории Бора, когда с позиции классической теории рассматривается круговое движение электрона по орбите радиуса со скоростью , величина орбитального механического момента равна . Если время полного оборота электрона , то такому движению соответствует замкнутый ток , который можно охарактеризовать величиной магнитного момента Связь механического и магнитного моментов при этом определяется гиромагнитным отношением . (5.39) Так как заряд электрона отрицателен, то для орбитального движения направление вектора магнитного момента противоположно направлению вектора механического момента импульса (рис. 5.8). Для расчета орбитального магнитного момента в квантовой теории следует определить пространственную плотность электрического тока через плотность потока вероятностей по формуле: . Плотность потока вероятности при этом можно найти по формуле (3.23) , зная волновую функцию электрона в заданном квантовом состоянии атома. Точный квантовомеханический расчет гиромагнитного отношения также приводит к формуле (5.39) Рис. 5.8. Итак, в любом квантовом состоянии атом водорода обладает не только механическим моментом , величина которого определяется формулой (5.38) , но и магнитным моментом. . (5.40) Здесь универсальная постоянная служит единицей измерения магнитных моментов атомов и называется магнетоном Бора Если атом переходит из одного квантового состояния в другое с испусканием (поглощением) фотона излучения, то возможны лишь такие переходы, для которых орбитальное квантовое число изменяется на единицу. Это правило, согласно которому для оптических переходов , называется правилом отбора . Наличие такого правила отбора обусловлено тем, что электромагнитное излучение (фотон) уносит или вносит не только квант энергии, но и вполне определенный момент импульса, изменяющий орбитальное квантовое число для электрона всегда на единицу. 3. Магнитное квантовое число . В квантовом состоянии с заданным значением орбитального квантового числа , магнитное квантовое число может принимать различных значений из ряда Физический смысл магнитного квантового числа вытекает из того, что волновая функция , описывающая квантовое состояние электрона в атоме водорода, является собственной функцией оператора проекции момента импульса , причем Поэтому, из общих положений квантовой механики (см. раздел 3.5 ) следует, что проекция момента импульса электрона на выделенное в пространстве направление может иметь только определенные значения, равные . (5.41) Направление в пространстве обычно выделяется внешним полем (например, магнитным или электрическим), в котором находится атом. Так как формула (5.41) квантования проекции механического момента соответствует вполне определенным направлениям ориентации в пространстве вектора (рис. 5.9), то эту формулу называют обычно формулой пространственного квантования С точки зрения классического представления об электронной орбите, с учетом перпендикулярности вектора к плоскости орбиты, соотношение (5.41) определяет возможные дискретные расположения электронных орбит в пространстве по отношению к направлению внешнего поля. Рис. 5.9. Отмеченная выше связь механического и магнитного моментов атома позволяет с учетом (5.41) записать также возможные значения проекции магнитного момента атома на выделенное направление : , (5.42) зависящие от значения магнитного квантового числа Принцип Паули. В одном и том же атоме (или в какой - либо другой квантовой системе) не может быть двух электронов (либо других частиц с полуцелым спином), обладающих одинаковым набором квантовых чисел. |