1. Производная и интеграл. Что такое функция Величина y называется функцией переменной величины x, если каждому из тех значений, которые может принимать x, соответствует одно или несколько определенных значений y.
 Скачать 0.88 Mb.
|
|
Что такое функция Величина y называется функцией переменной величины x, если каждому из тех значений, которые может принимать x, соответствует одно или несколько определенных значений y. При этом переменная величина x называется аргументом. Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции. Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством. Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента. Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом. Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим. Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью. Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y=f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде. Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) =0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно. Разность между двумя значениями аргумента называется приращением аргумента и обозначается символом ∆х. Приращение может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Если первое значение аргумента обозначить через х1, а второе через х2, то ∆х = х2 – х1 Разность между двумя значениями функции называется приращением функции: ∆у = у2 – у1 = f (х2) – f (х1). Вычисление приращения любой функции у= f (х) удобно проводить в следующем порядке: 1. Даем аргументу х функции у= f (х) приращение ∆х, получаем точку х+∆х. 2. Находим значение функции в точке х+∆х у+∆у= f (х+∆х) 3. Из значения функции у+∆у вычитаем ее значение в точке х и находим приращение функции: ∆у= f (х+∆х) – f (х) Предел функции Любой предел состоит из трех частей: 1) Всем известного значка предела  . 2) Записи под значком предела, в данном случае  . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно  , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ( ).3) Функции под знаком предела, в данном случае  .Сама запись  читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»? Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала  , затем  ,  , …,  , …. То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают. Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:  Готово. Итак, первое правило:Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию. Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко! Пример с бесконечностью:  Разбираемся, что такое  ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала  , потом  , потом  , затем  и так далее до бесконечности.А что в это время происходит с функцией  ?  ,  ,  , … |