1. Производная и интеграл. Что такое функция Величина y называется функцией переменной величины x, если каждому из тех значений, которые может принимать x, соответствует одно или несколько определенных значений y.
 Скачать 0.88 Mb.
|
|
Производной функции y=f(x) при данном значении аргумента x называется предел отношения приращения функции ∆y к приращению аргумента ∆x, когда приращение аргумента стремится к нулю. Таким образом, производная от функции y по аргументу x есть мгновенная скорость изменения функции относительно аргумента.  Пусть функция задана графически. Возьмём на кривой точку A(x,y) и дадим аргументу приращение ∆x. В результате функция получает приращение ∆y. Проведем секущую AB и обозначим угол наклона секущей к оси Ох через ϕ. Из рисунка  При ∆х→0 точка B перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке А. Секущая превращается в касательную к графику функции в точке А, имеющей угол наклона α к оси Ox  Производная функции равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке, в которой находят производную. Дифференциальные уравнения и их решение Дифференциальные уравнения (ДУ). Эти два слова обычно приводят в ужас студентов. Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит: 1) независимую переменную  ;2) зависимую переменную  (функцию);3) первую производную функции:  .В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков –  ,  и т.д.Что значит решить дифференциальное уравнение?Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций часто имеет вид  (  – произвольная постоянная), который называется общим решением дифференциального уравнения.Пример 1 Решить дифференциальное уравнение  Полный боекомплект. С чего начать решение? В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение  , которое многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным. Итак:  На втором шагесмотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п. Дифференциалы  и  – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции: Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы». Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:  Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:  Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, – это общий интеграл.Ответ в такой форме вполне приемлем, но нет ли варианта получше? Давайте попытаемся получить общее решение. Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) тоже целесообразно записать под логарифмом. То есть,ВМЕСТОзаписи обычно пишут  .Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем свойство логарифмов  . В данном случае: Теперь логарифмы и модули можно убрать:  Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение. |