Экзамен иси. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ за 2-й семестр ИСИ - 202. Вопросы к экзамену по высшей математике
 Скачать 30.27 Kb.
|
|
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ За 2-й семестр ИСИ, 2021/22 учебный год, лектор доцент И.А. Андреева. ЧАСТЬ 0. ПРОИЗВОДНАЯ 0.1. Определение производной функции. Геометрический и физический смысл производной. Определения и уравнения касательной и нормали к кривой. 0.2. Дифференцируемость функции в точке. Определение. Теорема о связи дифференцируемости с существованием конечной производной функции в точке. 0.3. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности (теорема). 0.4. Понятие дифференциала функции, его геометрический смысл, примеры нахождения дифференциала. Приближенные вычисления с использованием дифференциала функции (примеры). Дифференциалы высших порядков. 0.5. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного. 0.6. Таблица производных. Вывод производных постоянной, степенной, тригонометрических функций. 0.7. Теорема о производной обратной функции, ее геометрический смысл. 0.8. Теорема о производной сложной функции. Примеры дифференцирования сложных функций. 0.9. Логарифмическое дифференцирование: формула, рекомендуемые области применения, примеры. 0.10. Производные высших порядков, примеры вывода формул для производной N-го порядка. Формула Лейбница для производной N-го порядка произведения двух функций. 0.11. Дифференцирование функций, заданных в параметрической и неявной форме. Примеры. 0.12. Теорема Ферма с д-вом. Геометрический смысл. 0.13. Теорема Ролля с д-вом. Геометрический смысл. 0.14. Теорема Лагранжа с д-вом. Геометрический смысл. Запись формулы конечных приращений. 0.15. Теорема Коши (без д-ва).. Обобщенная формула конечных приращений. 0.16. Теорема Лопиталя (без д-ва). Раскрытие всех типов неопределённостей на основании правила Лопиталя-Бернулли. Примеры. 0.17. Теорема Тейлора (без д-ва). Формулы Тейлора и Маклорена, разложения основных элементарных функций. Запись остаточного члена формул Тейлора и Маклорена в формах Лагранжа и Пеано. 0.18. Монотонность функции (определения). Признак монотонности функции. Примеры. 0.19. Определение локального экстремума. Необходимое и достаточное условия локального экстремума. Примеры. 0.20. Направление выпуклости графика функции: определение, теорема. Примеры. 0.21. Определение точки перегиба графика. Необходимое и достаточное условие наличия точки перегиба - теоремы. Примеры. 0.22. Асимптоты графика функции: вертикальные, горизонтальные, наклонные. Определения, методы нахождения. Примеры. 0.23. План исследования функции. Пример исследования (подготовить самостоятельно либо получить у экзаменатора; желательно наличие асимптот, перегибов графика, экстремумов). ЧАСТЬ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. 1.1. Первообразная. Определение. Лемма о функции, производная которой постоянна на промежутке. Теорема о связи между двумя первообразными одной функции (с д-вами). Примеры. 1.2. Неопределенный интеграл: определение, терминология, свойства, таблица неопределенных интегралов. Примеры. 1.3. Непосредственное интегрирование. Подведение под знак дифференциала. Формула замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры. 1.4. Интегрирование по частям: вывод формулы, основные сферы применения (3 категории функций), примеры повторного, возвратного интегрирования по частям. 1.5. Интегрирование рациональных функций: правильные и неправильные рациональные дроби, разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших (элементарных) дробей. 4 типа элементарных дробей, формулы их интегрирования. Примеры. 1.6. Интегрирование иррациональных функций: интегралы от квадратного трехчлена; случай функции, рационально зависящей от набора корней из дробно-линейного выражения; дифференциальный бином; тригонометрические подстановки. Примеры. 1.7. Интегрирование тригонометрических функций (категории функций; рекомендуемые приемы преобразований и замены). ЧАСТЬ 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. 2.1. Определение определенного интеграла. Терминология. Геометрический смысл. Чертеж. 2.2. Условия существования определенного интеграла (необходимое, достаточное, необходимое и достаточное). Суммы Дарбу. Чертеж. 2.3. Свойства определенного интеграла, выраженные равенствами (5 свойств). 2.4. Свойства определенного интеграла, выраженные неравенствами (5 свойств). 2.5. Теорема о среднем (с д-вом). Геометрический смысл. Среднее значение функции на отрезке. Пример вычисления. 2.6. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его производной по верхнему пределу (теорема Барроу) с д-вом. Вытекающая из теоремы взаимосвязь неопределенного и определенного интегралов. 2.7. Вывод формулы Ньютона-Лейбница. Пример вычисления по ней определенного интеграла. 2.8. Замена переменной в определенном интеграле. Пример вычисления по формуле замены. 2.9. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Формула, примеры. 2.10. Приложения определенного интеграла: формулы для вычисления площадей плоских фигур (декартовы и полярные координаты, параметрическое задание функции). Примеры. 2.11. Длина дуги кривой: идея вывода формулы для случая явного задания функции; виды формул для случаев параметрического задания и полярной системы координат. Примеры. 2.12. Объем тела вращения. Идея вывода формулы для декартовой системы координат при явном задании функции. Пример. 2.13. Площадь поверхности вращения. Идея вывода формулы. Виды формул для случаев параметрического задания функции и полярных координат. Примеры. 2.14. Несобственный интеграл 1-го рода: определение, терминология, вычисление, геометрический смысл. Признаки сходимости несобственных интегралов 1-го рода. Примеры. 2.15. Несобственный интеграл 2-го рода: определение, терминология, вычисление, геометрический смысл. Признаки сходимости несобственных интегралов 2-го рода. Примеры. ЧАСТЬ 3. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ФНП). 3.1. Определение, примеры, графическое изображение функций нескольких переменных. Линии и поверхности уровня. Основные определения: связного множества, внутренней и граничной точек множества, открытого и замкнутого множества, границы множества, области, замкнутой области, ограниченного множества. 3.2. Предел и непрерывность ФНП. Основные свойства непрерывных ФНП (формулировки теорем). 3.3. Частные производные ФНП: определения, примеры. 3.4. Понятие дифференцируемости ФНП: определение. Необходимые условия дифференцируемости (формулировки 2-х теорем). Достаточные условия дифференцируемости (формулировка теоремы). 3.5. Производные сложных ФНП. Случаи. Примеры. 3.6. Дифференциал ФНП. Определение. Геометрический смысл. Приближенные вычисления с помощью дифференциала ФНП. Примеры. З.7. Частные производные и дифференциалы высших порядков (формулы для дифференциалов 2-го, 3-го, N-го порядка). Формулировка теоремы о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования. Примеры. 3.8. Локальный экстремум ФНП. Определение точки локального экстремума. Необходимые и достаточные условия локального экстремума. Пример. 3.9. Глобальный экстремум ФНП. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной ФНП в замкнутой ограниченной области. Пример. 3.10. Условный экстремум ФНП. Пример нахождения. |