Доклад Классификация уравнений. Xxvi научнопрактическая конференция гимназистов Знаниесила Классификация уравнений
 Скачать 1.27 Mb.
|
|
Сеть школ первого Президента Республики Саха (Якутия) Михаила Ефимовича Николаева МБОУ «Чурапчинская гимназия им. С.К. Макарова» XXVI научно-практическая конференция гимназистов «Знание-сила» Классификация уравнений (Тема доклада) Выполнили: ученики 10 «Б» класса Пинигин Артем, Давыдов Дуолан Руководитель: Екечьямова К.М. Чурапча, 2022 Содержание Введение………………………………………………………………..………….3 Глава 1. Теоретические основы применения математических уравнений, их виды и способы решения…………………………………………………………4 Глава 2. Картотека математических уравнений……………………...………….8 2.1. Линейное уравнение………………………………………………………….8 2.2. Степенное уравнение…………………………………………………………8 2.3. Дробное уравнение………………………………………………………….10 2.4. Иррациональное уравнение……………………………...…………………12 2.5. Тригонометрическое уравнение………………………………………...….13 Заключение……………………………………………………………………….15 Список использованной литературы……………………………………………16 Приложения…………………………………………………...…………………17 Введение Актуальность темы: Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений. Исходя из этого мы хотим помочь систематизировать знания для школьников и сделать картотеку с решением различных уравнений. Цель проекта: изучить различные виды уравнений и понять способы их решения Задачи: 1. Изучить литературу по данному вопросу. 2. Выбрать и разобрать более распространенные виды уравнений. 3. Создать картотеку с решением различных видов уравнений. Объект исследования: Математические уравнения, их виды, способы их решения. Методы исследования: Изучение, анализ, практическое применение полученных знаний. Практическая значимость проекта: 1. Наш продукт будет полезен для учеников при подготовке к экзаменам; 2. Привлечение внимания школьников к математике, повышение их заинтересованность в данном предмете и успеваемость. Глава 1. Теоретические основы применения математических уравнений, их виды и способы решения Математика - удивительнейшая наука, без которой не может существовать человечество. В ней интересно абсолютно всё - от арифметических действий и решения различных задач до её истории. Но историей люди зачастую пренебрегают, ссылаясь на то, что математика и история - науки совершенно противоположные. Позвольте разрушить этот стереотип, доказав, что изучать историю очень интересно и, к тому же, важно для знания и понимания самой математики, царицы всех наук. Представители различных цивилизаций: Древнего Египта, Древнего Вавилона, Древней Греции, Древней Индии, Древнего Китая, Средневекового Востока, Европы овладели приемами решения квадратных уравнений. Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача: «Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а – длины равны ширине». «Длина поля равна 4», – указано в папирусе. Прошли тысячелетия, в алгебру вошли отрицательные числа. Решая уравнение х²= 16, мы получаем два числа: 4, –4. Разумеется, в задаче египтян мы приняли бы X = 4, так как длина поля может быть только положительной величиной. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Правило решения квадратных уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает, по существу, с современным, однако неизвестно, каким образом вавилоняне «дошли до этого». Но почти во всех найденных папирусах и клинописных текстах приводятся только задачи с решениями. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел!». Греческий математик Диофант составлял и решал квадратные уравнения. В его «Арифметике» нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. Задачи на составление квадратных уравнений встречаются уже в астрономическом трактате «Ариа-бхатиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так: Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти. Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t, r, m и др., но чаще всего используются x, y, z. Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение, которое надо найти. Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x=5, y=6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x+7=38, z−4=2, 8·t=4, 6:x=3. После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7·(x−1) =19, x+6·(x+6·(x−8)) =3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x+2+4·x−2−x=10. Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x· (8+1) −7=8, 3−3=z+3 или 8·x−9=2·(x+17). В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению: Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить. То есть, к примеру, выражение x+3=6·x+7 – это уравнение с переменной x, а 3·y−1+y=0 – уравнение с переменной y. В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение: Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных. К примеру, равенство вида 3,7·x+0,6=1 является уравнением с одной переменной x, а x−z=5 – уравнением с двумя переменными x и z. Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x2+(y−6)2+(z+0,6)2=26. Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает. Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a+1=5 мы заменим букву числом 2, то равенство станет неверным, а если 4, то получится верное равенство 4+1=5. Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение. Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство. Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же. Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы. Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0·x=5. Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0. Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть, как конечное, так и бесконечно большое количество корней. Так, в уравнении x−2=4 есть только один корень – шесть, в x2=9 два корня – три и минус три, в x·(x−1) ·(x−2) =0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много. Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными. Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство. Поясним определение на примерах. Допустим, у нас есть выражение x+y=7, которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4, то равенство станет верным, значит, мы нашли решение. Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как (3,4). На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений. Глава 2. Картотека математических уравнений 2.1. Линейное уравнение Линейным уравнением называется уравнение вида ax+b=0, в котором a и b - действительные числа. Шаги решения: 1.ax+b=0; ax=−b 2. x=−b/a Решение линейного уравнения в зависимости от параметра 1. Если a не является 0, у уравнения - один корень. Например, если 2x−4=0, то x=2. 2. Если a=0, но b не равно 0, у уравнения нет корней. Например, 0x=3 - нет такого значения x, при умножении которого на 0 можно получить 3. 3. Если a=0 и b=0, то корень уравнения - любое число. Например, 0x=0 - умножив ноль на любое число, получим 0. 2.2. Степенное уравнение В показательных уравнениях, которые часто называют степенными, в основании находятся исключительно числа. Переменная же есть только в показателе. Показательное уравнение - это уравнение, в котором неизвестная величина находится в показателе степени. Для решения необходимо опираться на следующие свойства и правила: 1. Любое положительное число, возведенное в степень, равную единице, равно самому себе, то есть 91 = 9. Если же возвести число в степень ноль, то результат всегда будет одинаковым, а именно, равным единице: 90 = 1. 2. Если математическое выражение возводится в отрицательное значение, то его можно заменить дробью, где числитель - единица, а знаменатель первоначальное выражение, но уже в положительной степени. Числитель - значение, находящееся над чертой, знаменатель - под ней. Математически правило записывается в следующем виде:  3. Чтобы возвести число в степень, нужно умножить его на себя такое количество раз, которое равно ее значению, то есть р5 = р·р·р·р·р. 4. Если нужно умножить два положительных числа, отличных от единицы и равных между собой, то нужно сложить их показатели и возвести в полученное значение основание: p5·p3= p5+3 = p8. 5. Когда требуется разделить одно число на другое, имеющие отличные показатели, нужно вычесть из одного другой и возвести в полученное значение неизменное основание: p9/p3= p9-3 = p6. 6. Если необходимо возвести одну степень в другую, то нужно их перемножить. Само основание при этом остается без изменений. Его нужно возвести в полученное после арифметических действий значение: (p3)4 = p3*4 = p12. Применение свойств и правил помогает упростить выражения, быстрее произвести вычисления и получить результат. Закрепить материал помогут подробные объяснения при решении показательных уравнений. Разъяснения на практике помогут изучить сложные моменты и облегчат усвоение знаний. Задание 1 Упростить и решить уравнение: 53x+14 = 57+2x В обеих частях примера одинаковые основания, значит, можно приравнять математические выражения, находящиеся в показателе. В результате получится: 3х + 14 = 7 + 2х Путем переноса чисел в одну часть, а переменных в другую, не сложно решить пример. Главное, не забывать менять знак на противоположный, плюс на минус и наоборот: 3х – 2х = 7 – 14, х = -7. Ответ: -7 2.3. Дробное уравнение Дробные рациональные уравнения - вид: Рациональное уравнение - это такой вид уравнения в которой левая и правая части рациональные выражения. В записи уравнения имеются только сложение, вычитание, умножение, деление, а также возведение в целую степень. Любое рациональное уравнение сводится к алгебраическому Например, вот такое уравнение:  В общем виде дробно-рациональные уравнения решают по следующей схеме: 1) Все слагаемые переносим в одну сторону. 2) Дроби приводим к НОЗ (наименьшему общему знаменателю). 3) После упрощения решаем уравнение типа «дробь равна нулю». В частных случаях дробно-рациональные уравнения могут быть решены с помощью замены переменной либо разложением на множители. Начнем с рассмотрения примеров общего случая. Решить дробно-рациональные уравнения:  Переносим все слагаемые в левую часть уравнения и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:     Пришли к уравнению типа «дробь равна нулю» Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе:  Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль, и исключаем их из области допустимых значений:    Теперь находим значения переменных, при которых числитель обращается в нуль:   Это - квадратное уравнение. Его корни  Оба корня удовлетворяют условиям x≠2, x≠ -4. Ответ: 5; -6.  Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:       - при этих значениях переменной знаменатель обращается в нуль, поэтому их исключаем из ОДЗ.  Из двух корней квадратного уравнения   - второй не входит в ОДЗ. Поэтому в ответ включаем лишь первый корень. Ответ: -4. 2.4. Иррациональное уравнение Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня. Иррациональное уравнение, как правило, сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства. 1.  Из двух систем выбирают ту, которая решается проще. 2.  Если, а <0, уравнение не имеет корней. Если  , уравнение равносильно уравнению  .3.  Иррациональные уравнения могут быть также решены путем возведения обеих частей уравнения в натуральную степень. При возведении уравнения в степень могут появится посторонние корни. Поэтому необходимой частью решения иррационального уравнения является проверка. При решении иррациональных уравнений, как правило, используют следующие методы: 1) переход к равносильной системе (в этом случае проверка не нужна); 2) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень; 3) метод введения новых переменных. Если вы не следите за равносильностью переходов, то проверка является обязательным элементом решения. О.Д.З. в иррациональных уравнениях не поможет Вам отсеять все посторонние корни. Обратите на это внимание! 2.5. Тригонометрическое уравнение Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (sinx, cosx, tgx или ctgx), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше. Простейшие тригонометрические уравнения Простейшими называются уравнения sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a, где x - угол, который нужно найти, a - любое число. Запишем для каждого из них формулы корней. 1. Уравнение sinx=a. При |a|>1 не имеет решений. При |a|≤1 имеет бесконечное число решений.  2. Уравнение cosx=a При |a|>1 - как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет. При |a|≤1 имеет бесконечное множество решений.  3. Уравнение tgx=a Имеет бесконечное множество решений при любых значениях aa.  4. Уравнение ctgx=actgx=a Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях aa  Проанализировав собранную информацию о линейном, степенном, дробном, иррациональном и тригонометрическом уравнениях, все данные я соберу в самодельную картотеку. В ней будут находится данные виды уравнений и способы их решения с примерами. Эта картотека будет выступать продуктом в нашей работе. После сбора информации, мы подготовили необходимые материалы для создания продукта. (Приложение А) Затем сделали фон будущих страниц картотеки. (Приложение Б) После того как страницы высохли, мы перенесли нужную информацию, отталкиваясь на содержание картотеки. (Приложение В) Заключение Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XXI век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях. Работа была выполнена в соответствии с поставленными задачами. Мы изучили литературу по теме. Из всех видов уравнений мы выбрали наиболее распространенные и создали картотеку с их решением. В ходе работы, пока мы создавали картотеку, мы разобрались в решении уравнений таких видов как: линейное, степенное, дробное, иррациональное и тригонометрическое уравнение. Мы надеемся, что наш доклад может послужить неплохим справочным материалом при решении тех или иных уравнений. Также наш продукт поможет школьникам при подготовке к экзаменам. Ведь, видя перед собой наглядный пример уравнений с их решением и примерами, понимать и запоминать информацию намного легче. Список использованной литературы Аксенова М.Д. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. – М.: Аванта+, 2018. – 688 с. Бурцева У. А. Системы линейных уравнений. - Волгоград: гос. техн. ун-т. - 2015. - 23 с. Виленкин Н.Я. «Алгебра для 8 класса», М.: Просвещение, 2010. Калягин Ю.М., Оганесян В.А. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учебное пособие для студентов физико-математических педагогических институтов. М.: Просвещение, 2015 г. - 462 с. Фридман Л.М., Е.Н. Турецкий Как научиться решать задачи. Книга для учащихся старших классов средней школы. Москва "Просвещение", 2018 г. - 192 с. Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. Справочник по математике для средней школы. – М.: Наука, 2014.- 400 с. Приложения Приложение А  Приложение Б  Приложение В  |