Математика спец курс. Контрольная работа 1. Задача 1 Парная регрессия и корреляция
 Скачать 1.59 Mb.
|
|
Задача 2 Множественная регрессия и корреляция По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника  (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов  (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих  (%) (смотри таблицу своего варианта).Требуется: Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации. С помощью  -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации  .С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор. Вариант 7
Решение Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу: Таблица 2
Найдем средние квадратические отклонения признаков:  ; ; .Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии. Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии  необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров  ,  ,  : либо воспользоваться готовыми формулами:  ;  ; .Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:  ; ; .Находим  ; ; .Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:  .Коэффициенты  и  стандартизованного уравнения регрессии  находятся по формулам: ; .Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:  .Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации. Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:  .Вычисляем:  ;  .Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,62% или 0,17% соответственно. Таким образом, подтверждается одинаковое влияние на результат факторов и .Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:  ;  ;  .Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к.  ). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии. При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:  ; .Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи. Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:  ,где  – определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;  – определитель матрицы межфакторной корреляции.  ; .Коэффициент множественной корреляции  .Аналогичный результат получим при использовании других формул:  ; ; .Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом. Нескорректированный коэффициент множественной детерминации  оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет  и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.Скорректированный коэффициент множественной детерминации  определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более  ) детерминированность результата в модели факторами и .Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи  дает -критерий Фишера: .В нашем случае фактическое значение -критерия Фишера: .Получили, что  (при  ), т.е. вероятность случайно получить такое значение -критерия не превышает допустимый уровень значимости  . Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи  .С помощью частных -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул: ; .Найдем  и  . ; .Имеем  ; .Получили, что  . Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, несущественным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения после , то результат расчета частного -критерия для будет иным.  , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта  . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и с  содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии: ,  . |
