Главная страница
Навигация по странице:

  • .

  • Задача 4 Временные ряды

    		•

    Математика спец курс. Контрольная работа 1. Задача 1 Парная регрессия и корреляция


    Скачать 1.59 Mb.
    НазваниеЗадача 1 Парная регрессия и корреляция
    АнкорМатематика спец курс
    Дата15.10.2021
    Размер1.59 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаКонтрольная работа 1.doc
    ТипЗадача
    #247994
    страница3 из 15
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

    Задача 3 Нелинейная регрессия

    Динамика выпуска продукции Финляндии характеризуется данными (млн.долл.), представленными в таблице.

    Требуется:

    1. Рассчитать параметры степенной и экспоненциальной парных
      регрессий.

    2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и
      детерминации.

    3. Рассчитать средние коэффициенты эластичности и дать сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

    4. С помощью F- критерия оценить статистическую надежность результатов моделирования.

    5. Рассчитать линейный коэффициент корреляции и детерминации, сделать вывод о целесообразности замены нелинейной зависимости линейной.

    6. На основании пунктов 3,4,5 выбрать наилучшее уравнение регрессии.



    По 27 регионам страны изучается зависимость средней заработной платы, y от валового регионального продукта (ВРП) на душу населения, x.

    В представленной таблице N- это две последние цифры в номере зачетной книжки

    Номер
    региона
    ВРП на душу населения,
    тыс.руб., x
    Средняя заработная плата, тыс.руб.,y
    Номер
    региона
    ВРП на душу населения,
    тыс.руб., x
    Средняя заработная плата, тыс.руб.,y

    1
    35,8+N/10
    3,5
    15
    32,5+N/10
    3,3

    2
    22,5+N/10
    2,6
    16
    32,4+N/10
    3,3

    3
    28,3+N/10
    3,2
    17
    50,9+N/10
    3,9

    4
    26,0+N/10
    2,6
    18
    44,8+N/10
    4,7

    5
    20,0+N/10
    2,6
    19
    79,1+N/10
    6,5

    6
    31,8+N/10
    3,5
    20
    47,4+N/10
    5,0

    7
    30,5+N/10
    3,1
    21
    53,3+N/10
    4,5

    8
    29,5+N/10
    2,9
    22
    33,1+N/10
    3,7

    9
    41,5+N/10
    3,4
    23
    48,4+N/10
    4,5

    10
    41,3+N/10
    4,8
    24
    61,1+N/10
    7,2

    11
    34,5+N/10
    3,0
    25
    38,9+N/10
    3,4

    12
    34,9+N/10
    3,1
    26
    26,2+N/10
    2,9

    13
    34,7+N/10
    3,3
    27
    59,3+N/10
    5,4

    14
    26,8+N/10
    2,6










    Решение.

    1. Регрессия в виде степенной функции имеет вид .

    Для оценки параметров линеаризуем модель путем логарифмирования:

    ,



    Для расчетов составим таблицу:

    Таблица 3

    Номер
    x
    y












    1
    43,5
    3,5
    3,7728
    1,2528
    4,7266
    14,234
    1892,25
    54,4968

    2
    30,2
    2,6
    3,4078
    0,9555
    3,2562
    11,6131
    912,04
    28,8561

    3
    36
    3,2
    3,5835
    1,1632
    4,1683
    12,8415
    1296
    41,8752

    4
    33,7
    2,6
    3,5175
    0,9555
    3,361
    12,3728
    1135,69
    32,2004

    5
    27,7
    2,6
    3,3214
    0,9555
    3,1736
    11,0317
    767,29
    26,4674

    6
    39,5
    3,5
    3,6763
    1,2528
    4,6057
    13,5152
    1560,25
    49,4856

    7
    38,2
    3,1
    3,6428
    1,1314
    4,1215
    13,27
    1459,24
    43,2195

    8
    37,2
    2,9
    3,6163
    1,0647
    3,8503
    13,0776
    1383,84
    39,6068

    9
    49,2
    3,4
    3,8959
    1,2238
    4,7678
    15,178
    2420,64
    60,211

    10
    49
    4,8
    3,8918
    1,5686
    6,1047
    15,1461
    2401
    76,8614




    42,2
    3
    3,7424
    1,0986
    4,1114
    14,0056
    1780,84
    46,3609




    42,6
    3,1
    3,7519
    1,1314
    4,2449
    14,0768
    1814,76
    48,1976




    42,4
    3,3
    3,7471
    1,1939
    4,4737
    14,0408
    1797,76
    50,6214




    34,5
    2,6
    3,541
    0,9555
    3,3834
    12,5387
    1190,25
    32,9648




    40,2
    3,3
    3,6939
    1,1939
    4,4101
    13,6449
    1616,04
    47,9948




    40,1
    3,3
    3,6914
    1,1939
    4,4072
    13,6264
    1608,01
    47,8754




    58,6
    3,9
    4,0707
    1,361
    5,5402
    16,5706
    3433,96
    79,7546




    52,5
    4,7
    3,9608
    1,5476
    6,1297
    15,6879
    2756,25
    81,249




    86,8
    6,5
    4,4636
    1,8718
    8,355
    19,9237
    7534,24
    162,472




    55,1
    5
    4,0091
    1,6094
    6,4522
    16,0729
    3036,01
    88,6779




    61
    4,5
    4,1109
    1,5041
    6,1832
    16,8995
    3721
    91,7501




    40,8
    3,7
    3,7087
    1,3083
    4,8521
    13,7545
    1664,64
    53,3786




    56,1
    4,5
    4,0271
    1,5041
    6,0572
    16,2175
    3147,21
    84,38




    68,8
    7,2
    4,2312
    1,9741
    8,3528
    17,9031
    4733,44
    135,818




    46,6
    3,4
    3,8416
    1,2238
    4,7014
    14,7579
    2171,56
    57,0291




    33,9
    2,9
    3,5234
    1,0647
    3,7514
    12,4143
    1149,21
    36,0933




    67
    5,4
    4,2047
    1,6864
    7,0908
    17,6795
    4489
    112,989



    1253,4
    102,5
    102,646
    34,9463
    134,6324
    392,095
    62872,4
    1710,89

    Среднее
    значение
    46,4222
    3,7963
    3,8017
    1,2943
    – 
    – 
    2328,61
     –


    Таким образом, , .

    Уравнение регрессии .

    Выполнив потенцирование, получим .

    Параметр является коэффициентом эластичности и означает, что с ростом валового регионального продукта на 1% уровень заработной платы на 0,95%.
    Регрессия в виде экспоненциальной функции имеет вид .

    Для оценки параметров линеаризуем модель путем логарифмирования:

    ,



    Расчетные данные приведены в таблице выше. Имеем:

    , .

    Уравнение регрессии .

    Выполнив потенцирование, получим

    2,3. Для расчета показателей корреляции и детерминации необходимо рассчитать теоретические значения по построенным моделям. Для этого подставим значенияx в уравнения и , а результаты пропотенцируем.

    Расчеты приведем в таблице. Индексы корреляции и детерминации будем рассчитывать по формулам , .

    Таблица 4

    Номер
    y


    Степенная функция
    Экспоненциальная функция













    1
    3,5
    0,1
    1,2668
    3,5495
    0,0025
    1,2391
    3,4525
    0,0023

    2
    2,6
    1,4
    0,9195
    2,508
    0,0085
    0,9877
    2,6851
    0,0072

    3
    3,2
    0,4
    1,0867
    2,9645
    0,0555
    1,0973
    2,9961
    0,0416

    4
    2,6
    1,4
    1,0239
    2,784
    0,0339
    1,0538
    2,8685
    0,0721

    5
    2,6
    1,4
    0,8373
    2,3101
    0,084
    0,9404
    2,561
    0,0015

    6
    3,5
    0,1
    1,175
    3,2381
    0,0686
    1,1635
    3,2011
    0,0893

    7
    3,1
    0,5
    1,1431
    3,1365
    0,0013
    1,1389
    3,1233
    0,0005

    8
    2,9
    0,8
    1,1179
    3,0584
    0,0251
    1,12
    3,0649
    0,0272

    9
    3,4
    0,2
    1,3839
    3,9904
    0,3486
    1,3468
    3,8451
    0,1981

    10
    4,8
    1
    1,38
    3,9749
    0,6808
    1,343
    3,8305
    0,9399




    3
    0,6
    1,2379
    3,4484
    0,2011
    1,2145
    3,3686
    0,1359




    3,1
    0,5
    1,2469
    3,4795
    0,144
    1,222
    3,394
    0,0864




    3,3
    0,2
    1,2424
    3,4639
    0,0269
    1,2183
    3,3814
    0,0066




    2,6
    1,4
    1,0463
    2,8471
    0,0611
    1,069
    2,9125
    0,0977




    3,3
    0,2
    1,1917
    3,2927
    0,0001
    1,1767
    3,2437
    0,0032




    3,3
    0,2
    1,1894
    3,2851
    0,0002
    1,1748
    3,2375
    0,0039




    3,9
    0
    1,5503
    4,7129
    0,6608
    1,5244
    4,5924
    0,4794




    4,7
    0,8
    1,4457
    4,2448
    0,2072
    1,4092
    4,0927
    0,3688




    6,5
    7,3
    1,9241
    6,849
    0,1218
    2,0574
    7,8256
    1,7572




    5
    1,4
    1,4917
    4,4446
    0,3085
    1,4583
    4,2986
    0,492




    4,5
    0,5
    1,5885
    4,8964
    0,1571
    1,5698
    4,8057
    0,0935




    3,7
    0
    1,2058
    3,3394
    0,13
    1,188
    3,2805
    0,176




    4,5
    0,5
    1,5088
    4,5213
    0,0005
    1,4772
    4,3807
    0,0142




    7,2
    11,6
    1,703
    5,4904
    2,9227
    1,7172
    5,5689
    2,6605




    3,4
    0,2
    1,3323
    3,7897
    0,1519
    1,2976
    3,6605
    0,0679




    2,9
    0,8
    1,0295
    2,7997
    0,0101
    1,0576
    2,8795
    0,0004




    5,4
    2,6
    1,6778
    5,3538
    0,0021
    1,6832
    5,3828
    0,0003



    102,5
    36,1
    –  
     – 
    6,4149
    –  
    – 
    7,8236


    Для степенной функции индекс детерминации составит , а индекс корреляции . Таким образом, связь между рассматриваемыми признаками достаточно тесная. Величина индекса детерминации говорит о том, что 91 % изменчивости уровня заработной платы объясняется данным уравнением.

    F-критерий Фишера составит :

    .

    Это значение превышает табличное значение на 5% уровне значимости , следовательно найденное уравнение регрессии статистически значимо.

    Для экспоненциальной функции индекс детерминации составит , индекс корреляции . Связь также является достаточно тесной, 88% изменчивости уровня заработной платы объясняется данным уравнением.

    F-критерий Фишера составит :

    .

    Это значение превышает табличное значение на 5% уровне значимости , следовательно найденное уравнение регрессии статистически значимо.

    4.Индексы корреляции и детерминации рассчитанных моделей различаются незначительно. Возможно, является целесообразным заменить их более простой линейной моделью. Для этого рассчитаем парные линейные коэффициенты корреляции и детерминации по формулам:

    ,

    где .

    , , ,

    .

    В случае экспоненциальной модели разность , следовательно, вместо экспоненциальной модели можно использовать линейную.

    В случае степенной модели , что говорит о том, что применение более сложной формы зависимости только ухудшило качество модели.

    5. Исходя из вышесказанного, делаем вывод о том, что оптимальной формой зависимости будет линейная, . Таким образом, при увеличении валового регионального продукта (ВРП) на душу населения на 1 тыс.руб. средняя заработная плата возрастает на 1,052 тыс.руб.

    Задача 4 Временные ряды
    Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии ( ) жителями региона за 16 кварталов.

    Требуется:

    1. Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.

    2. Построить аддитивную модель временного ряда (для нечетных вариантов) или мультипликативную модель временного ряда (для четных вариантов).

    3. Сделать прогноз на 2 квартала вперед.


    Варианты 7, 8






    1
    5,5
    9
    8,3

    2
    4,8
    10
    5,4

    3
    5,1
    11
    6,4

    4
    9,0
    12
    10,9

    5
    7,1
    13
    9,0

    6
    4,9
    14
    6,6

    7
    6,1
    15
    7,5

    8
    10,0
    16
    11,2


    Решение.

    1. Построим поле корреляции



    Рис. 4. Поле корреляции
    Уже исходя из графика видно, что значения образуют пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу.
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

    написать администратору сайта