Главная страница
Навигация по странице:

  • Вариант 5 Условие

  • Вариант 6 Условие

  • МГТУ ДЗ№2 Физика 3 семестр. Задача 1 Вариант 1 Условие


    Скачать 0.54 Mb.
    НазваниеЗадача 1 Вариант 1 Условие
    АнкорМГТУ ДЗ№2 Физика 3 семестр
    Дата30.10.2019
    Размер0.54 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаPervyi_774_tipak_ves_reshennyi_774_elektrostatika.pdf
    ТипЗадача
    #92739
    страница2 из 7
    1   2   3   4   5   6   7
    Вариант 4
    Условие:
    Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R
    1
    и R
    0
    соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε
    1
    до ε
    2
    в интервале радиусов от R до R
    1
    и ε
    3
    =const в интервале радиусов от R
    1
    до R
    0
    (R1=½(R
    0
    +R)). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора.
    ε
    2

    1
    =1/2; ε
    3

    1
    =3/1; R
    0
    /R=3/1
    По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R),
    P(r)/P(R), ρ
    ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R
    0
    Решение:
    ,
    1
    ε
    ε
    =
    ,
    2 1
    2
    ε
    ε
    =
    ,
    3 3
    ε
    ε
    =
    ,
    3 0
    R
    R
    =
    R
    R
    R
    R
    2
    )
    (
    0 2
    1 1
    =
    +
    =
    Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса
    ⎪⎩





    +


    =
    3 1
    1 1
    2 1
    2 1
    )
    (
    ε
    ε
    ε
    ε
    ε
    ε
    R
    R
    R
    R
    r
    R
    R
    r
    Для данного варианта
    ⎪⎩




    <

    +

    =
    1 1
    ,
    3
    ,
    2 3
    2
    )
    (
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    ε
    ε
    ε
    ε
    По теореме Гаусса
    ∫∫
    = q
    s
    d
    D r r
    q
    r
    D
    =


    2 4
    π
    2 4
    )
    (
    r
    q
    r
    D
    π
    =

    и не зависит от диэлектрической проницаемости ε,
    2 2
    )
    (
    )
    (
    r
    R
    R
    D
    r
    D
    =
    Т.к.
    E
    D
    r r
    0
    εε
    =
    , то
    2 0
    4
    )
    (
    r
    q
    r
    E
    π
    εε
    =
    Поэтому
    ⎪⎩




    <







    +

    =
    1 2
    0 1
    0 2
    ,
    12
    ,
    2 3
    2 4
    )
    (
    R
    r
    r
    q
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    q
    r
    E
    π
    εε
    ε
    ε
    ε
    π
    ,








    <

    +

    =
    1 2
    2 1
    2 3
    2
    ,
    ,
    2 3
    2
    )
    (
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    R
    E
    r
    E
    Т.к.
    E
    P
    r r
    0
    χε
    =
    , а
    1

    =
    ε
    χ
    , то
    ε
    ε
    π
    π
    πεε
    ε
    ε
    1 4
    4
    )
    1
    (
    )
    (
    2 2
    0 0


    =


    =
    r
    q
    r
    q
    r
    P
    ,
    поэтому




    ⎪⎪




    <



    +


    +

    =

    ⎪⎩





    <







    +


    =
    1 2
    2 1
    2 2
    1 2
    1 2
    2
    ,
    ,
    )
    1
    )(
    2 3
    2
    (
    )
    1
    (
    2
    )
    (
    )
    (
    ,
    12
    )
    1 3
    (
    ,
    2 3
    2 4
    4
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    R
    P
    r
    P
    R
    r
    r
    q
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    q
    r
    q
    r
    P
    ε
    ε
    ε
    επ
    ε
    ε
    ε
    π
    π
    Определим поверхностную плотность связанных зарядов
    ϕ
    πε
    ε
    σ
    cos
    4
    )
    1
    (
    )
    (
    2
    r
    q
    P
    r
    n

    =
    =

    , где
    ϕ
    cos - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности
    1
    cos cos

    =
    =
    π
    ϕ
    , а для внешней поверхности
    1 0
    cos cos
    =
    =
    ϕ
    Тогда
    ⎪⎩





    <







    +

    +

    =

    1 2
    1 2
    2
    ,
    12
    )
    1 3
    (
    ,
    2 3
    2 4
    4
    )
    (
    R
    r
    r
    q
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    q
    r
    q
    r
    επ
    ε
    ε
    ε
    π
    π
    σ
    Поэтому
    2 2
    4 4
    )
    (
    R
    q
    R
    q
    R
    πε
    π
    σ
    +

    =

    , а
    2 0
    96
    )
    1 3
    (
    )
    3
    (
    )
    (
    R
    q
    R
    R
    πε
    ε
    σ
    σ

    =

    =

    Объёмная плотность связанных зарядов
    P
    −∇
    =

    ρ
    , для полярных координат
    2 2
    )
    (
    r
    P
    r

    =

    ρ
    Поэтому
    ,
    0
    ,
    2 3
    2 1
    )
    (
    )
    (
    ,
    0
    ,
    2 3
    2 1
    8
    )
    (
    1 1
    2 2
    2 1
    1 2
    2



    ⎪⎪



    <







    +

    =



    ⎪⎩




    <







    +

    =

    R
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    Rr
    q
    r
    ρ
    ρ
    πε
    ρ
    Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках
    (
    )






    +

    =
    +
    +

    =
    +
    =




    6 7
    2
    ln
    3 4
    12 12 4
    )
    (
    )
    (
    0 2
    0 2
    3 2
    2 0
    2 1
    0 1
    1 0
    1 1
    R
    q
    dr
    r
    q
    dr
    r
    r
    q
    dr
    r
    E
    dr
    r
    E
    U
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    πεε
    π
    εε
    πε
    ε
    ε
    Поэтому
    7 2
    ln
    8 72 0
    +
    =
    =
    R
    U
    q
    С
    πεε
    1.4
    D r
    ( )
    E r
    ( )
    P r
    ( )
    ρ r
    ( )
    r

    Вариант 5
    Условие:
    Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R
    1
    и R
    0
    соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε
    1
    до ε
    2
    в интервале радиусов от R до R
    1
    и ε
    3
    =const в интервале радиусов от R
    1
    до R
    0
    (R1=½(R
    0
    +R)). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора.
    ε
    2

    1
    =1/2; ε
    3

    1
    =1/2; R
    0
    /R=2/1
    По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R),
    P(r)/P(R), ρ
    ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R
    0
    Решение:
    ,
    1
    ε
    ε
    =
    ,
    2 1
    2
    ε
    ε
    =
    ,
    2 1
    3
    ε
    ε
    =
    ,
    2 0
    R
    R
    =
    R
    R
    R
    R
    2 3
    0 2
    1 1
    )
    (
    =
    +
    =
    Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса
    ⎪⎩





    +


    =
    3 1
    1 1
    2 1
    2 1
    )
    (
    ε
    ε
    ε
    ε
    ε
    ε
    R
    R
    R
    R
    r
    R
    R
    r
    Для данного варианта
    ⎪⎩




    <

    +

    =
    1 2
    1 1
    ,
    ,
    2
    )
    (
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    ε
    ε
    ε
    ε
    По теореме Гаусса
    ∫∫
    = q
    s
    d
    D r r
    q
    r
    D
    =


    2 4
    π
    2 4
    )
    (
    r
    q
    r
    D
    π
    =

    и не зависит от диэлектрической проницаемости ε,
    2 2
    )
    (
    )
    (
    r
    R
    R
    D
    r
    D
    =
    . Т.к.
    E
    D
    r r
    0
    εε
    =
    , то
    2 0
    4
    )
    (
    r
    q
    r
    E
    π
    εε
    =
    Поэтому
    ⎪⎩




    <







    +

    =
    1 2
    0 1
    0 2
    ,
    2
    ,
    2 4
    )
    (
    R
    r
    r
    q
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    q
    r
    E
    π
    εε
    ε
    ε
    ε
    π
    ,








    <

    +

    =
    1 2
    2 1
    2 3
    2
    ,
    ,
    2
    )
    (
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    R
    E
    r
    E
    Т.к.
    E
    P
    r r
    0
    χε
    =
    , а
    1

    =
    ε
    χ
    , то
    ε
    ε
    π
    π
    πεε
    ε
    ε
    1 4
    4
    )
    1
    (
    )
    (
    2 2
    0 0


    =


    =
    r
    q
    r
    q
    r
    P
    , поэтому



    ⎪⎪



    <



    +


    +

    =

    ⎪⎩





    <







    +


    =
    1 2
    2 1
    2 2
    1 2
    1 2
    2
    ,
    ,
    )
    1
    )(
    2
    (
    )
    1 2
    (
    )
    (
    )
    (
    ,
    4
    )
    2
    (
    ,
    2 4
    4
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    R
    P
    r
    P
    R
    r
    r
    q
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    q
    r
    q
    r
    P
    ε
    ε
    ε
    επ
    ε
    ε
    ε
    π
    π

    Определим поверхностную плотность связанных зарядов
    ϕ
    πε
    ε
    σ
    cos
    4
    )
    1
    (
    )
    (
    2
    r
    q
    P
    r
    n

    =
    =

    , где
    ϕ
    cos - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности
    1
    cos cos

    =
    =
    π
    ϕ
    , а для внешней поверхности
    1 0
    cos cos
    =
    =
    ϕ
    Тогда
    ⎪⎩





    <







    +

    +

    =

    1 2
    1 2
    2
    ,
    4
    )
    2
    (
    ,
    2 4
    4
    )
    (
    R
    r
    r
    q
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    q
    r
    q
    r
    επ
    ε
    ε
    ε
    π
    π
    σ
    Поэтому
    2 2
    4 4
    )
    (
    R
    q
    R
    q
    R
    πε
    π
    σ
    +

    =

    , а
    2 0
    16
    )
    2
    (
    )
    2
    (
    )
    (
    R
    q
    R
    R
    πε
    ε
    σ
    σ

    =

    =

    Объёмная плотность связанных зарядов
    P
    −∇
    =

    ρ
    , для полярных координат
    2 2
    )
    (
    r
    P
    r

    =

    ρ
    Поэтому



    ⎪⎪



    <







    +

    =



    ⎪⎩




    <







    +

    =

    1 1
    2 2
    2 1
    1 2
    2
    ,
    0
    ,
    2
    )
    (
    )
    (
    ,
    0
    ,
    2 4
    )
    (
    R
    r
    R
    r
    R
    R
    r
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    R
    r
    Rr
    q
    r
    ρ
    ρ
    πε
    ρ
    Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках
    (
    )





    ⎛ −

    =
    +
    +

    =
    +
    =




    3
    ln
    4 1
    6 5
    4 2
    2 4
    )
    (
    )
    (
    0 2
    0 2
    0 2
    1 0
    1 1
    0 1
    1
    R
    q
    dr
    r
    q
    dr
    r
    r
    q
    dr
    r
    E
    dr
    r
    E
    U
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    πεε
    π
    εε
    ε
    πε
    ε
    Поэтому
    3
    ln
    4 4
    1 6
    5 0

    =
    =
    R
    U
    q
    С
    πεε
    1.5
    D r
    ( )
    E r
    ( )
    P r
    ( )
    ρ r
    ( )
    r

    Вариант 6
    Условие:
    Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R
    1
    и R
    0
    соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε
    1
    до ε
    2
    в интервале радиусов от R до R
    1
    и ε
    3
    =const в интервале радиусов от R
    1
    до R
    0
    (R1=½(R
    0
    +R)). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора.
    ε
    2

    1
    =1/2; ε
    3

    1
    =2/1; R
    0
    /R=3/1
    По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R),
    P(r)/P(R), ρ
    ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R
    0
    Решение:
    ,
    1
    ε
    ε
    =
    ,
    2 1
    2
    ε
    ε
    =
    ,
    2 3
    ε
    ε
    =
    ,
    3 0
    R
    R
    =
    R
    R
    R
    R
    2
    )
    (
    0 2
    1 1
    =
    +
    =
    Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса
    ⎪⎩





    +


    =
    3 1
    1 1
    2 1
    2 1
    )
    (
    ε
    ε
    ε
    ε
    ε
    ε
    R
    R
    R
    R
    r
    R
    R
    r
    Для данного варианта
    ⎪⎩




    <

    +

    =
    1 1
    ,
    2
    ,
    2 3
    2
    )
    (
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    ε
    ε
    ε
    ε
    По теореме Гаусса
    ∫∫
    = q
    s
    d
    D r r
    q
    r
    D
    =


    2 4
    π
    2 4
    )
    (
    r
    q
    r
    D
    π
    =

    и не зависит от диэлектрической проницаемости ε,
    2 2
    )
    (
    )
    (
    r
    R
    R
    D
    r
    D
    =
    . Т.к.
    E
    D
    r r
    0
    εε
    =
    , то
    2 0
    4
    )
    (
    r
    q
    r
    E
    π
    εε
    =
    Поэтому
    ⎪⎩




    <







    +

    =
    1 2
    0 1
    0 2
    ,
    8
    ,
    2 3
    2 4
    )
    (
    R
    r
    r
    q
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    q
    r
    E
    π
    εε
    ε
    ε
    ε
    π
    ,








    <

    +

    =
    1 2
    2 1
    2 3
    2
    ,
    ,
    2 3
    2
    )
    (
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    R
    E
    r
    E
    Т.к.
    E
    P
    r r
    0
    χε
    =
    , а
    1

    =
    ε
    χ
    , то
    ε
    ε
    π
    π
    πεε
    ε
    ε
    1 4
    4
    )
    1
    (
    )
    (
    2 2
    0 0


    =


    =
    r
    q
    r
    q
    r
    P
    , поэтому
    ,
    ,
    )
    1
    )(
    2 3
    2
    (
    )
    1 2
    3
    (
    2
    )
    (
    )
    (
    ,
    8
    )
    1 2
    (
    ,
    2 3
    2 4
    4
    )
    (
    1 2
    2 1
    2 2
    1 2
    1 2
    2




    ⎪⎪




    <



    +


    +

    =

    ⎪⎩





    <







    +


    =
    R
    r
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    R
    P
    r
    P
    R
    r
    r
    q
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    q
    r
    q
    r
    P
    ε
    ε
    ε
    επ
    ε
    ε
    ε
    π
    π

    Определим поверхностную плотность связанных зарядов
    ϕ
    πε
    ε
    σ
    cos
    4
    )
    1
    (
    )
    (
    2
    r
    q
    P
    r
    n

    =
    =

    , где
    ϕ
    cos - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности
    1
    cos cos

    =
    =
    π
    ϕ
    , а для внешней поверхности
    1 0
    cos cos
    =
    =
    ϕ
    Тогда
    ⎪⎩





    <







    +

    +

    =

    1 2
    1 2
    2
    ,
    8
    )
    1 2
    (
    ,
    2 3
    2 4
    4
    )
    (
    R
    r
    r
    q
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    q
    r
    q
    r
    επ
    ε
    ε
    ε
    π
    π
    σ
    Поэтому
    2 2
    4 4
    )
    (
    R
    q
    R
    q
    R
    πε
    π
    σ
    +

    =

    , а
    2 0
    72
    )
    1 2
    (
    )
    3
    (
    )
    (
    R
    q
    R
    R
    πε
    ε
    σ
    σ

    =

    =

    Объёмная плотность связанных зарядов
    P
    −∇
    =

    ρ
    , для полярных координат
    2 2
    )
    (
    r
    P
    r

    =

    ρ
    Поэтому



    ⎪⎪



    <







    +

    =



    ⎪⎩




    <







    +

    =

    1 1
    2 2
    2 1
    1 2
    2
    ,
    0
    ,
    2 3
    2
    )
    (
    )
    (
    ,
    0
    ,
    2 3
    2 2
    )
    (
    R
    r
    R
    r
    R
    R
    r
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    R
    r
    Rr
    q
    r
    ρ
    ρ
    πε
    ρ
    Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках
    (
    )








    =
    +
    +

    =
    +
    =




    24 7
    2
    ln
    9 4
    4 8
    4
    )
    (
    )
    (
    0 2
    0 2
    3 2
    2 0
    2 1
    0 1
    1 0
    1 1
    R
    q
    dr
    r
    q
    dr
    r
    r
    q
    dr
    r
    E
    dr
    r
    E
    U
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    πεε
    π
    εε
    πε
    ε
    ε
    Поэтому
    2
    ln
    4 24 7
    9 4
    0

    =
    =
    R
    U
    q
    С
    πεε
    1.6
    D r
    ( )
    E r
    ( )
    P r
    ( )
    ρ r
    ( )
    r

    1   2   3   4   5   6   7


    написать администратору сайта