МГТУ ДЗ№2 Физика 3 семестр. Задача 1 Вариант 1 Условие
 Скачать 0.54 Mb.
|
|
Вариант 4 Условие: Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R 1 и R 0 соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε 1 до ε 2 в интервале радиусов от R до R 1 и ε 3 =const в интервале радиусов от R 1 до R 0 (R1=½(R 0 +R)). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора. ε 2 /ε 1 =1/2; ε 3 /ε 1 =3/1; R 0 /R=3/1 По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R 0 Решение: , 1 ε ε = , 2 1 2 ε ε = , 3 3 ε ε = , 3 0 R R = R R R R 2 ) ( 0 2 1 1 = + = Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − + − − = 3 1 1 1 2 1 2 1 ) ( ε ε ε ε ε ε R R R R r R R r Для данного варианта ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ + − = 1 1 , 3 , 2 3 2 ) ( R r R r R r R r ε ε ε ε По теореме Гаусса ∫∫ = q s d D r r q r D = ⋅ ⇒ 2 4 π 2 4 ) ( r q r D π = ⇒ и не зависит от диэлектрической проницаемости ε, 2 2 ) ( ) ( r R R D r D = Т.к. E D r r 0 εε = , то 2 0 4 ) ( r q r E π εε = Поэтому ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = 1 2 0 1 0 2 , 12 , 2 3 2 4 ) ( R r r q R r R r R r q r E π εε ε ε ε π , ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ + − = 1 2 2 1 2 3 2 , , 2 3 2 ) ( ) ( R r r R R r R r R r R R E r E Т.к. E P r r 0 χε = , а 1 − = ε χ , то ε ε π π πεε ε ε 1 4 4 ) 1 ( ) ( 2 2 0 0 − ⋅ = − ⋅ = r q r q r P , поэтому ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⋅ − + − − + − = ⇒ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 , , ) 1 )( 2 3 2 ( ) 1 ( 2 ) ( ) ( , 12 ) 1 3 ( , 2 3 2 4 4 ) ( R r r R R r R r R R r R r R P r P R r r q R r R r R r q r q r P ε ε ε επ ε ε ε π π Определим поверхностную плотность связанных зарядов ϕ πε ε σ cos 4 ) 1 ( ) ( 2 r q P r n − = = ′ , где ϕ cos - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности 1 cos cos − = = π ϕ , а для внешней поверхности 1 0 cos cos = = ϕ Тогда ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + − = ′ 1 2 1 2 2 , 12 ) 1 3 ( , 2 3 2 4 4 ) ( R r r q R r R r R r q r q r επ ε ε ε π π σ Поэтому 2 2 4 4 ) ( R q R q R πε π σ + − = ′ , а 2 0 96 ) 1 3 ( ) 3 ( ) ( R q R R πε ε σ σ − = ′ = ′ Объёмная плотность связанных зарядов P −∇ = ′ ρ , для полярных координат 2 2 ) ( r P r ′ = ′ ρ Поэтому , 0 , 2 3 2 1 ) ( ) ( , 0 , 2 3 2 1 8 ) ( 1 1 2 2 2 1 1 2 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ′ ′ ⇒ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ′ R r R r R r R r R R r R r R r R r R Rr q r ρ ρ πε ρ Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ = + + − = + = ∫ ∫ ∫ ∫ 6 7 2 ln 3 4 12 12 4 ) ( ) ( 0 2 0 2 3 2 2 0 2 1 0 1 1 0 1 1 R q dr r q dr r r q dr r E dr r E U R R R R R R R R R πεε π εε πε ε ε Поэтому 7 2 ln 8 72 0 + = = R U q С πεε 1.4 D r ( ) E r ( ) P r ( ) ρ r ( ) r Вариант 5 Условие: Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R 1 и R 0 соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε 1 до ε 2 в интервале радиусов от R до R 1 и ε 3 =const в интервале радиусов от R 1 до R 0 (R1=½(R 0 +R)). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора. ε 2 /ε 1 =1/2; ε 3 /ε 1 =1/2; R 0 /R=2/1 По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R 0 Решение: , 1 ε ε = , 2 1 2 ε ε = , 2 1 3 ε ε = , 2 0 R R = R R R R 2 3 0 2 1 1 ) ( = + = Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − + − − = 3 1 1 1 2 1 2 1 ) ( ε ε ε ε ε ε R R R R r R R r Для данного варианта ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ + − = 1 2 1 1 , , 2 ) ( R r R r R r R r ε ε ε ε По теореме Гаусса ∫∫ = q s d D r r q r D = ⋅ ⇒ 2 4 π 2 4 ) ( r q r D π = ⇒ и не зависит от диэлектрической проницаемости ε, 2 2 ) ( ) ( r R R D r D = . Т.к. E D r r 0 εε = , то 2 0 4 ) ( r q r E π εε = Поэтому ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = 1 2 0 1 0 2 , 2 , 2 4 ) ( R r r q R r R r R r q r E π εε ε ε ε π , ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ + − = 1 2 2 1 2 3 2 , , 2 ) ( ) ( R r r R R r R r R r R R E r E Т.к. E P r r 0 χε = , а 1 − = ε χ , то ε ε π π πεε ε ε 1 4 4 ) 1 ( ) ( 2 2 0 0 − ⋅ = − ⋅ = r q r q r P , поэтому ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⋅ − + − − + − = ⇒ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 , , ) 1 )( 2 ( ) 1 2 ( ) ( ) ( , 4 ) 2 ( , 2 4 4 ) ( R r r R R r R r R R r R r R P r P R r r q R r R r R r q r q r P ε ε ε επ ε ε ε π π Определим поверхностную плотность связанных зарядов ϕ πε ε σ cos 4 ) 1 ( ) ( 2 r q P r n − = = ′ , где ϕ cos - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности 1 cos cos − = = π ϕ , а для внешней поверхности 1 0 cos cos = = ϕ Тогда ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + − = ′ 1 2 1 2 2 , 4 ) 2 ( , 2 4 4 ) ( R r r q R r R r R r q r q r επ ε ε ε π π σ Поэтому 2 2 4 4 ) ( R q R q R πε π σ + − = ′ , а 2 0 16 ) 2 ( ) 2 ( ) ( R q R R πε ε σ σ − = ′ = ′ Объёмная плотность связанных зарядов P −∇ = ′ ρ , для полярных координат 2 2 ) ( r P r ′ = ′ ρ Поэтому ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ′ ′ ⇒ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ′ 1 1 2 2 2 1 1 2 2 , 0 , 2 ) ( ) ( , 0 , 2 4 ) ( R r R r R R r r R R r R r R r R R r Rr q r ρ ρ πε ρ Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ = + + − = + = ∫ ∫ ∫ ∫ 3 ln 4 1 6 5 4 2 2 4 ) ( ) ( 0 2 0 2 0 2 1 0 1 1 0 1 1 R q dr r q dr r r q dr r E dr r E U R R R R R R R R R πεε π εε ε πε ε Поэтому 3 ln 4 4 1 6 5 0 − = = R U q С πεε 1.5 D r ( ) E r ( ) P r ( ) ρ r ( ) r Вариант 6 Условие: Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R 1 и R 0 соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε 1 до ε 2 в интервале радиусов от R до R 1 и ε 3 =const в интервале радиусов от R 1 до R 0 (R1=½(R 0 +R)). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора. ε 2 /ε 1 =1/2; ε 3 /ε 1 =2/1; R 0 /R=3/1 По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R 0 Решение: , 1 ε ε = , 2 1 2 ε ε = , 2 3 ε ε = , 3 0 R R = R R R R 2 ) ( 0 2 1 1 = + = Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − + − − = 3 1 1 1 2 1 2 1 ) ( ε ε ε ε ε ε R R R R r R R r Для данного варианта ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ + − = 1 1 , 2 , 2 3 2 ) ( R r R r R r R r ε ε ε ε По теореме Гаусса ∫∫ = q s d D r r q r D = ⋅ ⇒ 2 4 π 2 4 ) ( r q r D π = ⇒ и не зависит от диэлектрической проницаемости ε, 2 2 ) ( ) ( r R R D r D = . Т.к. E D r r 0 εε = , то 2 0 4 ) ( r q r E π εε = Поэтому ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = 1 2 0 1 0 2 , 8 , 2 3 2 4 ) ( R r r q R r R r R r q r E π εε ε ε ε π , ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ + − = 1 2 2 1 2 3 2 , , 2 3 2 ) ( ) ( R r r R R r R r R r R R E r E Т.к. E P r r 0 χε = , а 1 − = ε χ , то ε ε π π πεε ε ε 1 4 4 ) 1 ( ) ( 2 2 0 0 − ⋅ = − ⋅ = r q r q r P , поэтому , , ) 1 )( 2 3 2 ( ) 1 2 3 ( 2 ) ( ) ( , 8 ) 1 2 ( , 2 3 2 4 4 ) ( 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⋅ − + − − + − = ⇒ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = R r r R R r R r R R r R r R P r P R r r q R r R r R r q r q r P ε ε ε επ ε ε ε π π Определим поверхностную плотность связанных зарядов ϕ πε ε σ cos 4 ) 1 ( ) ( 2 r q P r n − = = ′ , где ϕ cos - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности 1 cos cos − = = π ϕ , а для внешней поверхности 1 0 cos cos = = ϕ Тогда ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + − = ′ 1 2 1 2 2 , 8 ) 1 2 ( , 2 3 2 4 4 ) ( R r r q R r R r R r q r q r επ ε ε ε π π σ Поэтому 2 2 4 4 ) ( R q R q R πε π σ + − = ′ , а 2 0 72 ) 1 2 ( ) 3 ( ) ( R q R R πε ε σ σ − = ′ = ′ Объёмная плотность связанных зарядов P −∇ = ′ ρ , для полярных координат 2 2 ) ( r P r ′ = ′ ρ Поэтому ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ′ ′ ⇒ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ′ 1 1 2 2 2 1 1 2 2 , 0 , 2 3 2 ) ( ) ( , 0 , 2 3 2 2 ) ( R r R r R R r r R R r R r R r R R r Rr q r ρ ρ πε ρ Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ = + + − = + = ∫ ∫ ∫ ∫ 24 7 2 ln 9 4 4 8 4 ) ( ) ( 0 2 0 2 3 2 2 0 2 1 0 1 1 0 1 1 R q dr r q dr r r q dr r E dr r E U R R R R R R R R R πεε π εε πε ε ε Поэтому 2 ln 4 24 7 9 4 0 − = = R U q С πεε 1.6 D r ( ) E r ( ) P r ( ) ρ r ( ) r |