МГТУ ДЗ№2 Физика 3 семестр. Задача 1 Вариант 1 Условие
 Скачать 0.54 Mb.
|
|
Вариант 14 Условие: Цилиндрический бесконечно длинный диэлектрический конденсатор заряжен до разности потенциалов U и имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R 0 и R соответственно. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε 1 до ε 2 в интервале радиусов от R до R 1 , и ε 3 =сonst в интервале радиусов R 1 до R 0 . Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора на единицу длины. ε 2 /ε 1 =1/2; ε 3 /ε 1 =3/1; R 0 /R=3/1 По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R 0 Решение: , 1 ε ε = , 2 / 2 ε ε = , 3 3 ε ε = , 3 0 R R = R R R R 2 ) ( 0 2 1 1 = + = Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − + − − = 3 1 1 1 2 1 2 1 ) ( ε ε ε ε ε ε R R R R r R R r Для данного варианта ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = 1 1 , 3 , 2 3 2 1 ) ( R r R r R r R r ε ε ε По теореме Гаусса ∫∫ = q s d D r r h rh D λ π = ⋅ ⇒ 2 r r D π λ 2 ) ( = ⇒ и не зависит от диэлектрической проницаемости ε. Т.к. E D r r 0 εε = , то r r E ε πε λ 0 2 ) ( = . Поэтому ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = 1 0 1 0 , 6 , 2 3 2 1 2 ) ( R r r R r R r R r r E π εε λ ε ε π λ , ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ + − = ⇒ 1 1 2 2 , , 3 2 ) ( ) ( R r r R R r R Rr r R R E r E Т.к. E P r r 0 χε = , а 1 − = ε χ , то ε ε π λ πεε ε ε λ 1 2 2 ) 1 ( ) ( 0 0 − ⋅ = − ⋅ = r r r P , поэтому ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = 1 1 , 6 ) 1 ( , 2 3 2 1 2 2 ) ( R r r q R r R r R r r r P επ ε ε π λ π λ , ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⋅ − + − − + − = 1 1 2 3 2 1 2 3 2 1 , , ) 1 )( ( ) 1 ( ) ( ) ( R r r R R r R r R R r R r R P r P ε ε ε Определим поверхностную плотность связанных зарядов ϕ πε ε σ cos 4 ) 1 ( ) ( 2 r q P r n − = = ′ , где ϕ cos - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности 1 cos cos − = = π ϕ , а для внешней поверхности 1 0 cos cos = = ϕ . Тогда ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + − = ′ 1 1 , 6 ) 1 ( , 2 3 2 1 2 2 ) ( R r r R r R r R r r r επ ε λ ε π λ π λ σ Поэтому R R R πε λ π λ σ 2 2 ) ( + − = ′ , а R q R R πε ε σ σ 12 ) 1 ( ) 2 ( ) ( 0 − = ′ = ′ Объёмная плотность связанных зарядов P −∇ = ′ ρ , для полярных координат 2 2 ) ( r P r ′ = ′ ρ Поэтому ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = ′ 1 2 1 2 2 2 , 6 ) 1 ( , 2 3 2 4 3 2 ) ( R r r R r R R r r r r πε ε λ πε λ π λ ρ , ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⋅ − + − − + − = ′ ′ 1 2 2 1 2 2 2 3 2 2 3 2 1 2 2 3 2 2 3 2 1 , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( R r r R R r R r R R r R R r R r ε ε ρ ρ Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках 2 3 ln 6 ) ln( 6 3 2 ln 6 6 2 3 2 1 2 ) ( ) ( 0 0 0 0 0 2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 πεε λ πεε λ πεε λ π εε λ ε ε π λ = ⋅ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = + = ∫ ∫ ∫ ∫ R R R R R R R R R R R R r r R r dr r dr r R r dr r E dr r E U Поэтому 0 2 3 ln 6 πεε λ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = U Uh q С h 14 D r ( ) E r ( ) P r ( ) ρ r ( ) Вариант 15 Условие: Цилиндрический бесконечно длинный диэлектрический конденсатор заряжен до разности потенциалов U и имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R 0 и R соответственно. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε 1 до ε 2 в интервале радиусов от R до R 1 , и ε 3 =сonst в интервале радиусов R 1 до R 0 . Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора на единицу длины. ε 2 /ε 1 =1/3; ε 3 /ε 1 =1/2; R 0 /R=2/1 По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R 0 Решение: , 1 ε ε = , 3 / 2 ε ε = , 2 / 3 ε ε = , 2 0 R R = R R R R 2 3 0 2 1 1 ) ( = + = Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − + − − = 3 1 1 1 2 1 2 1 ) ( ε ε ε ε ε ε R R R R r R R r Для данного варианта ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = 1 1 , 2 , 3 7 9 2 ) ( R r R r R r R r ε ε ε По теореме Гаусса ∫∫ = q s d D r r h rh D λ π = ⋅ ⇒ 2 r r D π λ 2 ) ( = ⇒ и не зависит от диэлектрической проницаемости ε, r R R D r D = ) ( ) ( . Т.к. E D r r 0 εε = , то r r E ε πε λ 0 2 ) ( = Поэтому ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = 1 0 1 0 , , 3 7 9 2 2 ) ( R r r R r R r R r r E π εε λ ε ε π λ , ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ − = ⇒ 1 1 2 2 , , 3 4 ) ( ) ( R r r R R r R Rr r R R E r E Т.к. E P r r 0 χε = , а 1 − = ε χ , то ε ε π λ πεε ε ε λ 1 2 2 ) 1 ( ) ( 0 0 − ⋅ = − ⋅ = r r r P , поэтому ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = 1 1 , 2 ) 2 ( , 3 7 9 2 2 2 ) ( R r r R r R r R r r r P επ ε λ ε π λ π λ , ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⋅ − − + − − = 1 1 , , ) 1 )( 3 4 ( ) 1 3 ( 2 ) ( ) ( R r r R R r R r R R r R r R P r P ε ε ε Определим поверхностную плотность связанных зарядов ϕ πε ε σ cos 4 ) 1 ( ) ( 2 r q P r n − = = ′ , где ϕ cos косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности 1 cos cos − = = π ϕ , а для внешней поверхности 1 0 cos cos = = ϕ . Тогда ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + − = ′ 1 1 , 2 ) 2 ( , 3 7 9 2 2 2 ) ( R r r R r R r R r r r επ ε λ ε π λ π λ σ Поэтому К R R R πε λ πε λ π λ σ 19 5 38 9 2 ) ( − = + − = ′ , а R q R R πε ε σ σ 4 ) 2 ( ) 2 ( ) ( 0 − = ′ = ′ Объёмная плотность связанных зарядов P −∇ = ′ ρ , для полярных координат 2 2 ) ( r P r ′ = ′ ρ Поэтому ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = ′ 1 2 1 2 2 2 , 2 ) 2 ( , 3 7 9 2 6 7 2 ) ( R r r R r R r R r r r πε ε λ πε λ π λ ρ , ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⋅ − + − − + − = ′ ′ 1 2 2 1 2 2 361 189 2 19 21 19 2 361 189 2 19 21 19 2 , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( R r r R R r R r R R r R r R r ε ε ρ ρ Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках ). 4 3 ln 6 3 (ln 6 ) ln( 3 4 ln 6 3 4 2 ) ( ) ( 0 0 0 0 0 2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 + = ⋅ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + = ∫ ∫ ∫ ∫ πεε λ πεε λ πεε λ π εε λ ε ε π λ R R R R R R R R R R R R r r R r dr r dr r R r dr r E dr r E U Поэтому 0 4 3 ln 6 3 ln 6 πεε λ + = = = U Uh q С h 14 D r ( ) E r ( ) P r ( ) ρ r ( ) Вариант 16 Условие: Цилиндрический бесконечно длинный диэлектрический конденсатор заряжен до разности потенциалов U и имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R 0 и R соответственно. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε 1 до ε 2 в интервале радиусов от R до R 1 , и ε 3 =сonst в интервале радиусов R 1 до R 0 . Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора на единицу длины. ε 2 /ε 1 =1/2; ε 3 /ε 1 =2/1; R 0 /R=3/1 По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R 0 Решение: , 1 ε ε = , 2 / 2 ε ε = , 2 3 ε ε = , 3 0 R R = R R R R 2 ) ( 0 2 1 1 = + = Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − + − − = 3 1 1 1 2 1 2 1 ) ( ε ε ε ε ε ε R R R R r R R r Для данного варианта ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = 1 1 , 2 , 2 3 2 1 ) ( R r R r R r R r ε ε ε По теореме Гаусса ∫∫ = q s d D r r h rh D λ π = ⋅ ⇒ 2 r r D π λ 2 ) ( = ⇒ и не зависит от диэлектрической проницаемости ε. Т.к. E D r r 0 εε = , то r r E ε πε λ 0 2 ) ( = . Поэтому ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = 1 0 1 0 , 4 , 2 3 2 1 2 ) ( R r r R r R r R r r E π εε λ ε ε π λ , ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ + − = ⇒ 1 1 2 2 , , 3 2 ) ( ) ( R r r R R r R Rr r R R E r E Т.к. E P r r 0 χε = , а 1 − = ε χ , то ε ε π λ πεε ε ε λ 1 2 2 ) 1 ( ) ( 0 0 − ⋅ = − ⋅ = r r r P , поэтому ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = 1 1 , 4 ) 1 ( , 2 3 2 1 2 2 ) ( R r r q R r R r R r r r P επ ε ε π λ π λ , ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⋅ − + − − + − = 1 1 2 3 2 1 2 3 2 1 , , ) 1 )( ( ) 1 ( ) ( ) ( R r r R R r R r R R r R r R P r P ε ε ε Определим поверхностную плотность связанных зарядов ϕ πε ε σ cos 4 ) 1 ( ) ( 2 r q P r n − = = ′ , где ϕ cos косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности 1 cos cos − = = π ϕ , а для внешней поверхности 1 0 cos cos = = ϕ . Тогда ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + − = ′ 1 1 , 4 ) 1 ( , 2 3 2 1 2 2 ) ( R r r R r R r R r r r επ ε λ ε π λ π λ σ Поэтому R R R πε λ π λ σ 2 2 ) ( + − = ′ , а R q R R πε ε σ σ 18 ) 1 ( ) 2 ( ) ( 0 − = ′ = ′ Объёмная плотность связанных зарядов P −∇ = ′ ρ , для полярных координат 2 2 ) ( r P r ′ = ′ ρ Поэтому ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = ′ 1 2 1 2 2 2 , 4 ) 1 ( , 2 3 2 4 3 2 ) ( R r r R r R R r r r r πε ε λ πε λ π λ ρ , ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ ⋅ − + − − + − = ′ ′ 1 2 2 1 2 2 2 3 2 2 3 2 1 2 2 3 2 2 3 2 1 , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( R r r R R r R r R R r R R r R r ε ε ρ ρ Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках 32 9 ln 12 ) ln( 4 3 2 ln 6 4 2 3 2 1 2 ) ( ) ( 0 0 0 0 0 2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 πεε λ πεε λ πεε λ π εε λ ε ε π λ = ⋅ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = + = ∫ ∫ ∫ ∫ R R R R R R R R R R R R r r R r dr r dr r R r dr r E dr r E U Поэтому 0 32 9 ln 12 πεε λ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = U Uh q С h 14 D r ( ) E r ( ) P r ( ) ρ r ( ) |