МГТУ ДЗ№2 Физика 3 семестр. Задача 1 Вариант 1 Условие
 Скачать 0.54 Mb.
|
|
Задача 1.5 Вариант 21 Условие: Плоский диэлектрический конденсатор заряжен до разности потенциалов U и расстояние между обкладками равно d. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по закону ε=f(у). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора на единицу площади. n n n n d y d d y f + + = = 0 ) ( ε d 0 /d=2/1, n=1. По результатам вычислений построить графически зависимости D(y), E(y), P(y). Решение: d d 2 0 = . Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию ординаты 3 ) ( 0 d y d d y d d y f + = + + = = ε По теореме Гаусса ∫∫ = q s d D r r 2 q S D = ⋅ ⇒ 2 2 2 ) ( σ = = ⇒ S q y D и не зависит от диэлектрической проницаемости ε. Т.к. E D r r 0 εε = , то 0 2 ) ( εε σ = y E . Поэтому d d y y E 0 6 ) ( ) ( ε σ + = Т.к. E P r r 0 χε = , а 1 − = ε χ , то ε ε σ εε ε ε σ 1 2 2 ) 1 ( ) ( 0 0 − ⋅ = − ⋅ = y P , поэтому d d y y P 6 ) ( 2 ) ( + − = σ σ Определим поверхностную плотность связанных зарядов ϕ ε ε σ σ cos 2 ) 1 ( ) ( − = = ′ n P y , где ϕ cos - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности 1 cos cos − = = π ϕ , а для внешней поверхности 1 0 cos cos = = ϕ Тогда ϕ σ ϕ σ σ cos 6 ) ( cos 2 ) ( d d y y + − = ′ Поэтому 3 ) 0 ( σ σ − = ′ , а 6 ) ( ) ( 0 σ σ σ = ′ = ′ d R Объёмная плотность связанных зарядов y P P ∂ ∂ − = −∇ = ′ ρ , поэтому d y 6 ) ( σ ρ = ′ Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках 0 0 2 0 0 0 0 2 3 ) ( 6 6 ) ( ) ( ε σ ε σ ε σ d d y d dy d d y dr r E U d d d = + = + = = ∫ ∫ Поэтому 0 3 2 ε σ d U US q С s = = = Вариант 22 Условие: Плоский диэлектрический конденсатор заряжен до разности потенциалов U и расстояние между обкладками равно d. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по закону ε=f(у). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора на единицу площади. n n n d y d y f 0 0 ) ( + − = = ε d 0 /d=2/1, n=2. По результатам вычислений построить графически зависимости D(y), E(y), P(y). Решение: d d 2 0 = . Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию ординаты 4 4 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 0 y d d d y d d y f − = + + = = ε По теореме Гаусса ∫∫ = q s d D r r 2 q S D = ⋅ ⇒ 2 2 2 ) ( σ = = ⇒ S q y D и не зависит от диэлектрической проницаемости ε. Т.к. E D r r 0 εε = , то 0 2 ) ( εε σ = y E . Поэтому 2 0 2 2 8 ) 4 ( ) ( d y d y E ε σ − = Т.к. E P r r 0 χε = , а 1 − = ε χ , то ε ε σ εε ε ε σ 1 2 2 ) 1 ( ) ( 0 0 − ⋅ = − ⋅ = y P , поэтому 2 2 2 8 ) 4 ( 2 ) ( d d y y P + − − = σ σ Определим поверхностную плотность связанных зарядов ϕ ε ε σ σ cos 2 ) 1 ( ) ( − = = ′ n P y , где ϕ cos косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и 21 D y ( ) E y ( ) P y ( ) y поляризованностью, для внутренней поверхности 1 cos cos − = = π ϕ , а для внешней поверхности 1 0 cos cos = = ϕ . Тогда ϕ σ ϕ σ σ cos 8 ) 4 ( cos 2 ) ( 2 2 2 d d y y + − − = ′ Поэтому 0 ) 0 ( = ′ σ , а 8 ) ( σ σ = ′ d Объёмная плотность связанных зарядов y P P ∂ ∂ − = −∇ = ′ ρ , поэтому 2 4 ) ( d y y σ ρ = ′ Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках 0 0 2 3 2 0 0 2 0 2 2 0 3 5 ) 4 3 ( 8 8 ) 4 ( ) ( ε σ ε σ ε σ d y d y d dy d d y dr r E U d d d = + − = + − = = ∫ ∫ Поэтому 0 5 3 ε σ d U US q С s = = = Вариант 23 Условие: Плоский диэлектрический конденсатор заряжен до разности потенциалов U и расстояние между обкладками равно d. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по закону ε=f(у). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора на единицу площади. n n n n d y d d y f + + = = 0 ) ( ε d 0 /d=2/1, n=1. По результатам вычислений построить графически зависимости D(y), E(y), P(y). Решение: d d 2 0 = . Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию ординаты 3 ) ( 0 d y d d y d d y f + = + + = = ε По теореме Гаусса ∫∫ = q s d D r r 2 q S D = ⋅ ⇒ 2 2 2 ) ( σ = = ⇒ S q y D и не зависит от диэлектрической проницаемости ε. Т.к. E D r r 0 εε = , то 0 2 ) ( εε σ = y E . Поэтому d d y y E 0 6 ) ( ) ( ε σ + = Т.к. E P r r 0 χε = , а 1 − = ε χ , то ε ε σ εε ε ε σ 1 2 2 ) 1 ( ) ( 0 0 − ⋅ = − ⋅ = y P , поэтому d d y y P 6 ) ( 2 ) ( + − = σ σ Определим поверхностную плотность связанных зарядов ϕ ε ε σ σ cos 2 ) 1 ( ) ( − = = ′ n P y , где ϕ cos - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности 1 cos cos − = = π ϕ , а для внешней поверхности 1 0 cos cos = = ϕ . Тогда ϕ σ ϕ σ σ cos 6 ) ( cos 2 ) ( d d y y + − = ′ 22 D y ( ) E y ( ) P y ( ) y Поэтому 3 ) 0 ( σ σ − = ′ , а 6 ) ( ) ( 0 σ σ σ = ′ = ′ d R Объёмная плотность связанных зарядов y P P ∂ ∂ − = −∇ = ′ ρ , поэтому d y 6 ) ( σ ρ = ′ Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках 0 0 2 0 0 0 0 2 3 ) ( 6 6 ) ( ) ( ε σ ε σ ε σ d d y d dy d d y dr r E U d d d = + = + = = ∫ ∫ Поэтому 0 3 2 ε σ d U US q С s = = = Вариант 24 Условие: Плоский диэлектрический конденсатор заряжен до разности потенциалов U и расстояние между обкладками равно d. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по закону ε=f(у). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора на единицу площади. n n n d y d y f 0 0 ) ( + − = = ε d 0 /d=3/1, n=2. По результатам вычислений построить графически зависимости D(y), E(y), P(y). Решение: d d 3 0 = . Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию ординаты 9 9 ) ( 2 2 2 y d d y f − = = ε По теореме Гаусса ∫∫ = q s d D r r 2 q S D = ⋅ ⇒ 2 2 2 ) ( σ = = ⇒ S q y D и не зависит от диэлектрической проницаемости ε. Т.к. E D r r 0 εε = , то 0 2 ) ( εε σ = y E . Поэтому 2 0 2 2 18 ) 9 ( ) ( d d y y E ε σ + − = Т.к. E P r r 0 χε = , а 1 − = ε χ , то ε ε σ εε ε ε σ 1 2 2 ) 1 ( ) ( 0 0 − ⋅ = − ⋅ = y P , поэтому 2 2 2 18 ) 9 ( 2 ) ( d d y y P + − − = σ σ Определим поверхностную плотность связанных зарядов ϕ ε ε σ σ cos 2 ) 1 ( ) ( − = = ′ n P y , где ϕ cos - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности 1 cos cos − = = π ϕ , а для внешней поверхности 1 0 cos cos = = ϕ . Тогда ϕ σ ϕ σ σ cos 18 ) 9 ( cos 2 ) ( 2 2 2 d d y y + − − = ′ 23 D y ( ) E y ( ) P y ( ) y Поэтому 0 ) 0 ( = ′ σ , а 18 ) ( ) ( 0 σ σ σ = ′ = ′ d R Объёмная плотность связанных зарядов y P P ∂ ∂ − = −∇ = ′ ρ , поэтому 2 9 ) ( d y y σ ρ = ′ Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках 0 0 2 3 0 0 2 0 2 2 0 ) 9 3 ( 18 18 ) 9 ( ) ( ε σ ε σ ε σ d y d y d dy d d y dr r E U d d d = + − = + − = = ∫ ∫ Поэтому d U US q С s 0 ε σ = = = Вариант 25 Условие: Плоский диэлектрический конденсатор заряжен до разности потенциалов U и расстояние между обкладками равно d. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по закону ε=f(у). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора на единицу площади. n n n n d y d d y f + + = = 0 ) ( ε d 0 /d=3/1, n=1. По результатам вычислений построить графически зависимости D(y), E(y), P(y). Решение: d d 3 0 = . Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию ординаты 4 ) ( 0 d y d d y d d y f + = + + = = ε По теореме Гаусса ∫∫ = q s d D r r 2 q S D = ⋅ ⇒ 2 2 2 ) ( σ = = ⇒ S q y D и не зависит от диэлектрической проницаемости ε. Т.к. E D r r 0 εε = , то 0 2 ) ( εε σ = y E . Поэтому d d y y E 0 8 ) ( ) ( ε σ + = Т.к. E P r r 0 χε = , а 1 − = ε χ , то ε ε σ εε ε ε σ 1 2 2 ) 1 ( ) ( 0 0 − ⋅ = − ⋅ = y P , поэтому d d y y P 8 ) ( 2 ) ( + − = σ σ Определим поверхностную плотность связанных зарядов ϕ ε ε σ σ cos 2 ) 1 ( ) ( − = = ′ n P y , где ϕ cos - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности 1 cos cos − = = π ϕ , а для внешней поверхности 1 0 cos cos = = ϕ . Тогда ϕ σ ϕ σ σ cos 8 ) ( cos 2 ) ( d d y y + − = ′ 24 D y ( ) E y ( ) P y ( ) y Поэтому 8 3 ) 0 ( σ σ − = ′ , а 4 ) ( ) ( 0 σ σ σ = ′ = ′ d R Объёмная плотность связанных зарядов y P P ∂ ∂ − = −∇ = ′ ρ , поэтому d y 8 ) ( σ ρ = ′ Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках 0 0 2 0 0 0 0 2 ) ( 8 8 ) ( ) ( ε σ ε σ ε σ d d y d dy d d y dr r E U d d d = + = + = = ∫ ∫ Поэтому 0 2 1 ε σ d U US q С s = = = Вариант 26 Условие: Плоский диэлектрический конденсатор заряжен до разности потенциалов U и расстояние между обкладками равно d. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по закону ε=f(у). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора на единицу площади. n n n d y d y f 0 0 ) ( + − = = ε d 0 /d=3/1, n=2. По результатам вычислений построить графически зависимости D(y), E(y), P(y). Решение: d d 3 0 = . Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию ординаты 9 9 ) ( 2 2 2 d y d y f + − = = ε По теореме Гаусса ∫∫ = q s d D r r 2 q S D = ⋅ ⇒ 2 2 2 ) ( σ = = ⇒ S q y D и не зависит от диэлектрической проницаемости ε. Т.к. E D r r 0 εε = , то 0 2 ) ( εε σ = y E . Поэтому 2 0 2 2 18 ) 9 ( ) ( d d y y E ε σ + − = Т.к. E P r r 0 χε = , а 1 − = ε χ , то ε ε σ εε ε ε σ 1 2 2 ) 1 ( ) ( 0 0 − ⋅ = − ⋅ = y P , поэтому 2 2 2 18 ) 9 ( 2 ) ( d d y y P + − − = σ σ Определим поверхностную плотность связанных зарядов ϕ ε ε σ σ cos 2 ) 1 ( ) ( − = = ′ n P y , где ϕ cos - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности 1 cos cos − = = π ϕ , а для внешней поверхности 1 0 cos cos = = ϕ . Тогда ϕ σ ϕ σ σ cos 18 ) 9 ( cos 2 ) ( 2 2 2 d d y y + − − = ′ 25 2 0 D y ( ) E y ( ) P y ( ) 3 0 y Поэтому 0 ) 0 ( = ′ σ , а 18 ) ( σ σ = ′ d Объёмная плотность связанных зарядов y P P ∂ ∂ − = −∇ = ′ ρ , поэтому 2 9 ) ( d y y σ ρ = ′ Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках 0 0 2 3 0 0 2 0 2 2 0 ) 9 3 ( 18 18 ) 9 ( ) ( ε σ ε σ ε σ d y d y d dy d d y dr r E U d d d = + − = + − = = ∫ ∫ Поэтому d U US q С s 0 ε σ = = = 26 2 0 D y ( ) E y ( ) P y ( ) 3 0 y |