Главная страница
Навигация по странице:

  • Вариант 12 Условие

  • Вариант 13 Условие

  • МГТУ ДЗ№2 Физика 3 семестр. Задача 1 Вариант 1 Условие


    Скачать 0.54 Mb.
    НазваниеЗадача 1 Вариант 1 Условие
    АнкорМГТУ ДЗ№2 Физика 3 семестр
    Дата30.10.2019
    Размер0.54 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаPervyi_774_tipak_ves_reshennyi_774_elektrostatika.pdf
    ТипЗадача
    #92739
    страница4 из 7
    1   2   3   4   5   6   7
    Задача 1.3
    Вариант 11
    Условие:
    Цилиндрический бесконечно длинный диэлектрический конденсатор заряжен до разности потенциалов U и имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R
    0
    и R соответственно.
    Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε
    1
    до ε
    2 в интервале радиусов от R до R
    1
    , и ε
    3
    =сonst в интервале радиусов
    R
    1
    до R
    0
    . Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора.
    Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора на единицу длины.
    ε
    2

    1
    =2/1; ε
    3

    1
    =2/1; R
    0
    /R=2/1
    По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R),
    P(r)/P(R), ρ
    ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R
    0
    Решение:
    ,
    1
    ε
    ε
    =
    ,
    2 2
    ε
    ε
    =
    ,
    2 3
    ε
    ε
    =
    ,
    2 0
    R
    R
    =
    R
    R
    R
    R
    2 3
    0 2
    1 1
    )
    (
    =
    +
    =
    Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса
    ⎪⎩





    +


    =
    3 1
    1 1
    2 1
    2 1
    )
    (
    ε
    ε
    ε
    ε
    ε
    ε
    R
    R
    R
    R
    r
    R
    R
    r
    Для данного варианта
    ⎪⎩




    <








    =
    1 1
    ,
    2
    ,
    1 2
    )
    (
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    ε
    ε
    ε
    По теореме Гаусса
    ∫∫
    = q
    s
    d
    D r r
    h
    rh
    D
    λ
    π
    =


    2
    r
    r
    D
    π
    λ
    2
    )
    (
    =

    и не зависит от диэлектрической проницаемости ε.
    Т.к.
    E
    D
    r r
    0
    εε
    =
    , то
    r
    r
    E
    ε
    πε
    λ
    0 2
    )
    (
    =
    . Поэтому
    ⎪⎩




    <








    =
    1 0
    1 0
    ,
    4
    ,
    1 2
    2
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    r
    E
    π
    εε
    λ
    ε
    ε
    π
    λ
    ,






    <


    =

    1 1
    2 2
    ,
    ,
    2
    )
    (
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    R
    r
    R
    Rr
    r
    R
    R
    E
    r
    E
    Т.к.
    E
    P
    r r
    0
    χε
    =
    , а
    1

    =
    ε
    χ
    , то
    ε
    ε
    π
    λ
    πεε
    ε
    ε
    λ
    1 2
    2
    )
    1
    (
    )
    (
    0 0


    =


    =
    r
    r
    r
    P
    , поэтому

    ⎪⎩





    <









    =
    1 1
    ,
    4
    )
    1 2
    (
    ,
    1 2
    2 2
    )
    (
    R
    r
    r
    q
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    r
    r
    P
    επ
    ε
    ε
    π
    λ
    π
    λ
    ,



    ⎪⎪



    <




    +

    =
    1 1
    ,
    ,
    )
    1
    )(
    2
    (
    )
    1
    (
    2
    )
    (
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    R
    P
    r
    P
    ε
    ε
    ε
    Определим поверхностную плотность связанных зарядов
    ϕ
    πε
    ε
    σ
    cos
    4
    )
    1
    (
    )
    (
    2
    r
    q
    P
    r
    n

    =
    =

    , где
    ϕ
    cos - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности
    1
    cos cos

    =
    =
    π
    ϕ
    , а для внешней поверхности
    1 0
    cos cos
    =
    =
    ϕ
    . Тогда
    ⎪⎩





    <








    +

    =

    1 1
    ,
    4
    )
    1 2
    (
    ,
    1 2
    2 2
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    r
    r
    επ
    ε
    λ
    ε
    π
    λ
    π
    λ
    σ
    Поэтому
    R
    R
    R
    πε
    λ
    π
    λ
    σ
    2 2
    )
    (
    +

    =

    , а
    R
    q
    R
    R
    πε
    ε
    σ
    σ
    8
    )
    1 2
    (
    )
    2
    (
    )
    (
    0

    =

    =

    Объёмная плотность связанных зарядов
    P
    −∇
    =

    ρ
    , для полярных координат
    2 2
    )
    (
    r
    P
    r

    =

    ρ
    Поэтому
    ⎪⎩





    <








    +

    =

    1 2
    1 2
    2 2
    ,
    4
    )
    1 2
    (
    ,
    1 2
    2 2
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    r
    r
    πε
    ε
    λ
    πε
    λ
    π
    λ
    ρ
    ,



    ⎪⎪



    <






    =


    1 2
    2 1
    2 2
    2 2
    2
    ,
    ,
    )
    1
    (
    )
    2
    (
    )
    2
    (
    )
    (
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    R
    R
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    ε
    ε
    ρ
    ρ
    Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках
    3 4
    ln
    2
    )
    ln(
    4 2
    ln
    2 4
    1 2
    2
    )
    (
    )
    (
    0 0
    0 0
    0 2
    1 0
    1 1
    0 1
    1 0
    1 1
    πεε
    λ
    πεε
    λ
    πεε
    λ
    π
    εε
    λ
    ε
    ε
    π
    λ
    =

    +
    +








    =
    +







    =
    +
    =




    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    r
    r
    R
    r
    dr
    r
    dr
    r
    R
    r
    dr
    r
    E
    dr
    r
    E
    U
    Поэтому
    0 3
    4
    ln
    2
    πεε
    λ






    =
    =
    =
    U
    Uh
    q
    С
    h
    11
    D r
    ( )
    E r
    ( )
    P r
    ( )
    ρ r
    ( )

    Вариант 12
    Условие:
    Цилиндрический бесконечно длинный диэлектрический конденсатор заряжен до разности потенциалов U и имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R
    0
    и R соответственно.
    Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε
    1
    до ε
    2 в интервале радиусов от R до R
    1
    , и ε
    3
    =сonst в интервале радиусов
    R
    1
    до R
    0
    . Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора.
    Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора на единицу длины.
    ε
    2

    1
    =3/1; ε
    3

    1
    =1/2; R
    0
    /R=2/1
    По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R),
    P(r)/P(R), ρ
    ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R
    0
    Решение:
    ,
    1
    ε
    ε
    =
    ,
    3 2
    ε
    ε
    =
    ,
    2
    /
    3
    ε
    ε
    =
    ,
    2 0
    R
    R
    =
    R
    R
    R
    R
    2 3
    0 2
    1 1
    )
    (
    =
    +
    =
    Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса
    ⎪⎩





    +


    =
    3 1
    1 1
    2 1
    2 1
    )
    (
    ε
    ε
    ε
    ε
    ε
    ε
    R
    R
    R
    R
    r
    R
    R
    r
    Для данного варианта
    ⎪⎩




    <








    =
    1 1
    ,
    2
    ,
    3 4
    )
    (
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    ε
    ε
    ε
    По теореме Гаусса
    ∫∫
    = q
    s
    d
    D r r
    h
    rh
    D
    λ
    π
    =


    2
    r
    r
    D
    π
    λ
    2
    )
    (
    =

    и не зависит от диэлектрической проницаемости ε,
    r
    R
    R
    D
    r
    D
    =
    )
    (
    )
    (
    . Т.к.
    E
    D
    r r
    0
    εε
    =
    , то
    r
    r
    E
    ε
    πε
    λ
    0 2
    )
    (
    =
    . Поэтому
    ⎪⎩




    <








    =
    1 0
    1 0
    ,
    ,
    3 4
    2
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    r
    E
    π
    εε
    λ
    ε
    ε
    π
    λ
    ,






    <


    =

    1 1
    2 2
    ,
    ,
    3 4
    )
    (
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    R
    r
    R
    Rr
    r
    R
    R
    E
    r
    E
    Т.к.
    E
    P
    r r
    0
    χε
    =
    , а
    1

    =
    ε
    χ
    , то
    ε
    ε
    π
    λ
    πεε
    ε
    ε
    λ
    1 2
    2
    )
    1
    (
    )
    (
    0 0


    =


    =
    r
    r
    r
    P
    , поэтому

    ⎪⎩





    <









    =
    1 1
    ,
    2
    )
    2
    (
    ,
    3 4
    2 2
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    r
    r
    P
    επ
    ε
    λ
    ε
    π
    λ
    π
    λ
    ,



    ⎪⎪



    <




    +

    =
    1 1
    ,
    ,
    )
    1
    )(
    3 4
    (
    )
    1 3
    (
    )
    (
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    R
    P
    r
    P
    ε
    ε
    ε
    Определим поверхностную плотность связанных зарядов
    ϕ
    πε
    ε
    σ
    cos
    4
    )
    1
    (
    )
    (
    2
    r
    q
    P
    r
    n

    =
    =

    , где
    ϕ
    cos - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности
    1
    cos cos

    =
    =
    π
    ϕ
    , а для внешней поверхности
    1 0
    cos cos
    =
    =
    ϕ
    . Тогда
    ⎪⎩





    <








    +

    =

    1 1
    ,
    2
    )
    2
    (
    ,
    3 4
    2 2
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    r
    r
    επ
    ε
    λ
    ε
    π
    λ
    π
    λ
    σ
    Поэтому
    R
    R
    R
    πε
    λ
    π
    λ
    σ
    2 2
    )
    (
    +

    =

    , а
    R
    q
    R
    R
    πε
    ε
    σ
    σ
    4
    )
    2
    (
    )
    2
    (
    )
    (
    0

    =

    =

    Объёмная плотность связанных зарядов
    P
    −∇
    =

    ρ
    , для полярных координат
    2 2
    )
    (
    r
    P
    r

    =

    ρ
    Поэтому
    (
    )
    ⎪⎩





    <


    +
    =

    1 2
    1 2
    2 2
    2
    ,
    2
    )
    2
    (
    ,
    3 4
    2 3
    2
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    r
    R
    R
    r
    r
    R
    r
    r
    πε
    ε
    λ
    πε
    λ
    π
    λ
    ρ
    ,



    ⎪⎪



    <



    +


    =


    1 2
    2 1
    2 2
    2 2
    2
    ,
    ,
    )
    3 4
    )(
    3
    (
    3
    )
    3 4
    (
    )
    (
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    R
    R
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    ε
    ε
    ρ
    ρ
    Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках
    ).
    4 3
    ln
    6 3
    (ln
    6
    )
    ln(
    3 4
    ln
    6 3
    4 2
    )
    (
    )
    (
    0 0
    0 0
    0 2
    1 0
    1 1
    0 1
    1 0
    1 1
    +
    =

    +
    +








    =
    +







    =
    +
    =




    πεε
    λ
    πεε
    λ
    πεε
    λ
    π
    εε
    λ
    ε
    ε
    π
    λ
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    r
    r
    R
    r
    dr
    r
    dr
    r
    R
    r
    dr
    r
    E
    dr
    r
    E
    U
    Поэтому
    0 4
    3
    ln
    6 3
    ln
    6
    πεε
    λ
    +
    =
    =
    =
    U
    Uh
    q
    С
    h
    12
    D r
    ( )
    E r
    ( )
    P r
    ( )
    ρ r
    ( )

    Вариант 13
    Условие:
    Цилиндрический бесконечно длинный диэлектрический конденсатор заряжен до разности потенциалов U и имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R
    0
    и R соответственно.
    Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε
    1
    до ε
    2 в интервале радиусов от R до R
    1
    , и ε
    3
    =сonst в интервале радиусов
    R
    1
    до R
    0
    . Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора.
    Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора на единицу длины.
    ε
    2

    1
    =2/1; ε
    3

    1
    =3/1; R
    0
    /R=2/1
    По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R),
    P(r)/P(R), ρ
    ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R
    0
    Решение:
    ,
    1
    ε
    ε
    =
    ,
    2 2
    ε
    ε
    =
    ,
    3 3
    ε
    ε
    =
    ,
    2 0
    R
    R
    =
    R
    R
    R
    R
    2 3
    0 2
    1 1
    )
    (
    =
    +
    =
    Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса
    ⎪⎩





    +


    =
    3 1
    1 1
    2 1
    2 1
    )
    (
    ε
    ε
    ε
    ε
    ε
    ε
    R
    R
    R
    R
    r
    R
    R
    r
    Для данного варианта
    ⎪⎩




    <








    =
    1 1
    ,
    3
    ,
    1 2
    )
    (
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    ε
    ε
    ε
    По теореме Гаусса
    ∫∫
    = q
    s
    d
    D r r
    h
    rh
    D
    λ
    π
    =


    2
    r
    r
    D
    π
    λ
    2
    )
    (
    =

    и не зависит от диэлектрической проницаемости ε.
    Т.к.
    E
    D
    r r
    0
    εε
    =
    , то
    r
    r
    E
    ε
    πε
    λ
    0 2
    )
    (
    =
    . Поэтому
    ⎪⎩




    <








    =
    1 0
    1 0
    ,
    6
    ,
    1 2
    2
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    r
    E
    π
    εε
    λ
    ε
    ε
    π
    λ
    ,






    <


    =

    1 1
    2 2
    ,
    ,
    2
    )
    (
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    R
    r
    R
    Rr
    r
    R
    R
    E
    r
    E
    Т.к.
    E
    P
    r r
    0
    χε
    =
    , а
    1

    =
    ε
    χ
    , то
    ε
    ε
    π
    λ
    πεε
    ε
    ε
    λ
    1 2
    2
    )
    1
    (
    )
    (
    0 0


    =


    =
    r
    r
    r
    P
    , поэтому

    ⎪⎩





    <









    =
    1 1
    ,
    6
    )
    1
    (
    ,
    1 2
    2 2
    )
    (
    R
    r
    r
    q
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    r
    r
    P
    επ
    ε
    ε
    π
    λ
    π
    λ
    ,



    ⎪⎪



    <




    +

    =
    1 1
    ,
    ,
    )
    1
    )(
    2
    (
    )
    1
    (
    2
    )
    (
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    R
    P
    r
    P
    ε
    ε
    ε
    Определим поверхностную плотность связанных зарядов
    ϕ
    πε
    ε
    σ
    cos
    4
    )
    1
    (
    )
    (
    2
    r
    q
    P
    r
    n

    =
    =

    , где
    ϕ
    cos косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности
    1
    cos cos

    =
    =
    π
    ϕ
    , а для внешней поверхности
    1 0
    cos cos
    =
    =
    ϕ
    . Тогда
    ⎪⎩





    <








    +

    =

    1 1
    ,
    6
    )
    1
    (
    ,
    1 2
    2 2
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    r
    r
    επ
    ε
    λ
    ε
    π
    λ
    π
    λ
    σ
    Поэтому
    R
    R
    R
    πε
    λ
    π
    λ
    σ
    2 2
    )
    (
    +

    =

    , а
    R
    q
    R
    R
    πε
    ε
    σ
    σ
    12
    )
    1
    (
    )
    2
    (
    )
    (
    0

    =

    =

    Объёмная плотность связанных зарядов
    P
    −∇
    =

    ρ
    , для полярных координат
    2 2
    )
    (
    r
    P
    r

    =

    ρ
    Поэтому
    ⎪⎩





    <








    +
    =

    1 2
    1 2
    2 2
    ,
    6
    )
    1
    (
    ,
    1 2
    2 2
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    r
    R
    r
    R
    r
    r
    r
    πε
    ε
    λ
    πε
    λ
    π
    λ
    ρ
    ,



    ⎪⎪



    <


    +



    =


    1 2
    2 1
    2 2
    2 2
    2
    ,
    ,
    )
    1
    (
    )
    2
    (
    )
    2
    (
    )
    (
    )
    (
    R
    r
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    R
    R
    r
    R
    R
    r
    R
    r
    ε
    ε
    ρ
    ρ
    Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках
    3 4
    ln
    3 2
    )
    ln(
    6 2
    ln
    2 6
    1 2
    2
    )
    (
    )
    (
    0 0
    0 0
    0 2
    1 0
    1 1
    0 1
    1 0
    1 1
    πεε
    λ
    πεε
    λ
    πεε
    λ
    π
    εε
    λ
    ε
    ε
    π
    λ
    =

    +
    +








    =
    +







    =
    +
    =




    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    r
    r
    R
    r
    dr
    r
    dr
    r
    R
    r
    dr
    r
    E
    dr
    r
    E
    U
    Поэтому
    0 3
    4
    ln
    2 3
    πεε
    λ






    =
    =
    =
    U
    Uh
    q
    С
    h
    13
    D r
    ( )
    E r
    ( )
    P r
    ( )
    ρ r
    ( )

    1   2   3   4   5   6   7


    написать администратору сайта