МГТУ ДЗ№2 Физика 3 семестр. Задача 1 Вариант 1 Условие
 Скачать 0.54 Mb.
|
|
Задача 1.2 Вариант 7 Условие: Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R 1 и R 0 соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по закону от значения ε(r)=f(r). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора. n n n n r R R R r f + + = = 0 ) ( ε R 0 /R=2/1, n=2. По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R 0 Решение: R R 2 0 = Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса 5 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 0 r R R r R R R r f + = + + = = ε По теореме Гаусса ∫∫ = q s d D r r q r D = ⋅ ⇒ 2 4 π 2 4 ) ( r q r D π = ⇒ и не зависит от диэлектрической проницаемости ε. 2 2 2 ) ( ) ( 4 ) ( r R R D r D R q R D = ⇒ = π Т.к. E D r r 0 εε = , то 2 0 4 ) ( r q r E π εε = Поэтому 2 2 0 2 2 20 ) ( ) ( R r r R q r E πε + = 2 2 2 2 2 2 0 2 2 1 2 ) ( ) ( 10 ) ( r R r r R R E r E R q R E + = + = ⇒ = πε Т.к. E P r r 0 χε = , а 1 − = ε χ , то ε ε π π πεε ε ε 1 4 4 ) 1 ( ) ( 2 2 0 0 − ⋅ = − ⋅ = r q r q r P , поэтому 2 2 2 2 2 20 ) ( 4 ) ( r R r R q r q r P π π + − = 3 1 3 4 ) ( ) ( 20 3 10 4 ) ( 2 2 2 2 2 − = ⇒ = − = r R R P r P R q R q R q R P π π π Определим поверхностную плотность связанных зарядов ϕ πε ε σ cos 4 ) 1 ( ) ( 2 r q P r n − = = ′ , где ϕ cos - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности 1 cos cos − = = π ϕ , а для внешней поверхности 1 0 cos cos = = ϕ . Тогда ϕ π ϕ π σ cos 20 ) ( cos 4 ) ( 2 2 2 2 2 r R r R q r q r + − = ′ . Поэтому 2 20 3 ) ( R q R π σ − = ′ , а 0 ) 2 ( ) ( 0 = ′ = ′ R R σ σ Объёмная плотность связанных зарядов P −∇ = ′ ρ , для полярных координат 2 2 ) ( r P r ′ = ′ ρ , Поэтому 10 ) ( 2 r R q r π ρ − = ′ r R r R q R 1 ) ( ) ( 10 ) ( 3 = ′ ′ ⇒ − = ′ ρ ρ π ρ Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках R q r q R qr dr r R r R q dr r E U R R R R R R 0 0 2 0 2 2 0 2 2 40 3 20 20 20 ) ( ) ( 0 0 0 πε πε πε πε = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = + = = ∫ ∫ Поэтому R U q С 0 3 40 πε = = 2.1 D r ( ) E r ( ) P r ( ) ρ r ( ) r Вариант 8 Условие: Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R 1 и R 0 соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по закону от значения ε(r)=f(r). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора. n n n n r R R R r f − + = = 0 0 ) ( ε R 0 /R=2/1, n=3. По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R 0 Решение: R R 2 0 = Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса 3 3 3 3 3 3 0 3 0 9 8 ) ( r R R r R R R r f − = − + = = ε По теореме Гаусса ∫∫ = q s d D r r q r D = ⋅ ⇒ 2 4 π 2 4 ) ( r q r D π = ⇒ и не зависит от диэлектрической проницаемости ε. 2 2 2 ) ( ) ( 4 ) ( r R R D r D R q R D = ⇒ = π Т.к. E D r r 0 εε = , то 2 0 4 ) ( r q r E π εε = . Поэтому 3 2 0 3 3 32 ) 9 ( ) ( R r r R q r E πε − = R r r R R E r E R q R E 2 3 3 2 0 8 9 ) ( ) ( 4 ) ( − = ⇒ = πε Т.к. E P r r 0 χε = , а 1 − = ε χ , то ε ε π π πεε ε ε 1 4 4 ) 1 ( ) ( 2 2 0 0 − ⋅ = − ⋅ = r q r q r P , поэтому 2 3 3 3 2 32 ) 9 ( 4 ) ( r R r R q r q r P π π − − = , 3 1 3 4 ) ( ) ( 0 4 4 ) ( 2 2 2 2 − = ⇒ = − = r R R P r P R q R q R P π π Определим поверхностную плотность связанных зарядов ϕ πε ε σ cos 4 ) 1 ( ) ( 2 r q P r n − = = ′ , где ϕ cos - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности 1 cos cos − = = π ϕ , а для внешней поверхности 1 0 cos cos = = ϕ . Тогда ϕ π ϕ π σ cos 32 ) 9 ( cos 4 ) ( 2 3 3 3 2 r R r R q r q r − − = ′ Поэтому 0 ) ( = ′ R σ , а 128 7 ) 2 ( ) ( 2 0 R q R R π σ σ = ′ = ′ Объёмная плотность связанных зарядов P −∇ = ′ ρ , для полярных координат 2 2 ) ( r P r ′ = ′ ρ , Поэтому ) ( ) ( 32 ) ( 3 3 3 r R R r R q r = ′ ′ ⇒ = ′ ρ ρ π ρ Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках R q r q R qr dr r R r R q dr r E U R R R R R R 0 0 3 0 2 2 3 0 3 3 40 9 20 9 20 20 ) 9 ( ) ( 0 0 0 πε πε πε πε = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = − = = ∫ ∫ Поэтому R U q С 0 9 40 πε = = 2.2 D r ( ) E r ( ) P r ( ) ρ r ( ) r Вариант 9 Условие: Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R 1 и R 0 соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по закону от значения ε(r)=f(r). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора. n n n n r R R R r f + + = = 0 ) ( ε R 0 /R=3/1, n=2. По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R 0 Решение: R R 3 0 = . Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса 10 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 0 r R R r R R R r f + = + + = = ε По теореме Гаусса ∫∫ = q s d D r r q r D = ⋅ ⇒ 2 4 π 2 4 ) ( r q r D π = ⇒ и не зависит от диэлектрической проницаемости ε, 2 2 2 ) ( ) ( 4 ) ( r R R D r D R q R D = ⇒ = π . Т.к. E D r r 0 εε = , то 2 0 4 ) ( r q r E π εε = Поэтому 2 2 0 2 2 40 ) ( ) ( R r r R q r E πε + = , 2 2 2 2 2 2 0 2 2 1 2 ) ( ) ( 20 ) ( r R r r R R E r E R q R E + = + = ⇒ = πε Т.к. E P r r 0 χε = , а 1 − = ε χ , то ε ε π π πεε ε ε 1 4 4 ) 1 ( ) ( 2 2 0 0 − ⋅ = − ⋅ = r q r q r P , поэтому 2 2 2 2 2 40 ) ( 4 ) ( r R r R q r q r P π π + − = , 8 1 8 9 ) ( ) ( 5 20 4 ) ( 2 2 2 2 2 − = ⇒ = − = r R R P r P R q R q R q R P π π π Определим поверхностную плотность связанных зарядов ϕ πε ε σ cos 4 ) 1 ( ) ( 2 r q P r n − = = ′ , где ϕ cos - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности 1 cos cos − = = π ϕ , а для внешней поверхности 1 0 cos cos = = ϕ . Тогда ϕ π ϕ π σ cos 40 ) ( cos 4 ) ( 2 2 2 2 2 r R r R q r q r + − = ′ Поэтому 2 5 ) ( R q R π σ − = ′ , а 0 ) 3 ( ) ( 0 = ′ = ′ R R σ σ Объёмная плотность связанных зарядов P −∇ = ′ ρ , для полярных координат 2 2 ) ( r P r ′ = ′ ρ , Поэтому ) ( ) ( 20 ) ( 2 2 2 r R R r r R q r = ′ ′ ⇒ − = ′ ρ ρ π ρ Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках R q r q R qr dr r R r R q dr r E U R R R R R R 0 0 2 0 2 2 0 2 2 15 40 40 40 ) ( ) ( 0 0 0 πε πε πε πε = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = + = = ∫ ∫ Поэтому R U q С 0 15 πε = = 2.3 D r ( ) E r ( ) P r ( ) ρ r ( ) r Вариант 10 Условие: Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R 1 и R 0 соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по закону от значения ε(r)=f(r). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора. n n n n r R R R r f − + = = 0 0 ) ( ε R 0 /R=3/1, n=3. По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R 0 Решение: R R 2 0 = . Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса 3 3 3 3 3 3 0 3 0 28 27 ) ( r R R r R R R r f − = − + = = ε По теореме Гаусса ∫∫ = q s d D r r q r D = ⋅ ⇒ 2 4 π 2 4 ) ( r q r D π = ⇒ и не зависит от диэлектрической проницаемости ε, 2 2 2 ) ( ) ( 4 ) ( r R R D r D R q R D = ⇒ = π . Т.к. E D r r 0 εε = , то 2 0 4 ) ( r q r E π εε = Поэтому 3 2 0 3 3 108 ) 28 ( ) ( R r r R q r E πε − = , R r r R R E r E R q R E 2 3 3 2 0 27 28 ) ( ) ( 4 ) ( − = ⇒ = πε Т.к. E P r r 0 χε = , а 1 − = ε χ , то ε ε π π πεε ε ε 1 4 4 ) 1 ( ) ( 2 2 0 0 − ⋅ = − ⋅ = r q r q r P , поэтому 2 3 3 3 2 108 ) 28 ( 4 ) ( r R r R q r q r P π π − − = , 3 1 3 4 ) ( ) ( 0 4 4 ) ( 2 2 2 2 − = ⇒ = − = r R R P r P R q R q R P π π Определим поверхностную плотность связанных зарядов ϕ πε ε σ cos 4 ) 1 ( ) ( 2 r q P r n − = = ′ , где ϕ cos косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности 1 cos cos − = = π ϕ , а для внешней поверхности 1 0 cos cos = = ϕ . Тогда ϕ π ϕ π σ cos 108 ) 28 ( cos 4 ) ( 2 3 3 3 2 r R r R q r q r − − = ′ Поэтому 0 ) ( = ′ R σ , а 243 2 ) 3 ( ) ( 2 0 R q R R π σ σ = ′ = ′ Объёмная плотность связанных зарядов P −∇ = ′ ρ , для полярных координат 2 2 ) ( r P r ′ = ′ ρ , Поэтому ) ( ) ( 36 ) ( 3 3 3 r R R r r q r = ′ ′ ⇒ = ′ ρ ρ π ρ Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках R q r q R qr dr r R r R q dr r E U R R R R R R 0 0 3 0 2 2 3 0 3 3 81 14 108 28 108 108 ) 28 ( ) ( 0 0 0 πε πε πε πε = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = − = = ∫ ∫ Поэтому R U q С 0 14 81 πε = = 2.4 D r ( ) E r ( ) P r ( ) ρ r ( ) r |