МГТУ ДЗ№2 Физика 3 семестр. Задача 1 Вариант 1 Условие
 Скачать 0.54 Mb.
|
|
Задача 1.4 Вариант 17 Условие: Цилиндрический бесконечно длинный конденсатор заряжен до разности потенциалов U и имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R 0 и R соответственно. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по закону ε(r)=f(r). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора. n n n n r R R R r f + + = = 0 ) ( ε R 0 /R=2/1, n=2. По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R 0 Решение: R R 2 0 = Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса 5 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 0 r R R r R R R r f + = + + = = ε По теореме Гаусса ∫∫ = q s d D r r q rh D = ⋅ ⇒ π 2 r r D π λ 2 ) ( = ⇒ и не зависит от диэлектрической проницаемости ε. Т.к. E D r r 0 εε = , то r r E π εε λ 0 2 ) ( = . Поэтому 2 ) ( ) ( 5 ) ( 10 ) ( ) ( 2 2 0 2 0 2 2 rR r R R E r E R R E rR r R r E + = ⇒ = ⇒ + = πε λ πε λ Т.к. E P r r 0 χε = , а 1 − = ε χ , то ε ε π λ πεε ε ε λ 1 2 2 ) 1 ( ) ( 0 0 − ⋅ = − ⋅ = r r r P , поэтому 4 ) ( ) ( 10 3 5 2 ) ( 10 ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 2 Rr r R R P r P R R R R P r R r R r r P − = ⇒ = − = ⇒ + − = π λ π λ π λ π λ π λ Определим поверхностную плотность связанных зарядов ϕ πε ε λ σ cos 2 ) 1 ( ) ( r P r n − = = ′ , где ϕ cos - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности 1 cos cos − = = π ϕ , а для внешней поверхности 1 0 cos cos = = ϕ . Тогда ϕ π λ ϕ π λ σ cos 10 ) ( cos 2 ) ( 2 2 2 r R r R r r + − = ′ Поэтому 2 10 3 ) ( R R π λ σ − = ′ , а 0 ) 2 ( ) ( 0 = ′ = ′ R R σ σ Объёмная плотность связанных зарядов P −∇ = ′ ρ , для полярных координат 2 2 ) ( r P r ′ = ′ ρ ,поэтому 3 4 ) ( ) ( 10 ) ( 10 ) 3 ( 2 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r r R R r R R r R r R r r − = ′ ′ ⇒ = ′ ⇒ + − = ′ ρ ρ π λ ρ π λ π λ ρ Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках 0 0 2 2 0 2 0 2 2 20 ) 3 4 (ln 20 10 ln 10 ) ( ) ( 0 0 0 πε λ ε π λ πε λ πε λ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = + = = ∫ ∫ R R R R R R R r r dr r R r R dr r E U Поэтому 3 4 ln 20 0 + = = = πε λ U Uh q С h 17 D r ( ) E r ( ) P r ( ) ρ r ( ) Вариант 18 Условие: Цилиндрический бесконечно длинный конденсатор заряжен до разности потенциалов U и имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R 0 и R соответственно. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по закону ε(r)=f(r). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора. n n n n r R R R r f − + = = 0 0 ) ( ε R 0 /R=2/1, n=3/2. По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R 0 Решение: R R 2 0 = Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса ) 1 2 2 ( 2 2 ) ( 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 0 2 3 0 r R R r R R R r f − + = − + = = ε По теореме Гаусса ∫∫ = q s d D r r q rh D = ⋅ ⇒ π 2 r r D π λ 2 ) ( = ⇒ и не зависит от диэлектрической проницаемости ε. Т.к. E D r r 0 εε = , то r r E π εε λ 0 2 ) ( = . Поэтому r R r R R E r E R R E rR r R r E 2 2 ) 1 2 2 ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 4 ) ) 1 2 2 (( ) ( 2 3 2 3 0 2 3 0 2 3 2 3 − + = ⇒ = ⇒ − + = πε λ πε λ Т.к. E P r r 0 χε = , а 1 − = ε χ , то ε ε π λ πεε ε ε λ 1 2 2 ) 1 ( ) ( 0 0 − ⋅ = − ⋅ = r r r P , поэтому R r r R R P r P R R P rR r R r r P 2 ) ( ) ( 2 2 ) ( 2 4 ) ) 1 2 2 (( 2 ) ( 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 + = ⇒ − = ⇒ − + − = π λ π λ π λ Определим поверхностную плотность связанных зарядов ϕ πε ε λ σ cos 2 ) 1 ( ) ( r P r n − = = ′ , где ϕ cos - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности 1 cos cos − = = π ϕ , а для внешней поверхности 1 0 cos cos = = ϕ . Тогда ϕ π λ ϕ π λ σ cos 2 4 ) ) 1 2 2 (( cos 2 ) ( 2 3 2 3 2 3 rR r R r r − + − = ′ Поэтому R R π λ σ 2 ) ( = ′ , а 4 ) 2 4 1 ( ) 2 ( ) ( 0 R R R π λ σ σ − = ′ = ′ Объёмная плотность связанных зарядов P −∇ = ′ ρ , для полярных координат 2 2 ) ( r P r ′ = ′ ρ , поэтому 7 ) ( ) ( 2 4 ) ) 1 2 2 (( 2 ) ( 2 2 3 2 5 2 3 2 3 2 2 3 2 5 2 3 2 R r r R R r R r r R r r + = ′ ′ ⇒ − + − = ′ ρ ρ π λ π λ ρ Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках 0 2 3 0 2 3 0 2 3 0 2 3 2 3 2 4 ) 1 2 2 2 ln ) 1 2 2 (( 2 4 ln 2 4 ) 1 2 2 ( 2 4 ) ) 1 2 2 (( ) ( 0 0 0 πε λ πε λ πε λ πε λ − + + = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = − + = = ∫ ∫ R R R R R R R r r dr rR r R dr r E U Поэтому 1 2 2 2 ln ) 1 2 2 ( 2 4 0 − + + = = = πε λ U Uh q С h 18 D r ( ) E r ( ) P r ( ) ρ r ( ) Вариант 19 Условие: Цилиндрический бесконечно длинный конденсатор заряжен до разности потенциалов U и имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R 0 и R соответственно. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по закону ε(r)=f(r). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора. n n n n r R R R r f + + = = 0 ) ( ε R 0 /R=3/1, n=2. По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R 0 Решение: R R 3 0 = Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса 9 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 0 r R R r R R R r f + = + + = = ε По теореме Гаусса ∫∫ = q s d D r r q rh D = ⋅ ⇒ π 2 r r D π λ 2 ) ( = ⇒ и не зависит от диэлектрической проницаемости ε. Т.к. E D r r 0 εε = , то r r E π εε λ 0 2 ) ( = . Поэтому Rr r R R E r E R R E rR r R r E 2 ) ( ) ( 9 ) ( 18 ) ( ) ( 2 2 0 2 0 2 2 + = ⇒ = ⇒ + = πε λ πε λ Т.к. E P r r 0 χε = , а 1 − = ε χ , то ε ε π λ πεε ε ε λ 1 2 2 ) 1 ( ) ( 0 0 − ⋅ = − ⋅ = r r r P , поэтому Rr r R R P r P r R r R r r P 7 8 ) ( ) ( 18 ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 2 − = ⇒ + − = π λ π λ Определим поверхностную плотность связанных зарядов ϕ πε ε λ σ cos 2 ) 1 ( ) ( r P r n − = = ′ , где ϕ cos - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности 1 cos cos − = = π ϕ , а для внешней поверхности 1 0 cos cos = = ϕ Тогда ϕ π λ ϕ π λ σ cos 18 ) ( cos 2 ) ( 2 2 2 r R r R r r + − = ′ Поэтому R R π λ σ 18 7 ) ( − = ′ , а 18 ) 3 ( ) ( 0 R R R π λ σ σ = ′ = ′ Объёмная плотность связанных зарядов P −∇ = ′ ρ , для полярных координат 2 2 ) ( r P r ′ = ′ ρ , Поэтому 5 3 8 ) ( ) ( 18 ) 3 ( 2 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 r r R R r r R r R r r − = ′ ′ ⇒ + − = ′ ρ ρ π λ π λ ρ Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках 0 0 2 2 0 2 0 2 2 18 ) 5 3 (ln 36 18 ln 18 ) ( ) ( 0 0 0 πε λ ε π λ πε λ πε λ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = + = = ∫ ∫ R R R R R R R r r dr r R r R dr r E U Поэтому 5 3 ln 18 0 + = = = πε λ U Uh q С h 18 D r ( ) E r ( ) P r ( ) ρ r ( ) Вариант 20 Условие: Цилиндрический бесконечно длинный конденсатор заряжен до разности потенциалов U и имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R 0 и R соответственно. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по закону ε(r)=f(r). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора. n n n n r R R R r f − + = = 0 0 ) ( ε R 0 /R=3/1, n=3/2. По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ ’(r)/ρ’(R) в интервале значений r от R до R 0 Решение: R R 2 0 = Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса ) 1 3 3 ( 3 3 ) ( 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 0 2 3 0 r R R r R R R r f − + = − + = = ε По теореме Гаусса ∫∫ = q s d D r r q rh D = ⋅ ⇒ π 2 r r D π λ 2 ) ( = ⇒ и не зависит от диэлектрической проницаемости ε. Т.к. E D r r 0 εε = , то r r E π εε λ 0 2 ) ( = . Поэтому r R r R R E r E rR r R r E 3 2 ) 1 3 3 ( ) ( ) ( 3 6 ) ) 1 3 3 (( ) ( 2 3 2 3 2 3 0 2 3 2 3 − + = ⇒ − + = πε λ Т.к. E P r r 0 χε = , а 1 − = ε χ , то ε ε π λ πεε ε ε λ 1 2 2 ) 1 ( ) ( 0 0 − ⋅ = − ⋅ = r r r P , поэтому r R R r R P r P rR r R r r P 3 ) ( ) ( 3 6 ) ) 1 3 3 (( 2 ) ( 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 − = ⇒ − + − = π λ π λ Определим поверхностную плотность связанных зарядов ϕ πε ε λ σ cos 2 ) 1 ( ) ( r P r n − = = ′ , где ϕ cos косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности 1 cos cos − = = π ϕ , а для внешней поверхности 1 0 cos cos = = ϕ . Тогда ϕ π λ ϕ π λ σ cos 3 6 ) ) 1 3 3 (( cos 2 ) ( 2 3 2 3 2 3 rR r R r r − + − = ′ Поэтому 0 ) ( = ′ R σ , а 3 18 ) 1 3 3 ( ) 3 ( ) ( 0 R R R π λ σ σ − = ′ = ′ Объёмная плотность связанных зарядов P −∇ = ′ ρ , для полярных координат 2 2 ) ( r P r ′ = ′ ρ , Поэтому 3 5 ) ( ) ( 3 6 ) ) 1 3 3 (( 2 ) ( 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 5 2 3 2 R r R r R r R r r R r r − = ′ ′ ⇒ − + − = ′ ρ ρ π λ π λ ρ Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках 0 2 3 0 2 3 0 2 3 0 2 3 2 3 3 6 ) 1 3 3 3 ln ) 1 2 2 (( 3 6 ln 3 6 ) 1 3 3 ( 3 6 ) ) 1 3 3 (( ) ( 0 0 0 πε λ πε λ πε λ πε λ − + + = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = − + = = ∫ ∫ R R R R R R R r r dr rR r R dr r E U Поэтому 1 3 3 3 ln ) 1 3 3 ( 3 6 0 − + + = = = πε λ U Uh q С h 18 D r ( ) E r ( ) P r ( ) ρ r ( ) |