Практическое занятие 2.7. Отношения на множестве
Вопросы и задания для подготовки к занятию:
Отношение.
Способы задания отношений.
Свойства отношений.
Отношение эквивалентности.
Отношение порядка.
Приведите примеры отношений, существующих между:
натуральными числами;
прямыми на плоскости;
треугольниками;
множествами.
На множестве Х = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18} задано отношение R. Перечислите пары чисел, связанных этим отношением и постройте его граф, если:
R - « х больше у в 3 раза»;
R - « х больше у на 3».
Запишите в виде равенства предложение:
Число х меньше у на 2.
Число х меньше у в2 раза.
Задает ли на множестве Х = {2, 4, 6, 8} какое-либо отношение следующее множество упорядоченных пар:
{(2, 2), (4, 4), (6, 6), (8, 8)};
{(4, 2), (6, 4), (8, 6), (2,1)}?
Задания для самостоятельной работы:
На множестве Х = {2, 4, 6, 8} рассматриваются отношения «х = у», «х у» и «х больше у на 2». Какое из приведенных ниже подмножеств множества Х×Х задает данные отношения:
{(4, 2), (6, 2), (8, 2), (6, 4), (8, 4), (8, 6), (2, 2), (4, 4), (6, 6), (8, 8)};
{(4, 2), (6, 4), (8, 6)};
{(2, 2), (4, 4), (6, 6), (8, 8)}.
Отношение «х у» рассматривается на множестве Х. Каким будет его график на координатной плоскости, если:
Х = {2, 4, 6, 8};
Х - множество натуральных чисел;
Х - множество действительных чисел?
В множестве А = {3, 5, 7, 9, 11} задано отношение х > у. Выпишите все пары элементов, находящихся в этом отношении. Как называется множество всех таких пар?
Постройте граф отношения х = у + 2 между элементами множества {-3, -1, 1, 2, 3, 4}. Принадлежат ли пары (-1, -3), (4, 2) графику этого отношения?
В множестве У = {у у Z, -13 у -2} задано отношение R : «х = 2у». Какие из следующих записей верны:
а) (-6, -3) R; б) (-3, -6) R; в) (-4, -2) R; г) (-8, -4) R?
П рямая а находится в отношении перпендикулярности с прямой b (рис.1). Укажите все пары прямых, изображенных на этом рисунке, находящихся в отношении перпендикулярности (запишите их при помощи знака ). Постройте граф этого отношения, изобразив все прямые точками. Рис.1
Множество М членов семьи Смирновых состоит из отца Ивана Михайловича, матери Елены Андреевны и четырех детей: Миши, Тани, Васи и Оли. Между членами семьи существуют отношения родства, которые можно выразить словами: «быть мужем», «быть братом», «быть сестрой» и т. д.
Назовите все пары элементов множества М, между которыми существует отношение «быть дочерью». Обозначьте элементы множества точками и постройте граф этого отношения.
Постройте графы отношений «быть братом», «быть матерью».
Из лагеря вышли 5 туристов: Вася, Галя, Толя, Лена, Миша. Толя идет впереди Миши, Лена – впереди Васи, но позади Миши, Галя – впереди Толи. Кто идет первым, а кто – последним? (используйте граф отношения)
Дано пять чисел. известно, что первое больше пятого, второе меньше третьего, пятое больше третьего, а четвертое меньше пятого. Какое из чисел больше: первое или четвертое? пятое или второе? Можно ли утверждать, что второе число меньше четвертого?
Практическое занятие 2.8. Отношения на множестве. Свойства отношений.
Задания для самостоятельной работы
Сформулировать свойства отношения R, заданного при помощи графа .
Сформулируйте свойства отношения «больше в 2 раза», заданного на множестве натуральных чисел.
Дано множество Х = {х х N, 1 х 13}. Разбейте все элементы этого множества на классы так, чтобы в один класс попали числа, имеющие один и тот же остаток при делении на 3. Сколько получилось классов? По какому отношению произведено это разбиение? Какими оно обладает свойствами?
Постройте граф отношения «непосредственно следовать за», которое задано на множестве А = {7, 8, 9, 10}, и среди следующих высказываний укажите истинное:
Отношение антисимметрично
Отношение транзитивно.
На множестве Х = {0, 1, 2, 3} заданы отношения М={(0, 0), (1, 1) (2, 2), (3, 3), (0, 1), (1, 0), (2, 3), (3, 2)} и Т ={(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 1), (3, 2), (2, 3)}. Какое из них является отношением эквивалентности?
Докажите, что отношение «иметь равные значения» на множестве
числовых выражений {2 · 4; 3 + 9; 15 - 3; 0 : 5; 7 + 1; 23} отношением эквивалентности, и запишите классы эквивалентности.
Является ли отношение «быть выше ростом», заданное на множестве учащихся класса, отношением порядка?
На множестве А = {6, 3, 12, 9, 15} задано отношение «быть делителем». Упорядочивает ли оно множество А?
Отношение Р - «больше или равно» задано на множестве {3 см, 5 см, 18 см, 12 см}. Докажите, что Р - отношение порядка.
На рисунке приведены графы отношения R, P и Q. Есть ли среди них граф отношения порядка?
  
Множество А состоит из капитана Иванова, старших лейтенантов Остапчука Григорьева, лейтенантов Осипенко, Васильева и Шатилова, прапорщиков Семенова, Лебедева и Кравчука. Изобразите при помощи графа отношение R - «а старше по званию, чем b» в этом множестве. Является ли R каким-либо отношением порядка?
Выясните, какими свойствами обладают следующие отношения, назовите среди них отношения эквивалентности и отношения порядка: а) «а конгруэнтно b» (в множестве треугольников); б) «а концентрично b» (в множестве окружностей на плоскости); в) «а равно b» (в множестве рациональных чисел); г) «а меньше или равно b» (в множестве целых чисел); д) «а не больше, чем b» (в множестве целых чисел); е) «а кратно b» (в множестве натуральных чисел); ж) «а является дополнением b до прямоугольника» (в множестве геометрических фигур).
Какие из следующих отношений между людьми рефлексивны, какие симметричны и какие транзитивны: а) «а сестра b»; 6) «а начальник b», в) «а друг b». Назовите среди этих отношений отношения эквивалентности и отношения порядка.
Отношение между элементами множества всех целых чисел выражено уравнением у = х + 4. Постройте в прямоугольной системе координат график этого отношения, если оно определено на множестве А = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}.
Постройте в прямоугольной системе координат график отношения R, которому принадлежат точки А (х, у) с целыми координатами, такие, что:
а) 0 х 10, -2 у 3; б) х = 2, -5 < у < 4; в) х = 2у, -4 у 4;
|
Скачать 289.5 Kb.