Контрольная по сопротивлению материалов. Задача n 1 Для заданной статически неопределимой стальной балки требуется 1 раскрыть статическую неопределимость

• Название: Задача n 1 Для заданной статически неопределимой стальной балки требуется 1 раскрыть статическую неопределимость
• Анкор: Контрольная по сопротивлению материалов
• Дата: 24.10.2022
• Размер: 370.45 Kb.
• Имя файла: 39816.docx
• Тип: Задача; #751141
• страница: 3 из 4

Коэффициент чувствительности материала к асимметрии цикла берётся из табл. 3.4:



Коэффициенты снижения предела выносливости с учётом всех рассмотренных факторов имеют следующие значения:





Запас усталостной прочности при изгибе и кручении:

= = 1,57;

= = 9,04.

Запас усталостной прочности при совместном действии изгиба и кручения:

= = 1,55 > [n] = 1,5.

Запас усталостной прочности вала обеспечен, так как он больше нормативного.

1	8	6	0	2	6	-	2	6
а	б	в	г	д	е	-	ж	з

ЗАДАЧА № 4

С заданной точкой М детали связана система декартовых координат x, y, z. Расчётом определены координатные напряжения в этой точке: σ_x , σ_y ,σ_z , _xy , _yz , _zx (табл. 4.1). Провести исследование напряжённо-деформированного состояния окрестности точки М. Материал детали считать упругим и изотропным, с модулем упругости E = 2⋅10⁵ МПа и коэффициентом Пуассона µ = 0,3. Исследование напряжённо-деформированного состояния окрестности точки М детали выполнить в следующей последовательности. 1) Изобразить в аксонометрии единичный элемент, выделенный в окрестности точки М координатными сечениями, и показать напряжения, действующие на гранях этого элемента. 2) Записать тензор напряжений в этой точке в осях x, y, z. 3) Определить алгебраические инварианты тензора напряжений I₁ , I₂ , I₃ . 4) Записать алгебраические уравнения для определения главных напряжений и главных осей тензора напряжений. Вычислить главные напряжения σ₁ , σ₂ , σ₃ . 5) Вычислить направляющие косинусы главных осей напряжений I, II, III и изобразить в пространстве x, y, z оси главных напряжений I, II, III. 6) Записать тензор напряжений в точке М в главных осях I, II, III. Определить алгебраические инварианты этого тензора . Проверить правильность вычисления главных напряжений, сравнив величины алгебраических инвариантов с величинами I₁ , I₂ , I₃ соответственно. 7) Определить нормальное σ_окт и касательное τ_окт октаэдрические напряжения. В пространстве главных осей I, II, III изобразить одну из октадрических площадок и показать нормальное и касательное напряжения, действующие на этой площадке. 8) Определить величину наибольшего касательного напряжения τ_max . В пространстве главных осей I, II, III , изобразить площадку, на которой действует наибольшее касательное напряжение и показать это напряжение. 9) Воспользовавшись соотношениями обобщённого закона Гука, определить величины главных деформаций ε₁ , ε₂ , ε₃. 10) Вычислить относительное изменение объема ∆ . 11) Определить удельную потенциальную энергию упругой деформации окрестности точки М: - энергию изменения объёма W_V , - энергию формоизменения W_Ф , - полную удельную энергию W . 12) Определить расчётное напряжение в точке М по гипотезе наибольших касательных напряжений . 13) Определить расчётное напряжение в точке М по гипотезе удельной потенциальной энергии формоизменения . 14) Определить расчётное напряжение в точке М по гипотезе прочности Мора .

Дано:

Решение

Изобразимм единичный элемент, выделенный в окрестности точки М координатными сечениями и покажем напряжения, действующие на гранях этого элемента (рис. 4).

z







y



x

Рис. 4.1. Заданное напряженное состояние

Записываем тензор напряжений, связанный с заданной точкой в осях x, y, z.



Определим алгебраические инварианты тензора напряжений







Определим главные напряжения и главные оси напряжений. Для этого запишем систему алгебраических уравнений относительно главных напряжений Σ и направляющих косинусов l , m , n главных направлений.



(4.1)



которую дополняем условием

(4.2)

С учётом заданных величин компонентов тензора напряжений, отличных от нуля, приведём эту систему к виду



(4.3)



(4.4)

Так как τ_zx = τ_zy = 0 , то ось z является одной из трёх главных осей напряжений, а напряжение Σ = σ_zz = 30 МПа – главным напряжением. Направляющие косинусы его направления, т.е. главной оси z


Главные оси напряжений взаимно перпендикулярны, поэтому следующие две главные оси напряжений располагаются в плоскости x, y.

Для этих направлений



С учётом n = 0 систему разрешающих алгебраических уравнений (4.3) и (4.4) перепишем в виде



; (4.5)

(4.6)

Определитель, составленный из коэффициентов при l , m в системе (4.5), приравниваем нулю



и приводим к квадратному уравнению



решая которое, получим величины двух других главных напряжений



Подставим Σ₁ в первое уравнение системы (4.5) и, решая его совместно с уравнением (4.6)





получаем l = 0,939; m = 0,344.

Аналогично, подставляя Σ₂ = − 84,34 МПа во второе уравнение системы (4.5) и, решая его совместно с уравнением (4.6), получим l = - 0,345; m = 0,939.

Выписываем найденные величины главных напряжений и соответствующие им направляюще косинусы главных напряжений. При этом для нумерации главных напряжение пользуемся принятым условием σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃ .







В пространстве x, y, z по направляющим косинусам строим главные оси напряжений I, II, III (рис. 4.2). Изобразим элемент, выделенный главными площадками (рис. 4.2; главные оси повернуты).




z

II

n₂=1

m₃=0,939 III

l₁=0,939 y

m₁=0,344 l₃=0,344

x I

III





II



I

Рис. 4.2. Главные оси и элемент с главными площадками

Записываем тензор напряжений в точке М в главных осях I, II, III и определяем алгебраические инварианты этого тензора









Сравнивая величины алгебраических инвариантов с инвариантами I₁ , I₂ , I₃ соответственно, отмечаем их тождественность и, следовательно, достоверность величин главных напряжений.

Определим величины нормального и касательного напряжений, действующих на октаэдрических площадках.





В пространстве главных направлений I, II, III изображаем одну из октаэдрических площадок (рис. 4.3) и показываем напряжения, действующие на этой площадке (для октаэдрической площадки l = m = n = ).

III