Физика. Физика 2. Закон Кулона. Напряженность электростатического поля. Силовые линии
 Скачать 0.97 Mb.
|
|
Тема 7. Основные законы магнитного поля Интеграл от векторного поля по замкнутому контуру называется цир- куляцией. Векторное поле, циркуляция которого по любому замкнутому контуру равна нулю, называется потенциальным. Интеграл от такого поля по любой кривой не зависит от вида этой кри- вой, а зависит лишь от положения начальной и конечной точек этой кривой. Как мы знаем из электростатики, электростатическое поле является по- тенциальным. Является ли потенциальным магнитное поле? Рассмотрим простой случай, когда магнитное поле создается прямым бесконечным проводником с током. Найдем циркуляцию этого поля по окружности, охватывающей этот проводник. Центр окружности лежит на проводнике, и плоскость окружности пер- пендикулярна к проводнику. Пусть I – сила тока в проводнике, r – радиус окружности, B – вели- чина индукции магнитного поля в точках окружности. Направление обхода контура согласовано с направлением тока в про- воднике правилом правого винта – буравчика. Так как вектор B направлен по касательной к окружности, то скаляр- ное произведение векторов B и dl равно произведению модулей этих век- торов – формула 152. Модуль вектора B определяется формулой 139, в точках окружности он является постоянным, следовательно, его можно вынести за знак интегра- ла. Оставшийся интеграл от dl равен просто длине окружности, то есть 2 r В результате получим, что циркуляция не зависит от радиуса окружно- сти и равна произведению магнитной постоянной 0 на силу тока в провод- нике I . Слайд 66 Рассмотрим теперь контур произвольной формы. Контур охватывает проводник, а его плоскость перпендикулярна к про- воднику. Скалярное произведение векторов B и dl равно произведению моду- лей вектора B на длину отрезка 1 dl – формула 153. Этот отрезок перпендикулярен к радиус-вектору r , проведенному от проводника к элементу контура dl , так что его можно считать дугой окруж- ности радиусом r , опирающимся на центральный угол d Длина этого отрезка равна rd . Модуль вектора B снова определяет- ся формулой 139. При подстановке его в интеграл – формула 153 – r сокращается, и оставшийся интеграл по углу равен 2 В результате получим, что циркуляция не зависит от формы контура и снова равна произведению магнитной постоянной 0 на силу тока в провод- нике I . Пусть контур пронизывается несколькими прямыми проводниками с токами i I . i B – индукция магнитного поля, создаваемого током i I . По принципу суперпозиции результирующее поле i i B B Тогда циркуляция равна произведению магнитной постоянной 0 на алгебраическую сумму токов i I , пронизывающих контур. Слайд 67 Таким образом, из закона Био-Савара-Лапласа следует закон полного тока. Циркуляция индукции магнитного поля в вакууме по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебра- ическую сумму токов, охватываемых этим контуром, – формула 154 . Ток считается положительным, если обход контура осуществляется по часовой стрелке, отрицательным – если против. Закон полного тока справедлив не только для линейных прямых про- водников, но и для токов любой формы и размеров. Алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром, представляет собой полную силу тока I через поверхность L S , опирающуюся на этот контур. Полную силу тока I можно представить в виде интеграла от вектора плотности тока j по этой поверхности – формула 155. Как следует из закона полного тока, магнитное поле, в отличие от элек- тростатического, не является потенциальным. Векторное поле, циркуляция которого отлична от нуля, называется вихревым, или соленоидальным. Магнитное поле является вихревым. Закон полного тока, называемый иначе теоремой о циркуляции маг- нитного поля, был сформулирован Андре Мари Ампером в 1826 году. В 1861 году Джеймс Клерк Максвелл снова вывел этот закон и обоб- щил его, о чем будет рассказано в одном из следующих разделов данного учебника. Уравнение, представляющее собой содержание данного закона в обоб- щенном виде, представляет собой одно из четырех фундаментальных урав- нений электродинамики – уравнений Максвелла. Закон полного тока удобно применять для расчета индукции магнитно- го поля, создаваемого токами, распределение которых в пространстве обла- дает какой-либо симметрией. Замкнутый контур следует выбирать так, чтобы на его участках модуль вектора индукции магнитного поля и угол между вектором индукции и направлением касательной к контуру оставались постоянными. В этом случае циркуляция в левой части закона полного тока легко может быть найдена. Слайд 68 В качестве примера применения закона полного тока найдем индукцию магнитного поля внутри бесконечно длинного прямого проводника кругово- го сечения с током. Пусть R – радиус проводника, постоянный ток равномерно распреде- лен по сечению проводника, j – вектор плотности тока в проводнике. Поскольку проводник имеет бесконечную длину, ось проводника явля- ется осью симметрии. Из симметрии и из закона Био-Савара-Лапласа следует, что силовые линии магнитного поля, создаваемого проводником, представляют собой окружности, центры которых лежат на оси проводника, а их плоскости пер- пендикулярны этой оси. Направление вектора индукции магнитного поля B согласовано с направлением тока правилом буравчика. Из симметрии также следует, что модуль вектора индукции магнитного поля будет оставаться постоянным вдоль силовой линии. Очевидно, что замкнутый контур в законе полного тока следует вы- брать в виде окружности произвольным радиусом r Центр этой окружности лежит на оси проводника, а ее плоскость пер- пендикулярна этой оси. Циркуляция вектора индукции магнитного поля по этой окружности легко вычисляется, она равна произведению модуля вектора индукции маг- нитного поля B на этой окружности на длину окружности 2 r – формула 156. При нахождении правой части в законе полного тока необходимо рас- смотреть два различных случая: первый – когда контур лежит внутри про- водника, второй – когда контур охватывает проводник. Пусть контур лежит внутри проводника, то есть радиус контура r меньше, чем радиус проводника R . В этом случае сила тока I через поверхность контура равна произве- дению плотности тока j на площадь окружности радиусом r После подстановки этого выражения в закон полного тока получим, что модуль индукции магнитного поля B внутри проводника определяется формулой 157. Таким образом, на оси проводника индукция магнитного поля равна нулю, а при удалении от оси она растет прямо пропорционально расстоянию до оси r и достигает максимального значения на поверхности проводника. Пусть теперь контур охватывает проводник, то есть радиус контура r больше, чем радиус проводника R . В этом случае сила тока I через поверхность контура равна произве- дению плотности тока j на площадь окружности радиусом R . После подстановки этого выражения в закон полного тока получим, что модуль индукции магнитного поля B внутри проводника определяется формулой 158. Таким образом, при удалении от поверхности проводника индукция магнитного поля убывает обратно пропорционально расстоянию до оси про- водника r Слайд 69 С помощью закона полного тока можно также определить магнитное поле соленоида. Соленоид – цилиндрическая катушка, состоящая из большо- го числа витков проводника с током. Название «соленоид» происходит от греческих слов solen , что означает «трубка», и eidos , что означает «вид». То есть «соленоид» означает «трубо- образный». Если радиус соленоида R много меньше его длины l , то соленоид можно считать бесконечно длинным. Если диаметр проволоки d много меньше радиуса соленоида и витки намотаны очень плотно, тогда можно считать, что ток равномерно распределен по длине соленоида. В этом случае ось соленоида представляет собой ось симметрии. Магнитное поле, создаваемое соленоидом, сосредоточено полностью внутри него, подобно тому, как электрическое поле, создаваемое конденсато- ром, сосредоточено внутри конденсатора. Магнитное поле внутри соленоида является однородным, как и элек- трическое поле в плоском конденсаторе. Индукция магнитного поля внутри соленоида определяется формулой 159, в которой n – плотность витков, то есть число витков на единицу длины соленоида – формула 160. Если витки намотаны равномерно, то плотность витков будет равна от- ношению полного числа витков соленоида N к его длине l – формула 159. Слайд 70 Используем теперь закон полного тока для нахождения индукции маг- нитного поля, создаваемого соленоидом. Из симметрии следует, что индукция магнитного поля направлена па- раллельно оси соленоида, внутри соленоида в одну сторону, снаружи – в дру- гую. Внутри и снаружи соленоида магнитное поле будет однородным. Действительно, рассмотрим прямоугольный контур внутри соленоида, две стороны которого длиной l параллельны оси. Найдем циркуляцию магнитного поля по этому контуру – формула 161. Циркуляция равна нулю, так как ток через поверхность контура равен нулю. Отсюда следует, что вектор 1 B равен вектору 2 B , то есть поле являет- ся однородным. Аналогично снаружи магнитное поле также является однородным. Но на бесконечном удалении от соленоида магнитное поле равно нулю, следова- тельно, оно равно нулю везде снаружи соленоида. Найдем индукцию магнитного поля внутри соленоида. Для этого рассмотрим прямоугольный контур, две стороны которого длиной l параллельны оси, и одна из них лежит внутри соленоида, а другая – снаружи. Вычислим циркуляцию магнитного поля по этому контуру. Она равна произведению модуля вектора индукции магнитного поля внутри соленоида B на длину стороны l – формула 162. Полная сила тока, охватываемая этим контуром, равна произведению силы тока I в одном витке на число витков N , укладывающихся на отрез- ке соленоида длиной l Из закона полного тока – формула 162 – получим тогда, что индукция магнитного поля внутри соленоида прямо пропорциональна силе тока в витке и плотности витков и определяется формулой 159, приведенной на предыду- щем слайде. Слайд 71 Магнитное поле создается только движущимися зарядами или токами и действует только на движущиеся заряды или токи. Сила, действующая на бесконечно малый элемент линейного провод- ника с током в магнитном поле, называется силой Ампера и определяется формулой 163. В ней I – сила тока в проводнике, dl – вектор, численно равный длине бесконечно малого элемента проводника и направленный вдоль тока, B – вектор индукции магнитного поля в точке нахождения эле- мента проводника. Квадратные скобки обозначают векторное произведение векторов. Сила Ампера dF перпендикулярна к направлению тока и к направле- нию магнитного поля, то есть она перпендикулярна к плоскости векторов dl и B . Направление силы Ампера относительно этой плоскости определяется правилом левой руки. Пальцы левой руки следует направить вдоль тока так, чтобы вектор индукции магнитного поля был направлен в ладонь, тогда отогнутый боль- шой палец покажет направление силы Ампера. Модуль силы Ампера определяется формулой 164, где – угол между направлениями тока и индукции магнитного поля. Максимальная сила Ампера действует на проводник, расположенный перпендикулярно к индукции магнитного поля. Сила Ампера, действующая на линейный проводник конечной длины, определится интегралом по контуру этого проводника. В однородном маг- нитном поле интеграл легко вычисляется. Если проводник представляет собой замкнутый контур, то этот инте- грал равен нулю. Следовательно, результирующая сила Ампера, действующая в одно- родном магнитном поле на замкнутый контур с током, равна нулю. Однако момент сил Ампера, действующих на замкнутый контур с то- ком в однородном магнитном поле, отличен от нуля и определяется форму- лой 126. Поскольку результирующая сила Ампера равна нулю, то момент сил не зависит от выбора оси. Слайд 72 Используем выражение силы Ампера для нахождения силы взаимодей- ствия проводников с током. Рассмотрим два бесконечно длинных параллельных прямых проводни- ка. 1 I и 2 I – силы тока в проводниках, d – расстояние между ними. Найдем силу, действующую на отрезок одного из проводников, например, второго длиной l . Индукция магнитного поля, создаваемого первым проводником, в точ- ках нахождения второго проводника определяется формулой 139. Тогда сила Ампера, действующая на отрезок второго проводника, име- ет вид, представленный формулой 165. Направление силы Ампера найдем по правилу левой руки. Как видно из рисунка 58, проводники с токами, направленными в одну сторону, притягиваются, а проводники с токами, направленными в противо- положные стороны, отталкиваются. Закон Ампера – закон взаимодействия электрических токов. Впервые был установлен Андре Мари Ампером в 1820 году для постоянного тока. Формула 165 используется для определения одной из основных единиц системы СИ – единицы силы тока ампер. Пусть ток течет по двум параллельным прямолинейным проводникам, расположенным в вакууме на расстоянии одного метра друг от друга. Ампер определяется как сила тока, который при прохождении по этим проводникам вызывает на каждом их отрезке длиной один метр определен- ную силу взаимодействия. Эта сила равна 2·10 −7 ньютонам. Слайд 73 Найдем силу, действующую в магнитном поле на движущийся точеч- ный заряд. На элемент dl проводника с током действует сила Ампера, определяемая формулой 163. Преобразуем в этой формуле выражение Idl согласно формуле 166. Здесь j – плотность тока, S – площадь поперечного сечения проводника, dV – объем элемента проводника, q – заряд одного носителя тока. А также n – концентрация носителей в проводнике, v – скорость упорядоченного движения носителей, dN – число носителей в данном элементе проводника. При написании формулы 166 использована формула 92 для вектора плотности тока. Подставим выражение 166 в формулу 163 для силы Ампера и разделим силу Ампера dF на число носителей тока dN . Тогда получим для силы, действующей на одиночный точечный заряд q , движущийся со скоростью v в магнитном поле с индукцией B , выражение 167. Эта сила называется магнитной силой Лоренца. Модуль этой силы определяется формулой 168, где – угол между векторами скорости и ин- дукции магнитного поля. Сила Лоренца перпендикулярна к скорости и к индукции магнитного поля. Направление силы Лоренца относительно плоскости векторов v и B определяется правилом левой руки. Поскольку за направление тока принимается направление движения положительных зарядов, то четыре пальца левой руки следует направлять по скорости частицы, если ее заряд положительный, и против скорости, если ее заряд отрицательный. Слайд 74 В общем случае на точечный заряд действуют две силы – электриче- ская и магнитная. Эта полная сила, действующая на точечный заряд в элек- тромагнитном поле, называется силой Лоренца и определяется формулой 169, в которой E – вектор напряженности электрического поля, действую- щего на заряд. Так как магнитная сила Лоренца перпендикулярна к скорости, то она перпендикулярна и к перемещению частицы в каждый момент времени, и следовательно, магнитная сила Лоренца не совершает работы. Работа совер- шается только электрической составляющей полной силы Лоренца. Посколь- ку магнитная сила Лоренца перпендикулярна к скорости, то она сообщает ча- стице только нормальное ускорение, тангенциальное ускорение частица по- лучает только под действием электрической составляющей полной силы Ло- ренца. Сила Лоренца названа так в честь голландского физика Хендрика Лоренца, который вывел выражение для этой силы в 1892 году. За три года до Лоренца правильное выражение для этой силы было найдено О́ливером Хе́висайдом. Слайд 75 Рассмотрим движение заряженной частицы в однородном магнитном поле. Пусть скорость частицы v параллельна индукции B магнитного поля. В этом случае сила Лоренца равна нулю, следовательно, частица будет дви- гаться прямолинейно и равномерно вдоль силовой линии магнитного поля. Пусть скорость частицы v перпендикулярна индукции магнитного по- ля B . В этом случае сила Лоренца сообщает частице нормальное ускорение – формула 170, где q – заряд частицы, m – масса частицы, v – модуль ско- рости частицы, R – радиус кривизны траектории частицы. Поскольку тан- генциальное ускорение частицы равно нулю, то модуль скорости частицы будет оставаться постоянным. Следовательно, радиус кривизны траектории частицы также будет оставаться постоянным. Таким образом, частица будет двигаться равномерно по окружности, радиус которой определяется формулой 171, плоскость которой перпендику- лярна вектору индукции магнитного поля. При этом период обращения ча- стицы по окружности T определяется формулой 172 и не зависит от скоро- сти частицы. Слайд 76 Пусть скорость частицы v направлена под углом к индукции маг- нитного поля B . Разложим скорость частицы на две составляющие – параллельную и перпендикулярную индукции магнитного поля. Поскольку сила Лоренца перпендикулярна к индукции магнитного по- ля, продольная составляющая скорости не будет меняться. Следовательно в направлении индукции магнитного поля частица будет двигаться равномерно со скоростью cos v . При этом в плоскости, перпендикулярной к индукции магнитного поля, она будет равномерно вращаться по окружности радиусом R – формула 173. В пространстве траектория частицы будет представлять собой винто- вую линию, ось которой параллельна индукции магнитного поля, с радиусом R и шагом, определенным формулой 174. Шаг винтовой линии представля- ет собой расстояние между двумя соседними витками. Слайд 77 Действие силы Лоренца лежит в основе эффекта Холла. Поместим проводящую пластинку, по которой течет ток, в магнитное поле, перпендикулярное одной из граней пластинки. При этом на двух про- тивоположных гранях, параллельных току и магнитному полю, возникает разность потенциалов , определяемая формулой 175. В этой формуле I – сила тока в пластинке, b – толщина пластинки в направлении магнитного поля, B – индукция магнитного поля, R – посто- янная Холла. Постоянная Холла выражается через заряд q одного носителя тока в пластинке и через концентрацию носителей n посредством формулы 176. Данное явление получило название эффекта Холла. Оно было обнару- жено впервые американским физиком Эдвином Холлом в 1879 году. Свой эксперимент Холл проводил на золотой пластинке, размещенной на стекле. Эффект Холла наблюдается как в металлах, так и в полупроводни- ках. При изменении направления тока разность потенциалов меняет знак. Постоянная Холла может быть как положительной, так и отрицательной. Если заряд носителей будет отрицательным, то и постоянная Холла бу- дет отрицательной, и разность потенциалов поменяет знак. Таким образом, измеряя постоянную Холла, можно определить знак носителей тока и их концентрацию. Слайд 78 Рассмотрим возникновение холловской разности потенциалов. Сила тока I через пластинку определяется формулой 177. Пплотность тока равна произведению заряда q одного носителя на концентрацию носи- телей n и на скорость упорядоченного движения носителей u . Площадь по- перечного сечения пластинки равна произведению a на b Здесь a – высота пластинки в направлении, перпендикулярном току и магнтному полю, а b – толщина пластинки в направлении магнитного поля. Под действием силы Лоренца в магнитном поле заряды начнут дви- гаться по направлениям к граням А и С , параллельным току и магнитному полю, на которых возникнут избыточные заряды. Следовательно, между эти- ми гранями возникнет разность потенциалов. В равновесии результирующая сила, действующая на носители тока, равна нулю, то есть магнитная сила Лоренца будет уравновешена электриче- ской силой. Из равенства этих сил следует, что между гранями А и С возникает электрическое поле с напряженностью E , определяемое формулой 178, и разность потенциалов , определяемая формулой 179. Выразим скорость упорядоченного движения носителей u через силу тока I из формулы 177 и подставим это выражение последовательно в фор- мулы 178 и 179. Получим для разности потенциалов формулу 175 и для по- стоянной Холла – формулу 176, приведенные на предыдущем слайде. Слайд 79 Из электростатики мы знаем, что поток вектора электрического смеще- ния через произвольную замкнутую поверхность равен полному стороннему заряду, заключенному внутри данной поверхности. Это утверждение носит название теоремы Остроградского-Гаусса. Но понятие потока можно опреде- лить для любого векторного поля, в частности для магнитного поля. Напом- ним это определение. Вектором элементарной площадки dS называется вектор, модуль ко- торого равен площади dS этой бесконечно малой площадки, а направление совпадает с направлением нормали к этой площадке. Потоком m d вектора индукции магнитного поля B через элемен- тарную площадку dS называется скалярное произведение вектора B на вектор площадки dS – формула 180. Под элементарной площадкой понимается бесконечно малая площадка, а вектор B в формуле 180 – это вектор индукции магнитного поля в точке нахождения площадки. Поток вектора индукции магнитного поля называют также магнитным потоком. Скалярное произведение векторов равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. В формуле 180 – угол между вектором B и нормалью к площадке. Поток вектора индукции магнитного поля B через произвольную по- верхность равен интегралу от вектора B по этой поверхности. Магнитный поток через поверхность прямо пропорционален количе- ству силовых линий магнитного поля, пронизывающих эту поверхность. Единица магнитного потока в системе СИ называется вебер и обозна- чается двумя буквами Вб. Один вебер равен произведению единицы индукции магнитного поля – тесла – на единицу площади – метр в квадрате. Для магнитного поля в вакууме теорема Остроградского-Гаусса фор- мулируется следующим образом: поток индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю – формула 181. Эта теорема является обобщением опытных данных. Она означает, что в природе не существует магнитных зарядов, а силовые линии индукции магнитного поля замкнуты в пространстве. Существование магнитных зарядов не противоречит никаким извест- ным законам физики. Английский физик Поль Дира̀к предположил суще- ствование в природе таких зарядов – магнитных монополей, то есть частиц, имеющих только один магнитный полюс, северный или южный. При нали- чии таких частиц уравнения электродинамики становятся совершенно сим- метричными относительно электрического и магнитного полей. Однако по- иски монополей в космических лучах и попытки получить их в ускорителях элементарных частиц не привели к положительному результату. Но поиски продолжаются. Слайд 80 Найдем работу dA магнитного поля с индукцией B на бесконечно ма- лом перемещении dr бесконечно малого элемента проводника dl с током I На элемент проводника действует сила Ампера, определяемая форму- лой 163. Работа равна скалярному произведению силы Ампера на вектор пе- ремещения dr – формула 182. В результате в выражении для работы получили смешанное произведе- ние трех векторов – dl , B и dr В смешанном произведении векторы можно циклически переставить. Получившийся в результате перестановки вектор dS представляет собой вектор площадки, построенный на векторах dr и dl – формула 183. Тогда получим, что работа dA выражается формулой 184, где m d – магнитный поток через поверхность, прочерченную элементом проводника dl при перемещении dr Работа магнитного поля при конечном перемещении проводника ко- нечной длины определится интегралом от силы тока по магнитному потоку. Если сила тока в проводнике постоянна, то интеграл сразу вычисляется, и ра- бота определяется формулой 185. Таким образом, работа сил Ампера при перемещении в магнитном поле проводника с током равна произведению силы тока I в проводнике на маг- нитный поток m . При этом сила тока в проводнике считается постоянной, а магнитный поток вычисляется через поверхность, которую прочерчивает проводник при своем перемещении. Слайд 81 Рассмотрим теперь перемещение замкнутого контура с током в маг- нитном поле. Пусть сила тока I в контуре остается постоянной. Работа маг- нитного поля тогда определяется формулой 185, где m – магнитный поток сквозь поверхность, прочерченную контуром при своем движении. Удобнее однако выразить эту работу через магнитный поток сквозь поверхность, опи- рающуюся на контур. Магнитный поток через поверхность, опирающуюся на контур, называ- ется магнитным потоком, сцепленным с контуром. Направление нормали к поверхности выбирается так, что если смотреть ей вслед, то ток в контуре течет по часовой стрелке. Пусть 1 m и 2 m – магнитные потоки, сцепленные с контуром, в начальном и конечном его положениях соответственно. Согласно теореме Остроградского-Гаусса, полный магнитный поток через замкнутую поверхность равен нулю – формула 186. Магнитный поток 2 m входит в эту сумму со знаком «минус», так как нормаль 2 ' n направлена противоположно нормали 2 n . Здесь 2 ' n – внешняя нормаль к замкнутой поверхности, а 2 n – нормаль к поверхности контура, согласованная с направлением тока правилом правого винта. В результате подстановки формулы 186 в формулу 185 получим для работы A выражение 187. В этой формуле I – сила тока в контуре, 2 1 m m – изменение магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром. Таким образом, работа силы Ампера по перемещению в магнитном по- ле замкнутого контура с током равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром. При этом сила тока в контуре считается постоянной. Зададимся вопросом – нет ли противоречия в полученных формулах для работы? Ведь сила Ампера, действующая на проводник, складывается из силы Лоренца, действующей на свободные заряды – носители тока в провод- нике. Но работа силы Лоренца равна нулю. Почему же работа силы Ампера отлична от нуля? Дело в том, что при нахождении работы силы Ампера силу тока в про- воднике мы считали постоянной. Но силы Лоренца, действующие на поло- жительные и отрицательные свободные заряды в движущемся проводнике, будут направлены в противоположные стороны. Следовательно, под дей- ствием силы Лоренца произойдет разделение зарядов, и на участке движуще- гося проводника возникнет дополнительная разность потенциалов. Согласно закону Ома эта разность потенциалов приведет к изменению силы тока в проводнике. Для того чтобы поддерживать силу тока в проводнике постоян- ной, необходимо совершить дополнительную работу, которая и будет равна работе силы Ампера. Слайд 82 |