Физика. Физика 2. Закон Кулона. Напряженность электростатического поля. Силовые линии
 Скачать 0.97 Mb.
|
|
Тема 8. Явление электромагнитной индукции Явление электромагнитной индукции было открыто в 1831 году ан- глийским физиком Майклом Фарадеем. Майкл Фарадей – выдающийся английский физик-экспериментатор и химик. Он был членом Лондонского королевского общества и множества других научных организаций, в том числе иностранным почетным членом Петербургской академии наук. Величайшие открытия Фарадея – электромагнитная индукция, первая модель электродвигателя, первый трансформатор, химическое действие тока, законы электролиза, действие магнитного поля на свет, диамагнетизм. Он первым предсказал электромагнитные волны. Фарадей ввел в научный оби- ход термины «ион», «катод», «анод», «электролит», «диэлектрик», «диамаг- нетизм», «парамагнетизм». Фарадей – основоположник учения об электромагнитном поле, которое затем математически оформил и развил Максвелл. Основной идейный вклад Фарадея в физику электромагнитных явлений заключался в отказе от ньюто- нова принципа дальнодействия и во введении понятия физического поля — непрерывной области пространства, взаимодействующей с веществом. Открытие Фарадеем явления электромагнитной индукции имеет огромное значение – установлена взаимосвязь между электрическими и маг- нитными явлениями. Явление электромагнитной индукции заключается в следующем: в за- мкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока, охватыва- емого этим контуром, возникает электрический ток, получивший название индукционного. Первый опыт: если в замкнутый на гальванометр соленоид вдвигать или выдвигать постоянный магнит, то в моменты его движения наблюдается отклонение стрелки гальванометра, то есть возникает индукционный ток. Отклонение стрелки гальванометра тем больше, чем больше скорость движе- ния магнита относительно катушки. При изменении полюсов магнита направление отклонения стрелки изменится. Для получения индукционного тока можно передвигать соленоид, оставляя неподвижным магнит. Второй опыт: концы одной из катушек, вставленных одна в другую, присоединяются к гальванометру, а через другую катушку пропускают ток. Отклонения стрелки гальванометра наблюдаются в моменты включения или выключения тока, в моменты его увеличения или уменьшения или при пере- мещении катушек друг относительно друга. В результате многочисленных опытов ученые пришли к выводу, что индукционный ток возникает всегда, когда происходит изменение сцеплен- ного с контуром магнитного потока. Опытным путем было также установлено, что значение индукционного тока совершенно не зависит от способа изменения магнитного потока, а определяется лишь скоростью его изменения. Слайд 83 Обобщая результаты своих многочисленных опытов, Фарадей пришел к количественному закону электромагнитной индукции. Закон Фарадея: ЭДС индукции в замкнутом проводящем контуре чис- ленно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного по- тока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром – формула 188. Этот закон является универсальным, так как ЭДС индукции не зависит от способа изменения магнитного потока. Общее правило для нахождения направления индукционного тока вы- ведено в 1833 году Ленцем. Правило Ленца: индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшего этот индукционный ток. Правило Ленца выражает электромагнитную инерцию – стремление системы противодействовать изменению ее состояния. Рисунок 72 на слайде иллюстрирует правило Ленца на примере непо- движного проводящего контура, который находится в однородном магнит- ном поле, модуль которого увеличивается во времени. Причиной возникновения ЭДС индукции в замкнутом проводнике яв- ляется электрическое поле, порождаемое в проводнике переменным магнит- ным полем. ЭДС индукции можно представить как циркуляцию напряжен- ности электрического поля E по контуру проводника. В обобщенной форме основной закон электромагнитной индукции можно представить в виде фор- мулы 189. Циркуляция напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру равна с обратным знаком скорости изменения магнитно- го потока через поверхность, ограниченную этим контуром. При этом направление обхода контура и направление нормали к по- верхности согласованы правилом правого винта. В такой форме закон электромагнитной индукции не связан ни с каким проводником. Под замкнутым контуром в формуле 189 понимается произвольная за- мкнутая кривая в пространстве. Из формулы 189 следует, что переменное магнитное поле является ис- точником вихревого электрического поля. Слайд 84 ЭДС электромагнитной индукции возникает не только в замкнутом проводящем контуре, но и в отрезке проводника, пересекающем при своем движении линии индукции магнитного поля. ЭДС индукции, возникающая в отрезке проводника, определяется формулой 190, которая по виду совпадает с формулой 188, но читается не- сколько иначе. ЭДС электромагнитной индукции, возникающая в отрезке проводника, движущегося в магнитном поле, равна с обратным знаком скорости измене- ния магнитного потока через поверхность, прочерчиваемую проводником при своем движении. Рассмотрим в качестве примера возникновение ЭДС индукции в от- резке прямого проводника. Отрезок прямого проводника длиной l движется так, что сам он и вектор его скорости 𝜐 остаются перпендикулярными сило- вым линиям однородного магнитного поля с индукцией B За время t отрезок прочерчивает поверхность прямоугольника пло- щадью S lv t Вектор магнитной индукции поля перпендикулярен плоскости прямо- угольника. Скорость изменения магнитного потока через поверхность данно- го прямоугольника определится тогда формулой 191. ЭДС индукции Е i равна произведению модуля скорости проводника υ на модуль индукции магнитного поля B и на длину проводника l Слайд 85 Если рассмотреть соленоид, состоящий из большого числа витков N , то магнитный поток через один виток соленоида площадью S равен m Ф Полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида, называ- ется потокосцеплением. Формула для расчета потокосцепления – формула 192: m NФ NBS Потокосцепление, как и магнитный поток, измеряется в системе еди- ниц измерения СИ в веберах. В общем случае в законе Фарадея фигурирует потокосцепление. Если в задаче требуется определить среднее значение ЭДС индукции, то используется формула 193. Среднее значение ЭДС индукции равно со знаком «минус» отношению приращения потокосцепления пси к промежутку времени дельта тэ, за кото- рый данное приращение произошло. Если в задаче требуется определить мгновенное значение ЭДС индук- ции, то используется формула 194: мгновенное значение ЭДС индукции равно со знаком «минус» производной от потокосцепления пси по времени t . Слайд 86 Электрический ток, текущий по замкнутому проводящему контуру, со- здает вокруг себя магнитное поле. Поток mc Ф вектора c B индукции магнитного поля, создаваемого за- мкнутым контуром с током, через поверхность, опирающуюся на этот кон- тур, прямо пропорционален силе тока I в контуре – формула 195. Это сле- дует из закона Био-Савара-Лапласа. Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура. В общем случае индуктивность контура зависит только от геометриче- ской формы контура, его размеров и среды, в которой он находится. Это ана- лог электрической емкости проводника, которая также зависит от формы проводника, его размеров и диэлектрической проницаемости среды. Индуктивность измеряется в генри. Индуктивность контура равна одному генри, когда магнитный поток в один вебер пронизывает площадь, ограниченную этим контуром, в котором течет ток силой один ампер. Индуктивность длинного соленоида, длина которого много больше его поперечных размеров, рассчитывается по формуле 196. В ней 0 – магнит- ная постоянная, – магнитная проницаемость сердечника соленоида, l – его длина, S – площадь его поперечного сечения, N – полное число витков соленоида. Слайд 87 При изменении силы тока в контуре будет изменяться и сцепленный с ним магнитный поток. Следовательно, в контуре будет индуцироваться ЭДС . Возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией. Если индуктивность контура не изменяется, то есть контур не дефор- мируется и среда не меняется, то закон Фарадея для явления самоиндукции описывается формулой 197. ЭДС самоиндукции равна со знаком «минус» произведению индуктив- ности контура на скорость изменения силы тока в нем. Знак «минус», обусловленный правилом Ленца, показывает, что нали- чие индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Изменение тока тормозится тем сильнее, чем больше индуктивность контура. Если ток в контуре со временем возрастает, то ток самоиндукции направлен навстречу току, обусловленному внешним источником, и тормо- зит его возрастание. Если ток в контуре со временем убывает, то индукцион- ный ток направлен по току, обусловленному внешним источником. Индуктивность препятствует изменению тока в цепи, то есть она явля- ется мерой инертности контура по отношению к изменению силы тока в нем. Рассмотрим более подробно характер исчезновения и установления то- ка в цепи. При любом изменении силы тока в проводящем контуре возникает ЭДС самоиндукции, в результате чего в контуре появляется дополнительные токи, называемые экстратоками замыкания и размыкания цепи. По правилу Ленца эти токи всегда направлены так, чтобы противодей- ствовать изменениям в цепи. Это приводит к тому, что установление тока при замыкании и размы- кании происходит не мгновенно, а постепенно. Характер изменения тока при замыкании и размыкании цепи иллюстрируется графиками, представленны- ми на слайде. Слайд 88 Найдем закон изменения силы тока в цепи при замыкании и размыка- нии. Цепь представлена на рисунке 78 и состоит из постоянной индуктивно- сти L , сопротивления R , амперметра А, источника с постоянной ЭДС и пе- реключателя П . Первоначально переключатель находится в положении 1 , и в цепи те- чет ток силой I . Сопротивление источника тока пренебрежимо мало. Запи- шем второе правило Кирхгофа для данной цепи – формула 198. Данная формула представляет собой однородное линейное дифферен- циальное уравнение первого порядка. Решение этого уравнения представлено формулой 199, где I 0 – сила тока в начальный момент времени t = 0 , а посто- янная времени выражается формулой 200. Рассмотрим размыкание цепи. В момент времени t = 0 быстро переведем переключатель П в положе- ние 2 . На очень короткое мгновение переключатель П закоротил источник и тут же выключил его из цепи, не нарушая ее замкнутости. Полагая в формуле 199 начальное значение силы тока I 0 равным уста- новившемуся значению силы тока в цепи, получим зависимость силы тока в цепи I от времени t при размыкании. Ток в цепи убывает по экспоненциаль- ному закону. Постоянная τ имеет размерность c – 1 , ее называют временем релакса- ции. Она характеризует скорость убывания тока. Время релаксации – это время, в течение которого сила тока уменьша- ется в е раз. Слайд 89 Рассмотрим замыкание цепи. Подключим к индуктивности источник ЭДС с величиной ε . В момент времени t = 0 быстро переведем переключатель П в положение 1 . Запишем второе правило Кирхгофа для данной цепи – формула 201. Данная формула представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Решение этого уравнения при условии, что начальное значение силы тока в цепи равно нулю, представлено формулой 202. Здесь I 0 – установившаяся сила тока в цепи, определенная формулой 203, а постоянная времени выражается формулой 200, приведенной на предыдущем слайде. Таким образом, зависимость силы тока в цепи I от времени t при за- мыкании выражается формулой 202. Ток в цепи возрастает по экспоненциальному закону и достигает уста- новившегося значения I 0 – формула 203 – за характерное время порядка τ. Чем больше индуктивность цепи L и чем меньше ее сопротивление R , тем больше время релаксации и тем медленнее создается ток в цепи. Нарастание тока происходит за то же время релаксации, что и убывание тока. Для упрощения расчетов мы считали, что цепь в момент отключения источника тока замыкается накоротко. Если же просто разорвать цепь с большой индуктивностью, возникает большое индуцированное напряжение, создающее в месте разрыва дугу или искру. Появление дуги или искры опасно для человека, размыкающего цепь, поэтому параллельно обмотке электромагнита L включают лампочку с со- противлением, примерно равным сопротивлению обмотки. Тогда ток в об- мотке спадает медленно и опасности не представляет. Слайд 90 Явление электромагнитной индукции применяется для преобразования механической энергии в энергию электрического тока. Для этого используются генераторы. Рассмотрим принцип их действия. Если в однородном магнитном поле равномерно вращается рамка, то в ней возникает переменная ЭДС , изменяющаяся по гармоническому закону. Действительно, потокосцепление в рамке равно произведению B на S на N и на косинус угла между вектором магнитной индукции и норма- лью к плоскости рамки. Здесь B – модуль индукции однородного внешнего магнитного поля, S – площадь рамки, N – число витков в рамке. Если рамка равномерно вращается с угловой скоростью , то этот угол между магнитным полем и нормалью меняется со временем и равен произве- дению угловой скорости на время t – формула 204. Согласно закону Фарадея, в рамке возникает ЭДС индукции, равная со знаком «минус» производной по времени от потокосцепления, выражаемого формулой 204. Вычисляя эту производную, найдем, что ЭДС индукции в рамке меня- ется со временем по гармоническому закону с циклической частотой , рав- ной угловой скорости вращения рамки, – формула 205. При этом максималь- ное значение ЭДС индукции в рамке прямо пропорционально индукции внешнего магнитного поля B , площади рамки S , числу витков N и угловой скорости вращения рамки Переменное напряжение снимается с витка с помощью щеток. Слайд 91 Тема 9. Взаимная индукция На рисунке 81 представлены два неподвижных контура 1 и 2 , которые расположены близко друг к другу. Если в контуре 1 течет ток силой I 1 , то он создает через контур 2 полный магнитный поток 2 m , пропорциональный I 1 , – формула 206. Силовые линии магнитного поля, создающего полный маг- нитный поток 2 m , на рисунке 81 обозначены зелеными сплошными линиями. Аналогично при протекании в контуре 2 тока силой I 2 возникает сцеплен- ный с контуром 1 магнитный поток 1 m , пропорциональный I 2 , – формула 207. На рисунке 81 силовые линии магнитного поля, создающего поток 1 m , отмечены синими штриховыми линиями. Коэффициенты пропорциональности L 12 и L 21 равны друг другу – формула 208 – и называются взаимной индуктивностью контуров. Взаимная индуктивность зависит от геометрической формы, размеров, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости окружа- ющей контуры среды. Единица измерения взаимной индуктивности та же, что и для индук- тивности – генри. При изменении силы тока I 1 , протекающего в контуре один, в контуре два возникает индукционный ток I 2 . Этот ток направлен так, чтобы создава- емый им магнитный поток 1 m противодействовал изменению внешнего магнитного потока 2 m , породившего этот индукционный ток. ЭДС индукции 2 в этом случае равна по закону Фарадея скорости изменения полного магнитного потока 2 m и с учетом формулы 206 прини- мает вид формулы 209. Знак «минус» отражает правило Ленца и указывает на то, что поле ин- дукционного тока всегда направлено навстречу потоку. Аналогично в контуре 1 возникает ЭДС индукции 1 , прямо пропор- циональная скорости изменения силы тока I 2 во втором контуре – формула 210 . Контуры 1 и 2 называются связанными. Явление возникновения ЭДС в одном из контуров при изменениях си- лы тока в другом называется взаимной индукцией. Слайд 92 Например, рассмотрим две катушки, намотанные на общий тороидаль- ный сердечник из железа. Первая катушка имеет N 1 витков, вторая катушка имеет N 2 витков. Найдем взаимную индуктивность этих катушек. В первой катушке течет ток I 1 . Магнитная проницаемость среды μ , длина сердечника по средней линии – l . Величина магнитной индукции B 1 поля, создаваемого первой катушкой, определяется формулой 211. Полный магнитный поток через вторую катушку определяется форму- лой 212, где S – площадь поперечного сечения катушек. Тогда взаимную ин- дуктивность 21 L найдем по формуле 213. Аналогично взаимную индуктивность 12 L найдем по той же формуле 213. Таким образом, при отсутствии ферромагнетиков индуктивность обеих катушек равна. Это замечательное свойство индуктивности называют теоре- мой взаимности. Она позволяет не делать различия между L 12 и L 21 и просто говорить о взаимной индуктивности двух контуров. Смысл ее в том, что в любом случае магнитный поток Ф m1 сквозь кон- тур один, созданный током I 2 в контуре два, равен магнитному потоку Ф m2 сквозь контур два, созданному таким же током I 1 в контуре один. Это позво- ляет сильно упрощать расчет магнитных потоков. Слайд 93 Для повышения или понижения напряжения переменного тока исполь- зуют трансформаторы. В основе работы трансформатора заложено использо- вание явления взаимной индукции. Трансформаторы были сконструированы и введены в практику россий- ским электротехником Павлом Николаевичем Яблочковым и российским фи- зиком Иваном Филипповичем Усагиным. Рассмотрим рисунок 83. Контур первичной обмотки с n 1 витками при- соединен к источнику переменного напряжения с ЭДС , равной ε 1 . Сердеч- ник замкнут и обычно изготавливается из железа и его сплавов. В катушке один возникает переменный ток I 1 , создающий в сердечнике трансформатора магнитный поток Φ , который полностью локализован в сердечнике и прони- зывает витки вторичной обмотки. Изменение этого потока вызывает появление во вторичной обмотке, ЭДС взаимной индукции ε 2 Запишем второе правило Кирхгофа для первичной обмотки – формула 214, где 1 R – полное сопротивление этой обмотки. Но произведение 1 1 R I мало при быстропеременных полях по сравне- нию с ε 1 и ε 2 . Тогда справедливо соотношение 215. ЭДС ε 2 , возникающая во вторичной обмотке определяется законом Фарадея – формула 216. Из формул 215 и 216 следует соотношение 217. Знак «минус» показывает, что ЭДС в первичной и вторичной обмотках 1 и 2 противоположны по фазе. Слайд 94 На рисунке 84 представлена общая электрическая схема трансформато- ра. Соотношение 218 определяет величину k , равную отношению числа витков во вторичной и первичной обмотках, которая называется коэффици- ентом трансформации. Пренебрегая потерями энергии, составляющими в современных транс- форматорах два процента и связанными с джоулевой теплотой и вихревыми токами, из закона сохранения энергии получаем равенство 219. Из этого равенства следует, что токи в обмотках обратно пропорцио- нальны числу витков в этих обмотках – формула 220. Если коэффициент трансформации меньше единицы, то трансформатор называется понижающим, если коэффициент трансформации больше едини- цы, то трансформатор называется повышающим. Существуют трансформаторы, имеющие несколько обмоток, они ис- пользуются в радиоустройствах – четыре-пять обмоток с разными рабочими напряжениями. Трансформатор, состоящий из одной обмотки, называется автотранс- форматором. В случае повышающего автотрансформатора ЭДС подводится к части обмотки, а вторичная ЭДС снимается со всей обмотки. В понижающем автотрансформаторе напряжение сети подается на всю обмотку, а вторичная ЭДС снимается только с части обмотки. Слайд 95 Рассмотрим цепь, изображенную на рисунке 85. Замкнем ключ К . В катушке установится ток I , который создаст усло- вия возникновения магнитного поля, сцепленного с витками катушки. Если разомкнуть ключ, то через сопротивление R некоторое время бу- дет течь ток, постепенно убывающий, поддерживаемый возникающей в со- леноиде ЭДС самоиндукции. Работа dA , совершаемая этим током за бесконечно малый промежуток времени dt , равна произведению ЭДС самоиндукции на силу тока в цепи I и на dt – формула 221. Подставляя в эту формулу выражение для ЭДС самоиндукции, полу- чим, что работа равна со знаком «минус» произведению индуктивности кон- тура L на силу тока в цепи I и на приращение силы тока dI за время dt Полная работа A за все время убывания силы тока от начального зна- чения I до нуля будет равна интегралу по току – формула 222. Работа – формула 222 – идет на приращение внутренней энергии со- противления соленоида и соединительных проводов, то есть на их нагрева- ние. Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое первоначально существовало в пространстве, окружающем со- леноид. Так как никаких других изменений в окружающих электрическую цепь телах не происходит, сделаем вывод, что магнитное поле является носителем энергии, за счет которой и совершается работа, – формула 222. Следовательно, проводник с индуктивностью L , по которому течет ток силой I , обладает энергией m W , равной половине произведения индуктивно- сти на квадрат силы тока в проводнике – формула 223. С другой стороны, эту работу можно трактовать как работу, которую необходимо совершить против ЭДС самоиндукции в процессе нарастания тока от нуля до установившегося значения тока I . Эта работа идет на созда- ние магнитного поля, обладающего энергией m W , определенной формулой 223. Слайд 96 В случае постоянных токов создаваемое ими магнитное поле существу- ет неотделимо от этих токов. Поэтому энергия проводника с током равна энергии магнитного поля, создаваемого этим проводником. В формуле 223 энергия m W проводника с током выражается через ха- рактеристики этого проводника – его индуктивность L и силу тока в нем I Но эта же энергия равна энергии магнитного поля. Следовательно, ее можно выразить также через характеристики магнитного поля. Рассмотрим, например, длинный соленоид, по обмотке которого течет ток силой I Этот ток создает однородное магнитное поле, которое сосредоточено внутри соленоида. Индукция этого магнитного поля B связана с силой тока I в обмотке соотношением 224. Здесь l – длина соленоида, N – полное число витков в обмотке, – магнитная проницаемость сердечника, 0 – магнитная постоянная. Индуктивность L соленоида выражается формулой 225, где S – пло- щадь поперечного сечения соленоида. Подставляя формулы 224 и 225 в формулу 223, выразим энергию m W соленоида через индукцию B магнитного поля в нем – формула 226. В этой формуле произведение площади поперечного сечения S соле- ноида на его длину l равно объему V пространства внутри соленоида. Поскольку магнитное поле сосредоточено целиком в этом пространстве и является однородным, то объемная плотность энергии ω m магнитного поля, то есть энергия магнитного поля в единице объема, выражается формулой 227. Хотя эта формула получена нами для поля соленоида, она является универсальной. Она справедлива для любого магнитного поля, как однород- ного, так и неоднородного, как постоянного, так и меняющегося со временем произвольным образом. В частности, этой формулой выражается объемная плотность энергии магнитного поля в электромагнитной волне, в которой магнитное поле существует отдельно от создавших это поле токов. Слайд 97 |